Аксиоматика и поиск основополагающих принципов и понятий в физике

1. Аксиоматический подход к исследованию в науке

Идея диалектического материализма о том, что природа едина в своем многообразии и есть развивающаяся материя, стала общим воззрением современной физики и находит отражение не только в ее содержании, но и в ее методологии и логике. Современная физика связывает принцип развития и принцип единства природы и в своем объяснении, и в своих поисках новых явлений и законов. Одна из задач настоящей статьи — раскрыть то, как осуществляется эта связь.

Собственно, определенный общий взгляд на природу (мировоззренческая проблема), разделяемый в физике в ту или другую эпоху ее исторического развития, всегда внутренне был связан с характерной для нее в ту же эпоху логикой исследования (методологическая проблема). Так было до классической физики, когда физическое знание, основанное на обыденном наблюдении и лишенное — за отдельными исключениями^[1] — систематических методов исследования, соответствовало весьма общим и неопределенным воззрениям философов того времени с их зачастую,— если иметь в виду античную философию,— гениальными натурфилософскими догадками. Так было и в классической физике, когда провозглашенный Ньютоном метод исследования, названный впоследствии методом принципов и представляющий собой своеобразную модификацию аксиоматики Евклида, так или иначе соответствовал атомистическому воззрению на природу, которое разделял Ньютон.

В единстве познания отражается единство природы. Первоначальной формой единства знания была аксиоматика и геометрическое знание — из всех существующих В свое время знаний — первым стало наукой, будучи построено аксиоматически Евклидом.

Геометрия Евклида — это логическая система геометрических понятий, утверждения которой так точно и последовательно вытекают одно из другого, что с точки зрения размышляющего разума ни одно из них не может быть подвергнуто какому бы то ни было сомнению.

Вместе с тем геометрия Евклида не является творением разума из самого себя и меньше всего представляет априорную конструкцию. Уже слово «геометрия» («землемерие») свидетельствует о том, что геометрия возникла из практических потребностей, именно из потребностей измерения земельных участков (в древних государствах), из астрономических наблюдений (в Древнем Египте и Вавилоне) как обобщение соответствующих наблюдаемых данных.

До Евклида тогдашние математики имели дело с решениями многих математических задач, возникавших в обыденной жизни, связь между которыми не всегда ими улавливалась, изучали свойства отдельных геометрических фигур (треугольника, круга и т. п.), знали отдельные теоремы, но вывести их из единого логического начала они не могли. Такой эмпирический подход к геометрии (как и вообще к математике) на первых шагах ее развития исторически был неизбежным. После Евклида необходимость подобного подхода в математике отпала.

Означает ли последнее обстоятельство, что со времени Евклида на геометрию (и, следовательно, на ее развитие) не воздействует никакой опыт? Чтобы уяспить себе этот вопрос, сопоставим, хотя бы в общих чертах, аксиоматическое построение в геометрии с применением аксиоматического подхода (или аксиоматического метода исследования в широком смысле) в физике, которое утвердилось в этой науке со времени Ньютона и анализ которого и является одной из основных задач статьи.

Завершенная или замкнутая система той или другой физической теории (первой на этом пути утвердилась классическая механика) состоит из основных понятий и принципов (на геометрическом языке они называются аксиомами), которые связывают эти понятия определенными соотношениями, а также следствий, которые выводятся из них путем логической дедукции. Именно эти следствия должны соответствовать экспериментальным данным (проверяться на опыте). Без этого физическая теория не может быть физической теорией, или, иначе говоря, опыт и только опыт является в физике критерием истинности ее теорий, т. е. только опыт удостоверяет в конце концов, что теория отражает объективно реальную действительность и, значит, удостоверяет пригодность математического аппарата (формализма) этой теории.

Таким образом, аксиоматический подход в физике дает возможность ее теориям путем логического построения овладеть истиной. В современной физике различается шесть замкнутых систем понятий, связанных аксиомами, каждая из которых описывает определенную область явлений природы. Первая система — маханика Ньютона, или классическая механика, включающая статику и динамику. Вторая — система понятий, сформулированная вместе с теорией теплоты, связанной через статистический подход (но ни в коем случае не «сводимой») с классической механикой. Третья система выведена из исследований электрических и магнитных явлений (она была оформлена Максвеллом). Четвертая система—частная теория относительности, представляющая своеобразное соединение классической механики и теории электромагнетизма Максвелла, получившая свое окончательное оформление в работах Эйнштейна и Минковского. Пятая система охватывает в первую очередь квантовую механику, а через нее — теорию атомных спектров, химию, теорию проводимости и других свойств материи. Наконец, шестая замкнутая система понятий — общая теория относительности, названная так ее создателем Эйнштейном, пе нашла еще как физическая теория своей окончательной формы (в ней преимущественно развит математический аппарат). Кроме того, надо отметить возможность существования седьмой замкнутой системы понятий, которая должна быть создана в связи с построением современной теории элементарных частиц и в которой квантовая механика и теория относительности будут связаны в глубоком синтезе.

Каждой системе понятий в физике соответствует ей присущий математический аппарат (формализм), и она описывает определенную область физических явлений, о которых говорит опыт, причем опытным же путем устанавливаются границы применимости понятий системы (в отношении их соответствия природе).

К замкнутым системам геометрий опыт, как известно, не имеет прямого касательства, но потребности опытных наук — а к ним относятся все науки о природе — зачастую ставят перед математикой определенные задачи (физические науки обычно через свои формализмы), которые математика или выполняет, или выполнит со временем. В этом смысле математические науки тоже связаны (опосредствованным путем) с опытом. Но и в прямом, правда не в совсем обычном, смысле геометрия может быть опытной наукой. Об этом уже сказано Ньютоном^[2]. А. Эйнштейн этот вопрос прояснил еще с большей определенностью. «Если… Эвклидову геометрию, — писал Эйнштейн, — рассматривают как науку о возможности взаимного расположения реальных твердых тел, т. е. если ее трактуют как физическую науку, не абстрагируясь от ее первоначального эмпирического содержания, то логическое сходство между геометрией и теоретической физикой становится полным»^[3].

Вся сила математики и заключается в том, что она не только может, но и обязана отвлекаться от «первоначального эмпирического содержания», если хочет получить новые научные результаты. Однако при определенных обстоятельствах, особенно тогда, когда исследуются вопросы об отношении математики к объективной реальности или вопросы об объективном значении ее понятий и положений, она возвращается к «эмпирическому содержанию», и это дает новые импульсы ее развитию. Так было, например, когда создавалось дифференциальное и интегральное исчисление. Можно привести еще один пример: известно, что Гауссу не удалось подтвердить измерениями идеи неевклидовой геометрии, это сделала по-своему и па более высоком уровне развития математики и физики теория тяготения Эйнштейна.

Таким образом, уже из предварительного наброска об аксиоматическом и эмпирическом подходе к геометрии и физике явствует, что эти подходы не противоречат друг другу и не исключают полностью один другого. Впрочем, в зарождающейся науке древнего мира и его философии, как и в эпоху средневековья, подобное противопоставление было обычным явлением: мыслители античной Греции считали опыты недостойным занятием, а средневековые схоласты, почитая, как известно, только авторитет священного писания, преуспели лишь в разработке формальной логики. С эпохи Возрождения, с которой датируются современное (в широком смысле этого слова) естествознание и новая философия, исчезает в научном исследовании, исчезает в борьбе идейных течений и противоречий медленно, но неуклонно противопоставление аксиоматического и эмпирического подходов как абсолютных противоположностей. Эти противоположности становятся относительными, а аксиоматический и эмпирический подходы оказываются аспектами единого общего метода исследования современного естествознания, хотя в соответствующей литературе встречаются и поныне реликты былого противопоставления этих подходов.

* * *

Рассмотрим детальнее некоторые черты аксиоматического метода исследования.

Аксиоматический метод изменился со времени Евклида, обогатившись новыми возможностями объяснения и предсказывания исследуемых явлений. Если в начальной его, так сказать, евклидовой форме о нем можно говорить, по выражению О. Клини, как о «содержательной» или о «материальной аксиоматике»^[4], то ныне, после работ знаменитого математика Д. Гильберта и исследований по математической логике, аксиоматика фигурирует и как «формальная» и как «формализованная» аксиоматика. Последние две отличаются от первой тем, что в них понятия и их соотношения выступают как бы в чистом виде, свободными от эмпирического содержания, а в формализованной аксиоматике вместо вербального языка применяется язык символов (формализм), тогда как в материальной аксиоматике дедукция не обособляется фактически от эмпирии и наглядности.

Это относится mutatis mutandis и к аксиоматическим построениям в физике. В аксиомах, или принципах (их называют также основными законами) механики Ньютона, речь идет об инертной массе и силе, об ускорении, о пространстве и времени и о соотношениях между названными понятиями. Они (эти соотношения и понятия) являются исходными в пределах механики Ньютона и сами по себе представляют идеализированные выражения опытных фактов. Изложенные впервые в «Началах» Ньютона, они могут служить образцом содержательной аксиоматики в классической физике.

Развитие аксиоматического метода в физике в своей основной части совпадает с развитием этого метода в геометрии. В современной физике с ее весьма сложным и разветвленным математическим аппаратом с полным правом можно говорить о существовании формальной и особенно формализованной аксиоматики (которая в известном смысле представляет высший пункт развития аксиоматического метода). Собственно, в полной мере это выявилось со времени утверждения и построения теорий неклассической физики. Строгий и в какой-то мере исчерпывающий анализ соответствующих вопросов далеко вывел бы нас за рамки этой статьи; попытаемся дать лишь общее представление. Обратимся к уравнению

Оно выражает второй закон механики Ньютона, который предполагает, что масса тела — величина постоянная. Но это уравнение может рассматриваться и как выражающее закон частной теории относительности; в этом случае

где m₀ — масса неподвижного тела («масса покоя»), v — скорость тела, с — скорость света. Уравнение выражает, таким образом, закон релятивистской механики, который предполагает, что масса тела изменяется со скоростью.

Приведенное уравнение может выражать также закон движения в квантовой механике; известно, что величины в квантовой механике и в классической механике связываются одними и теми же уравнениями, но в квантовой механике в Этих уравнениях фигурируют операторы, т. е. величины иной математической природы, нежели величины в классической механике.

Читатель вправе задать вопрос: на каком основании проводятся такого рода «замены» в уравнениях (т. е. чисел на операторы, m на более сложное выражение и т. д.) и что они вообще означают по своему логическому смыслу? Ответить на этот вопрос — значит рассказать о самом содержании классической, релятивистской и квантовой механики, о переходе частной теории с ее понятиями в более общую и глубокую теорию с ее более содержательными понятиями, чем понятия частной теории. Иначе говоря, возвращаясь к только что изложенному, раскрыть понятие массы в релятивистской механике, сказать о том, что операторы в квантовой механике математически изображают физические факты, с которыми классическая теория никогда не встречается, рассказать о самой логике возникновения частной теории относительности и квантовой механики и т. д.

Тем самым мы хотим подчеркнуть, что формальное и формализованное аксиоматическое построение физической науки охватывает развитие ее содержания, способствуя более глубокому познанию природы. Следует здесь отметить, что в физике имеет особое значение вопрос об интерпретации ее формализмов в сравнении с аналогичным вопросом в математике; на этом мы остановимся ниже.

Чем же существен для физики аксиоматический метод? Значение этого метода в физике (в его логическом и методологическом аспектах) и в форме материальной аксиоматики, и в высших ее формах — формальной и формализованной — не просто велико, но — как мы попытаемся доказать — не может быть переоценено. Если сравнить его с другими методами исследования, то нельзя не согласиться с Гильбертом, который сказал об аксиоматическом методе в математике: «Несмотря на то, что генетический метод имеет высокое педагогическое и эвристическое значение, все же для окончательного оформления и полного логического обоснования содержания нашего познания предпочтительнее аксиоматический метод»^[5]. То, что Гильберт говорил о значении аксиоматического метода в математике, относится, на наш взгляд, и к физической аксиоматике. Разумеется, в данном случае, как и всегда, не следует впадать в другую крайность и гипертрофировать глубокую мысль Гильберта, отрицая роль других методов в физическом знании.

Прежде всего коснемся генетического метода, о котором упоминает Гильберт. Говоря о роли генетического метода в познании, мы, в отличие от Гильберта, должны подчеркнуть, что этот метод по-своему «включается» в метод аксиоматический.

Для того чтобы раскрыть эту мысль, зададимся вопросом: как вводится понятие числа? Исходя из допущения о существовании нуля и того положения, что в процессе увеличения числа на единицу возникает следующее за ним число, мы получаем натуральный ряд чисел и развиваем законы счета с ними. Если взять натуральное число а и прибавить к нему Ь раз по единице, то получим число а + Ь, и этим определим (введем) операцию сложения натуральных чисел (вместе с его результатом, называемым суммой).

Сложив теперь числа а, число которых b, мы, таким образом, определим (введем) операцию умножения натуральных чисел и будем называть результат этой операции произведением а на b, обозначая его a^b. Похожим путем — опуская соответствующее изложение — определяем операцию возведения в степень и саму степень.

Обратимся к так называемым обратным операциям по отношению к сложению, умножению, возведению в степень. Допустим, что у нас есть числа а и Ь; как найти число х, удовлетворяющее уравнению а + х = b, ах = b, ха = b? Если а + х = Ь, то х определяется посредством операции вычитания: х = b — а (результат называется разностью). Подобным же образом вводятся операции деления, извлечения корня и взятия логарифма (последние являются двумя обратными операциями по отношению к возведению в степень).

Опираясь на эти определения, можно построить аксиоматику натуральных чисел. Соответствующие аксиомы объединяются в группы: а) аксиомы соединения, б) вычислительные аксиомы, в) аксиомы порядка, г) аксиомы непрерывности. На разборе их мы не останавливаемся (в указанной выше работе Гильберта все необходимое об этом сказано, правда, его изложение отличается от нашего тем, что у него эти аксиомы выступают как аксиомы действительного числа. Этот вопрос мы разъясним ниже).

Мы подошли к узловому пункту наших рассуждений. Практика поиска решений уравнений, в которых фигурируют рассмотренные выше числа (они трактовались как натуральные, но с точки зрения вопросов аксиоматики арифметики их принято рассматривать как положительные целые рационального числа; на наш взгляд, это правильно только при условии ретроспективного к ним подхода), говорит о том, что обратные операции: вычитание, деление, извлечение корня — выполняются не во всех случаях. Не будем приводить соответствующих фактов — они хорошо известны сейчас, — но допустим, что во всех случаях выполняются обратные операции. Собственно, это допущение арифметика реализовала в течение своего исторического развития, и в итоге, как своеобразное логическое резюме этого развития, в ней появились положительные и отрицательные числа, целые числа и дроби, рациональные и иррациональные числа.

Такого рода раздваивание натурального числа на отмеченные противоположности и взаимоотношения между- этими противоположностями привели к понятиям относительного числа, числа как отношения и действительного числа; последнее, следовательно, развилось из простого понятия натурального числа путем последовательных обобщений. Понятие действительного числа в современной арифметике развивается дальше, но для наших целей достаточно сказанного.

* * *

Мы не будем углубляться в поставленные выше вопросы, ибо это означало бы раскрыть содержание научных дисциплин, относящихся к математике, которые были созданы для их анализа. Нас будет интересовать лишь следующее.

Допуская, что во всех случаях выполнимы обратные операции, например (если имеется в виду вычитание), что можно из меньшего числа вычесть большее (иными словами, решить уравнение а — b = х, где Ь > а), мы этим самым уже выходим за рамки теории натуральных чисел. Допущения такого рода предполагают поиск и введение (определение) новых понятий числа, более широких и содержательных в своей совокупности, нежели понятие числа натурального. Для такого введения применяются аксиомы, сформулированные при введении натуральных чисел; эти аксиомы рассматриваются как охватывающие новые числа, что позволяет дать последним соответствующие определения. В примере с вычитанием можно показать, что в результате оперирования с аксиомами получается, скажем,

(14-6) — 10= (10-2) — 10; 4—6 = 0—2.

Подобным путем можно определить (ввести) число 0—1 или —1, 0—2 или —2 (что мы сделали), 0—3 или —3, 0—4 или —4, 0—5 или —5 и т. д. Сопоставляя их с числами натурального ряда, легко увидеть их противоположность последним и, стало быть, обозначая числа натурального ряда как положительные, мы должны назвать новые числа отрицательными.

Вводя натуральные числа, мы выводили относящиеся к ним аксиомы; теперь же эти аксиомы определяют новый класс чисел, которые выступают как положительные и отрицательные (т. е. как относительные числа). Сами эти аксиомы с формальной стороны остаются теми же, но содержание их становится более богатым: сложение отрицательных чисел, а также сложение отрицательных и положительных чисел уже нельзя определять как последовательное увеличение числа а на Ь раз по единице, хотя все не знаемые теорией натуральных чисел виды сложения (как и сложение натуральных чисел) охватываются системой аксиом, которая была создана как аксиоматика натуральных чисел. Только теперь символы в уравнениях аксиом обозначают не натуральные числа, а числа новые, которые были найдены при помощи этих аксиом.

Похожим путем вводятся дробные и целые числа, иррациональные и рациональные числа. С этой точки зрения, натуральный ряд чисел представляет собой совокупность положительных, целых и рациональных чисел, которые противостоят отрицательным, дробным и иррациональным числам, не входящим в этот ряд.

Применение аксиоматического метода к нахождению новых более и более широких классов чисел (в нашем примере: натуральные числа → относительные числа → числа как отношения → действительные числа), применение, в котором, так сказать, становится явной эвристическая функция аксиоматики, Фейнман назвал «шагом в сторону и обобщением»^[6]. По существу, этим приемом пользовался К. Маркс в своих «Математических рукописях», когда разрабатывал диалектику перехода от алгебры к дифференциальному исчислению^[7]. Диалектический анализ некоторых аспектов возникших вопросов можно найти в работе И. А. Акчурина, М. Ф. Веденова, Ю. В. Сачкова «Диалектическая противоречивость развития современного естествознания» (1968)^[8].

В этом применении аксиоматического метода, по сути дела, подчеркивается, что аксиоматика совсем не исключает признания изменчивости основных понятий и логически замкнутых теорий; наоборот, она предполагает необходимость возникновения новых основных понятий и принципов. Все то, что делает аксиоматический метод таким ценным для логического оформления и полного логического обоснования научных теорий, получает в такого рода применении аксиоматики свое подлинное (отнюдь не формально-логическое) завершение и адекватное действительности выражение.

В математике об этом прекрасно сказано Н. Бурбаки: «Единство, которое аксиоматический метод доставляет математике, это — не каркас формальной логики, не единство, которое дает скелет, лишенный жизни. Это — питательный сок организма в полном развитии, податливый и плодотворный инструмент исследования, который сознательно используют в своей работе, начиная с Гаусса, все великие математики, все те, кто, следуя формуле Лежена — Дирихле, всегда стремились „идеи заменить вычислениями”»^[9].

В физике фактически та же картина. Так, принцип относительности, представляющий следствие принципов механики Ньютона, т. е. принцип относительности в его галилеевой форме, не выполнялся для случая распространения света. Последнее явление подчинялось принципам теории электромагнетизма. Встала, таким образом, задача расширить область применимости принципов механики, включив в нее электромагнитные явления. Но это означало, что принципы механики Ньютона должны были с принципами теории электромагнетизма образовать единую цельную систему. Такое сочетание привело к возникновению новых понятий, более широких и содержательных, чем понятия классической механики. Подверглись изменению прежде всего понятия пространства и времени; исчезли понятия абсолютного пространства и абсолютного времени; появились понятия относительного пространства и относительного времени, которые оказались аспектами единого четырехмерного пространственно-временного континуума. Соответственно преобразование Галилея (связывающее в механике Ньютона инерциальные системы отсчета и предполагающие абсолютные пространство и время) было заменено преобразованием Лоренца (которое, связывая инерциональные системы отсчета, предполагает относительные пространство и время). Принцип относительности предстал уже в обобщенной эйнштейновой форме, возникла релятивистская механика.

Вторым примером может служить квантовая механика. В этой теории — имея в виду теорию в ее логически замкнутой форме, — есть основополагающий постулат: каждой физической величине (динамической переменной) классической механики отвечает в квантовой механике определенный линейный оператор, действующий на волновую функцию, и допускается, что между этими линейными операторами существуют те же соотношения, какие имеют место в классической механике между соответствующими величинами.

В квантовой механике основополагающая роль принадлежит также постулату, устанавливающему связь между оператором и значением величины, характеризующим показание измерительного устройства (посредством которого узнают о микрообъекте).

Два наших примера — своего рода логическая сводка того положения вещей, которое сложилось в теории относительности и квантовой механике, когда эти теории были построены. Как и всякая сводка, она не передает всего многообразия логических и фактических ситуаций, которые складывались при рождении этих теорий, не передает деталей того сочетания размышлений и экспериментов, которое вызвало к жизни принципы этих ведущих теорий современной физики. Чтобы избежать возможных недоразумении при уяснении того приема нахождения новых понятий (посредством аксиоматики), о котором шла речь, необходимо обратить особое внимание на тот факт, когда аксиомы, будучи выведены при определении таких- то основных понятий, в свою очередь становятся опорой для выведения новых, более широких и содержательных основных понятий, чем первоначальные. Уравнения, выражающие аксиомы, содержат теперь символы без реального значения; в нахождении же этих реальных значений, т. е. в нахождении новых понятий (и значит, в построении новой теории), и заключается суть дела. Метод математической гипотезы, метод принципиальной наблюдаемости, ‘другие теоретические методы современной физики и решают, как известно, эту задачу.

Учитывая подобного рода обстоятельства, становится ясным, что хотя — если обратиться к вышерассмотренному примеру — структура аксиом относительных чисел или действительных чисел одинакова со структурой натуральных чисел, из одной только этой изоморфности нельзя еще узнать, скажем, о том, как складываются или умножаются отрицательные числа. Точно так же аналогичность структуры принципов классической, релятивистской и квантовой механики сама по себе еще не гарантирует знания основных законов релятивистской и квантовой механики (если известны законы классической, механики). Здесь не бесполезно вспомнить замечание Энгельса о законе отрицания отрицания. С одним знанием того, что этот закон диалектики охватывает развитие зерна и исчисление бесконечно малых, говорил Ф. Энгельс, «я не могу ни успешно выращивать ячмень, ни дифференцировать и интегрировать…»^[10]. Подобным же образом обстоит дело и с аксиоматикой. Плодотворная методологическая роль законов диалектики, равно как и аксиоматики, нисколько не уменьшается.

2. Некоторые аспекты и функции аксиоматического метода

Наиболее развитую и совершенную форму знание обретает в науке (образцом ее является физика), которая обеспечивает адекватное познание природы. В отличие от других форм знания науке, как его высшей форме, присущи системный и структурный подход; наличие их означает, что одна совокупность понятий, взятая вне теоретической системы, не есть еще наука.

С этой точки зрения аксиоматическому методу в науке принадлежит важнейшая роль, поскольку он исторически выработался как метод теоретического построения науки и, значит, как метод, определяющий ее архитектуру. При помощи аксиоматического метода выведываются у природы наиболее общие законы, действующие в области явлений, охватываемой такой-то наукой; возникают аксиомы, или принципы (аксиоматически) созидаемой научной системы, которые сводят в единую структуру связанное отношениями множество изучаемых явлений.

В аксиоматически построенной теории ее положения выводятся путем дедукций из аксиом. Отсюда, казалось бы, явствует, что аксиоматический метод, обеспечивающий точность применяемых понятий и определенность, последовательность и доказательность рассуждений, исключает идею гибкости понятий, признание изменчивости научных положений, перехода одних научных теорий в другие, более глубокие и т. д. Отсюда уже недалеко до утверждения, что аксиоматический метод в пауке служит только для полного логического обоснования и окончательного оформления содержания научного познания и по природе своей чужд диалектическому мышлению.

Однако это утверждение — несомненная крайность. Упорядочивание языка понятий науки или теории — это существенное дело аксиоматического метода, но оно не сводится к одному такому упорядочиванию. В физике — как было показано на ряде примеров в предшествующем параграфе — аксиоматический метод позволяет находить новое не только в том смысле, что положения или понятия, потенциально содержащиеся в данной теории, раскрывают себя и становятся явными в процессе дедукции, но и в том более глубоком смысле, что посредством аксиоматического метода отыскиваются новые принципы и новые фундаментальные понятия, полагаемые в логическое основание новой теории. То же мы находим и в математике, понять существо которой ставит основной целью аксиоматический метод. «Там, — читаем у Н. Бурбаки, — где поверхностный наблюдатель видит две или несколько теорий, совершенно отличных друг от друга по своему внешнему виду, и где вмешательство гениального математика приводит к обнаружению совершенно „неожиданной помощи^[11], которую одна из них может оказать другой, там аксиоматический метод учит нас искать глубокие причины этого открытия, находить общие идеи, скрывающиеся за деталями, присущими каждой из рассматриваемых теорий, извлекать эти идеи и подвергать их исследованию»

Точка зрения Н. Бурбаки на аксиоматический метод в математике отражает содержание и дух современной математики. Нам представляется, что аксиоматика в современной физике сходна с аксиоматикой, о которой пишет Н. Бурбаки; попытаемся дальше показать, что дело обстоит именно таким образом.

Как сами физики решают вопрос об аксиоматике в их науке? Остановимся очень коротко на взглядах Эйнштейна и Фейнмана.

По Эйнштейну, чисто математические конструкции позволяют найти те понятия и закономерные связи между ними, которые дают ключ к пониманию явлений природы. Соответствующие математические понятия могут быть подсказаны опытом, но они ни в коем случае не могут быть выведены из него. Эйнштейн не один раз останавливался на том, что опыт остается единственным критерием пригодности математических конструкций физики. «Но, — подчеркивает он,— настоящее творческое начало присуще именно математике. Поэтому я считаю в известном смысле оправданной веру древних в то, что чистое мышление в состоянии постигнуть реальность»^[12].

Фейнман расходится, казалось бы, с Эйнштейном. Пока физика не полна и мы пытаемся открыть новые законы, утверждает Фейнман, мы постоянно должны иметь в виду все возможные способы описания и поэтому в физике нужен вавилонский метод, а не аксиоматический.

Такое положение вещей, по Фейнману, изменится, когда физики будут знать все законы природы, т. е. когда физика станет полной, и эта перспектива, по его мнению, вполне реальна^[13].

Обратимся ближе к высказываниям Эйнштейна й Фейнмана.

И Эйнштейн и Фейнман подчеркивают объяснительную и предсказательную функции аксиоматического метода как важнейшие для теории, которые, однако, не выходят за рамки этой теории. Эйнштейн проводит эту мысль без всяких оговорок, Фейнман же их важнейшее значение для теории признает в принципе, т. е. признает для физики того времени, когда будут известны все законы природы, а последнее более чем возможно (в неполной физике, а таковой она является сегодня, нужен вавилонский, т. е. эмпирический, метод, когда известно многое, но не осознано до конца, что это «известное» может быть выведено из набора аксиом).

Таким образом, и Эйнштейн и Фейнман отказывают аксиоматическому методу в функции, которую мы назвали бы эвристической функцией, т. е. функцией поиска новой фундаментальной теории (и, следовательно, новых аксиом), о которой в общих чертах шла речь в начале этого параграфа: у Эйнштейна это видно непосредственно из его высказываний, Фейнман функцию поиска новых фундаментальных положений отводит «вавилонскому» методу.

Впрочем, эти соображения об аксиоматическом методе у Эйнштейна и Фейнмана надо понимать cum grano salis. Эйнштейн и Фейнман обращают внимание на то, что в физике одной только математикой довольствоваться нельзя. Математика, говорит Фейнман, готовит абстрактные доказательства, которыми физик может воспользоваться, приписав реальному миру некоторый набор аксиом, но физик не должен забывать о значении своих фраз; получив выводы, он должен их перевести на язык природы. Только так он сможет проверить истинность своих выводов (в математике этой проблемы не существует)^[14].

Но и рассуждения физиков, продолжает Фейнман, часто приносят пользу математикам: одна наука помогает другой. Не останавливаясь подробно на этом, приведем итоговую мысль Фейнмана: «Тем, кто не знает математики, трудно постичь подлинную, глубокую красоту природы»^[15].

Приблизительно то же говорит и Эйнштейн, но у него, по сравнению с Фейнманом, имеется одна дополнительная сугубо существенная идея в плане рассматриваемых вопросов.

Эйнштейн неоднократно высказывал мысль о том, что аксиоматические основы теоретической физики не извлекаются из опыта, а должны быть свободно изобретены^[16]. Это совсем не означает, что Эйнштейн придерживается философии Платона, или защищает априоризм, или что ставит под вопросы возможность найти правильный путь к пониманию природы и т. д.

Эйнштейна надо брать в целом в его высказываниях, чтобы верно судить о его философских и методологических идеях в физике. В той же статье, откуда приведено только что указанное высказывание, утверждается, что опыт есть начало и конец всего нашего знания реальности, что существует правильный путь познания природы и мы способны найти его и т. д.^[17] Эйнштейн стоит на позиции многосторонности познания; об этой диалектической черте его гносеологических взглядов шла речь в марксистской философской литературе^[18]. Здесь хотелось бы обратить внимание только на следующее.

G Эйнштейном нельзя не согласиться, когда он утверждает, что аксиомы физики не выводятся логическим путем — имея в виду формальную логику — из эмпирических данных. К аксиомам физических теорий, отмечает он, ведет не логический путь, а «только основанная на проникновении в суть опыта интуиция»^[19]. Вместо термина «интуиция», нам представляется, больше подошло бы слово «фантазия»; в самой строгой науке нельзя обойтись без фантазии: об этом хорошо сказано в «Философских тетрадях» В. И. Ленина^[20].

* * *

Кратко рассмотрим вопрос о принципах, которым должны удовлетворять аксиомы логически завершенной (аксиоматизированной) физической теории.

Аксиомы, лежащие в логическом фундаменте теории определенной области явлений природы, образуют систему, имеющую определенную структуру. Это означает, что аксиомы связываются отношениями, к которым принадлежит независимость аксиом, их непротиворечивость, полнота. Такую совокупность аксиом называют набором аксиом.

Независимость аксиом есть выражение того, что каждая входящая в набор аксиома является именно фундаментальным положением в данной теории; именно поэтому она входит в набор только фундаментальных положений теории, в которой каждое положение не может быть выведено из любого другого. Таким образом, если утверждается, что изложение теории должно начинаться с наиболее простых отношений ее объектов, то независимость аксиом в рамках аксиоматического метода и выражает это утверждение.

Непротиворечивость аксиом заключается в том, что ни одна аксиома, входящая в набор, не может противоречить любой другой аксиоме. В случае наличия такого противоречия невозможна интерпретация построенной на аксиомах теории. Если иметь в виду эмпирическую интерпретацию, то сказанное означает, что опыт не подтверждает такой теории. Таким образом, непротиворечивость системы аксиом — это необходимое требование истинности аксиом. Но оно одно само по себе не является достаточным для решения вопроса об истинности теории, в основе которой находится непротиворечивая система аксиом. Здесь, как известно, на сцену выступает эксперимент, опыт, практика. С другой стороны, непротиворечивость аксиом — необходимое и достаточное условие для единства предложений физической теории, если таковая является дедуктивной. Следует, однако, учесть, что аксиоматизированная теория дает адекватное отражение соответствующей ей области явлений при условии отвлечения от связей этой области явлений как целого с другими областями явлений, отвлечения от переходов явлений этой области в явления более широкой области.

Для наших целей принцип полноты системы аксиом данной теории можно выразить таким образом. Это требование, предъявляемое к системе аксиом, заключается в том, что данная система аксиом достаточна для того, чтобы теория определенной области явлений охватывала бы все явления этой области (т. е. объясняла бы все известные и предсказывала бы все неизвестные явления этой области), связывая их единой дедуктивной цепочкой рассуждений.

Мы не собираемся разбирать вопрос о критериях полноты системы аксиом, во в физике, когда речь идет о полноте такой теории, зачастую решающая роль принадлежит опыту. Например, противоречия на стыке классической механики и классической электродинамики вместе с отрицательным результатом опыта Майкельсона привели к выводу, что ни система аксиом классической механики, ни система аксиом классической электродинамики не являются полными системами, если допустить, что каждая из них должна была охватить явления, относящиеся к электродинамике движущихся тел. Известно, как Эйнштейн решил эту проблему, создав теорию относительности, которая ныне стала инженерной дисциплиной.

Необходимо подчеркнуть, что только совокупность требований независимости, непротиворечивости и полноты, предъявляемых к системе аксиом, лежащих в логическом основании теории, обеспечивает дедуктивную целостность этой теории, единство ее понятий и многообразных отношений между последними.

С точки зрения гарантии наиболее полного отражения данной теорией ее области явлений (т. е. явлений вместе с их сущностью, законами и т. д.) при аксиоматическом построении теории требованию полноты принадлежит решающая роль. Остальные два требования независимости и непротиворечивости только поддерживают требование полноты, которое, однако, без этой «поддержки» не могло бы выполнять своей задачи.

3. Об аксиоматике современных физических теорий

Считается — и с полным правом — что наличие системы аксиом в теории — это признак ее логической завершенности (замкнутости), но в истории знания и науки логическая завершенность теории чаще всего рассматривалась как своего рода синоним ее универсальности и неизменности. Последнее исторически было оправдано двухтысячелетним (до середины XIX века) царственным существованием геометрии Евклида как единственной геометрической системы или двухсотлетним (до XX века) господством механики Ньютона как окончательной, непререкаемой теоретической системы физики. Мы старались показать иллюзорность такого представления, если рассматривать аксиоматические идеи в плане логики. Логическая завершенность теории не исключает ее развития, но, напротив, предполагает такое развитие — эту мысль мы предполагаем в заключительной части рассмотреть более определенно.

Идеал классического понимания аксиоматического построения в физике первый удар получил от электромагнитной теории Максвелла. Однако суть этого понимания аксиоматики не изменялась: многие физики в период расцвета электромагнитной картины мира на место тел механики с аксиомами Ньютона поставили электромагнитное поле с уравнениями Максвелла (сама же механика Ньютона казалась опровергнутой, не имеющей отношения к основаниям мироздания и т. д.). Точка зрения диалектического материализма на этот вопрос в то время была высказана В. И. Лениным. Когда складывалась электромагнитная картина мира, В. И. Ленин указал па несостоятельность того взгляда, будто материализм утверждает «обязательную „механическую», а не электромагнитную, не какую-нибудь еще неизмеримо более сложную картину мира, как движущейся материи»^[21]. И Ленин оказался прав, как показало развитие физики после теории электромагнетизма Максвелла.

Окончательный удар по классическому пониманию аксиоматики в физике нанесли теории относительности и особенно развитие квантовой механики, когда она приняла современную форму.

Выяснилось — это обстоятельство в другой связи отмечалось выше, — что ньютонова механика имеет границы области явлений, которые она призвана объяснять и предвидеть, т. е. имеет пределы своей применимости, что электромагнитные явления па движущихся телах, а также явления атомного масштаба не могут быть описаны и объяснены при помощи понятий и принципов механики Ньютона. Экспериментальные исследования соответствующих явлений вместе с анализом возникших в классической физике теоретических ситуаций привели, с одной стороны, к теории относительности, а с другой — к квантовой механике. Ныне, как известно, физик свыкся с мыслью, что ни одна замкнутая физическая теория не является абсолютом, имеет пределы своей применимости и в этом смысле является приближенной и т. д.

Но как найти предел применимости теории и что такое этот предел? Начнем с последнего вопроса. Существуют явления, которые не могут быть описаны на языке понятий некоторой теории, а если они могут быть описаны, то они не могут быть в ней объяснены; такая теория оставляет в стороне сферу этих явлений, т. е. область применимости теории — ту область явлений, которую эта теория объясняет или может объяснить. Другими словами, за пределом применимости некоторой теории функционирует (т. е. описывает, объясняет и, следовательно, предсказывает) уже принципиально другая теория.

Мы не собираемся углубляться в вопрос о пределе применимости теории. Но на одном его аспекте стоит остановиться. Часто употребляется выражение — и, по-видимому, с полным логическим правом, — «предел развития теории»; что означает это выражение и какое оно имеет отношение к выражению «предел применимости теории», о котором только что шла речь?

Вопрос этот только кажется надуманным. Дело в том, что принято утверждать об аксиоматической системе, что не имеет смысла говорить о ее развитии. В самом деле, все теоремы аксиоматической системы могут трактоваться как содержащиеся в неявной форме в аксиомах и правилах вывода; только деятельность математика (или соответствующего устройства) может сделать явной любую содержащуюся в ней теорему (а таких теорем различной степени упорядочения содержится в аксиоматической системе бесконечное множество). Вместе с тем кто не знает, что в реальной действительности выведение (дедуцирование) теорем из аксиом — дело далеко не стандартное и получение, скажем, геометрического (или механического) факта и положения из соответствующей системы аксиом — это, как и всюду в познании, решение проблемы поиска неизвестного по известным данным! Еще Энгельс говорил, что даже формальная логика представляет метод для отыскания новых результатов.

Дедуктивный (включающий собственно аксиоматический) метод, как и любой метод, применяющий положения формальной и диалектической логики, не может обходиться без фантазии. Стоит еще раз напомнить о том, что, по Ленину, даже в самом элементарном обобщении имеется кусочек фантазии. Естественно, что роль фантазии намного увеличивается^[22], когда дело идет о все более и более масштабных и глубоких обобщениях, которыми занимается наука и без которых наукой она перестает быть.

Таким образом, поскольку дедуктивный или, имея в виду его высшую форму, аксиоматический метод ведет от известного к неизвестному и увеличивает научное знание, постольку аксиоматическую систему следует рассматривать как могущую развиваться и развивающуюся при соответствующих условиях теоретическую систему. Развитие аксиоматизированной теории — это получение в пределах ее применимости новых, ранее неизвестных, фактов и положений. Это развитие теории, — как явствует из его определения,— протекает, так сказать, внутри ее самой; теория в этом развитии не выходит за свои пределы, с точки зрения своих оснований (системы аксиом) она остается такой же.

Рассмотрим теперь вопрос о том, как найти предел применимости или предел развития аксиоматизированной теории.

Разумеется, ответ заключается не в показе того, что одна построенная теория содержит в себе другую построенную теорию, причем первая находит ей присущим путем пределы применимости второй теории, доказывая, что последняя является ее предельным случаем. Это не способ решения вопроса, здесь скорее предполагается наличие такого решения. Могут ли пределы применимости теории или границы области явлений, которые она объясняет, отыскиваться эмпирическим путем? Смотря по обстоятельствам.

Явления, которые фиксировал опыт Майкельсона или так называемая «ультрафиолетовая катастрофа», действительно стали предельными пунктами применимости классической механики: из этих двух «облачков» на ясном небе классической физики — так их назвали когда-то — возникли (частная) теория относительности и квантовая механика. Однако сравнительно давно известный факт движения перигелия Меркурия, который не охватывался теорией тяготения Ньютона, отнюдь не стал предельным пунктом применимости этой теории. Теория тяготения Эйнштейна, которая определила пределы применимости теории тяготения Ньютона, была найдена не на том методологическом пути, на котором возникли теория относительности и квантовая механика. В создании теории тяготения Эйнштейна решающую роль сыграл принцип эквивалентности, предполагающий тождественность инерции и тяготения, т. е. по существу дела, опытный факт: все тела падают в пустоте с одним и тем же ускорением. Этот факт был известен Ньютону, но он не включил его в теоретическое содержание своей теории тяготения, а фиксировал только эмпирически.

Таким образом, случается, что установленная теория не объясняет некоторые известные опытные факты, к этому привыкают. Позднее же оказывается, что теоретическое истолкование или объяснение этих фактов выходит за пределы установленной теории. Именно таким образом была создана общая теория относительности, или теория тяготения, Эйнштейна, которая во время своего созидания опиралась на тот же опытный материал (на ту же экспериментальную базу), что и теория тяготения Ньютона, но… добавляла к нему комплекс новых идей, чуждых классическим представлениям. Со стороны логики процесс такого рода возникновения теории будет рассмотрен ниже.

Итак, как найти пределы применимости аксиоматизированной теории, ее принципов и понятий, т. е. как определить область явлений, за границей которой она перестает действовать и требуется новая теория?

Логически построенная теория, или аксиоматизированная теоретическая система, — которая правильно функционирует в рамках своей применимости, должна быть непротиворечивой и полной. Непротиворечивость и полноту самой системы, как показал К. Гедель, нельзя доказать теоретическими средствами этой системы. Обычно принимают без доказательства — так молчаливо допускалось в течение исторического развития геометрии Евклида и механики Ньютона, — если не требуется специально противоположного, что такая-то теория непротиворечива и полна, подобно тому как принимается без доказательства, если этому не мешают факты, что такая-то теория универсальна (о чем шла речь выше). То, что такая-то теоретическая система непротиворечива и полна, означает для положений, которые в ней явно и неявно содержатся, что все они не могут ей противоречить и должны в ней объясниться, т. е. все они объясняются в ней в конце концов на основе ее аксиом и фундаментальных понятий.

Из последнего утверждения следует, что если явление, которому, так сказать, положено быть объяснимым данной теорией, не только не объясняется, а, напротив, возникают противоречия в процессе этого объяснения, какие не могут быть решены этой теорией (парадоксы), то в данном случае мы вправе рассматривать наличие таких парадоксов как симптом приближения теории к своему пределу.

Возможно, конечно, что после соответствующих размышлений, вызванных противоречием, уточняются отдельные положения и понятия теории и противоречие разрешается на основе данной теории: в данном случае противоречие и его разрешение служат только логическому совершенствованию теории на основе ее принципов. То же mutatis mutandis относится и к вопросу о полноте теории. Эйнштейн, Розен и Подольский в свое время сформулировали положения, из которых явствовала будто бы неполнота квантовой механики в вероятностном понимании Бора. Выяснилось, однако (Бор это доказал), что Эйнштейн неправ: в его парадоксе исходное положение в применении к проблемам квантовой механики обладает неоднозначностью^[23]. Такого рода случаи нас не будут интересовать: они касаются проблемы логического совершенствования данной теории в соответствии с ее аксиоматикой, а не вопроса о границах ее применимости.

* * *

Обратимся теперь к парадоксам, которые, возникая в теории, не разрешаются ее средствами; они, как было отмечено, являются признаками того, что теория подошла к своему пределу. Но последнее — мы на это обращаем внимание — означает, что встает необходимость поиска новой теории, построенной на принципах и фундаментальных понятиях, отличающихся от фундаментальных положений и понятий первой теории, такой теории, которая разрешала бы указанные парадоксы (вернее, в которой этих парадоксов не существовало бы). Анализ соответствующих проблем — главная задача всего дальнейшего изложения.

Прежде всего подчеркнем, что логическим путем (и выражением) исторического движения от классической физики к современной было именно рождение в (классической) теории тех парадоксов, о которых сейчас говорилось, и разрешение этих парадоксов. Эта особенность в известной мере характерна и для электромагнитной теории Максвелла, ближайшей предшественнице неклассических теорий. Макевелл, объединив все экспериментальные данные по электричеству и магнетизму, найденные Фарадеем, и выразив их на языке математических понятий, увидел своего рода противоречие между полученными уравнениями. Чтобы выправить положение, он добавил без всякого экспериментального обоснования (оно пришло позже) в уравнение одно выражение и… родилась теория электромагнетизма. Метод математической гипотезы, примененный Максвеллом^[24], и в дальнейшем оказался плодотворен.

Другим примером может послужить частная теория относительности Эйнштейна. Она родилась на стыке классической механики и классической электродинамики в результате разрешения парадокса, противоречия между принципом относительности Галилея и принципом независимости скорости света в вакууме от движения излучающего источника, рассмотренных совместно. М. И. Подгорецкий и Я. А. Смородинский назвали такие «стыковые» парадоксы «противоречиями встречи»^[25]. Указанный парадокс и его разрешение — великолепный образец диалектического противоречия в применении к большим проблемам современной физики, о чем в марксистской философской литературе имеются соответствующие исследования^[26]. В решении этого парадокса, т. е. в создании теории относительности, важную роль сыграл метод принципиальной наблюдаемости.

Квантовая механика появилась тоже в какой-то мере в качестве результата разрешения «противоречия встречи», в данном случае — классической корпускулярной механики (та же механика Ньютона) и классической волновой теории. Но роль волновой теории здесь играла не соответствующая теория вещества, а электромагнитная теория, и потому «встреча» была далеко не столь простой, как в случае возникновения частной теории относительности; квантовая механика появилась в результате разрешения не одного только «противоречия встречи», но и ряда других. Некоторые из них будут рассмотрены ниже; здесь существенно указать, что возникшая теория по отношению к первоначальным (это касается и теории относительности) является, выражаясь языком современной логики, их своего рода метатеорией.

Для понимания того, как рождалась квантовая механика, первостепенное значение имела проблема, которую можно назвать проблемой устойчивости (стабильности) структуры обычных тел, молекул, корпускул (телец), или тех атомов, которые с точки зрения механики Ньютона лежат в фундаменте материи и движения которых определяют в конце концов все мировые перемены. Ньютон «вышел из положения», постулировав бесконечную твердость божественного происхождения первоначальных атомов и т. д.^[27] Эта же проблема встала, так сказать, во всей своей непосредственной наглядности, когда выяснилось, что «первозданный» атом стал системой, состоящей из электрически заряженных частиц (положительного ядра и отрицательных электронов), и надо было решать проблему его устойчивости с точки зрения классической теории электромагнетизма. Известно, что «атом Резерфорда» был обязан своей «стабильностью» не столько законам тогдашней физики, сколько оптимизму Резерфорда и его последователей, что вопрос в дальнейшем удастся решить положительно. И он действительно был решен молодым в то время (1913) датским физиком Н. Бором, построившим атомную модель, применив к «атому Резерфорда» тогда еще гипотезу квантов Планка. «Атом Бора» оказался действительно стабильным атомом, и эта стабильность была объяснена законами природы, т. е. древний атом обрел, наконец, устойчивость и обрел не потому, что кто-то уверял себя и других в этом от своего имени, или от имени всевышнего, а потому, что так установили квантовые законы движения материи. Отсюда и пошло развитие основного ствола квантовой теории (вобравшего в свое содержание идею единства корпускулярных и волновых свойств микрообъектов) и приведшего к квантовой механике (1924-1928).

Впрочем, если глубоко вдуматься в то, как была решена проблема устойчивости структуры атомных частиц материи, то покажется странной мысль, что ее возможно решить иначе, а не так, как она была решена. Ведь объяснять свойства и движение макрообъектов законами движения и свойствами составляющих их микрообъектов удается — не впадая в regresus ad infinitum — лишь тогда, если не приписывать последним свойств и движения макрообъектов. Это и осуществляется квантовой механикой, которая блестяще показала, что микрообъекты подчиняются совсем не тем законам, которым подчиняются макрообъекты. Но тогда твердость макротел, постоянство эталонов длины и времени и т. д., т. е. те физические характеристики макрообъектов, без которых невозможны измерения и, следовательно, физическое познание, должны получать и действительно получают свое обоснование в квантовой механике как механике объектов на атомном уровне.

С другой стороны, человек — да позволено будет так выразиться — макроскопическое существо; он узнает о микромире только при условии воздействия микрообъектов на макрообъекты, которые человек присоединяет к своим органам чувств; эти макрообъекты (для человека они становятся приборами) и дают возможность узнать человеку о микромире опосредствованным путем. Таким образом, при познании микрообъектов человек не может не пользоваться классическими понятиями, поскольку через них только он описывает показания приборов, т. е. поскольку при измерении он не может обходиться без применения классических теорий.

Таково взаимоотношение квантовой и классической механики; оно подводит нас к пониманию того соотношения между основоположениями теорий физики, которое, как нам представляется, характерно для физики XX века.

Отметим сначала, что механика атомного мира (квантовая механика) не только не сводится к механике макротел (классической механике); теория электромагнетизма тоже не сводится к классической механике (как и не поглощает последнюю) — но соотношение между ними содержит нечто большее. Квантовая механика, как говорилось выше, является в известном смысле основанием классической механики; она обосновывает ее некоторые фундаментальные понятия, которые отражают свойства макроскопических объектов, т. е. по отношению к этим понятиям она поступает аналогично классической механике, в которой обосновываются аксиомами производные понятия.

Фундаментальные понятия в их связях, образующих основные уравнения классической механики, вырабатываются из представлений, взятых из обыденного опыта. Последнее обстоятельство придает аксиомам механики необходимую физическую содержательность, без чего эти уравнения превратились бы в чисто формальные, которые нельзя было бы называть физическими. Что же касается основных фундаментальных понятий в их связях, выражаемых основными уравнениями неклассических теорий, то математические абстракции, соответствующие этим уравнениям, связываются с природой (т. е., так сказать, офизичиваются) в каждой теории по свойственным этой теории правилам, причем используются понятия классической физики.

С точки зрения сказанного система аксиом теории содержит основные понятия в их связях, которые в этой системе логически не обосновываются, а постулируются на базисе тех или других убеждающих соображений, которые принимаются во внимание при построении системы. В таком аспекте теорию называют неполной (и незамкнутой), но эта неполнота другого в принципе характера, нежели, скажем, та неполнота квантовой механики, которую имел в виду Эйнштейн, когда дискутировал с Бором. Фундаментальные понятия в их связях, образующие аксиоматическую систему теории, могут быть обоснованы средствами более глубокой и широкой теории, чем рассматриваемая теория, с новой аксиоматикой и т. д. В плане логики статус «обоснованности» фундаментальных понятий в их связях в аксиоматике теории сходен со статусом «непротиворечивости», «полноты» аксиоматической системы, которые, как доказал Гедель, не могут быть обоснованы средствами этой системы. Или в более общей форме: основополагающие положения теоретической системы нельзя получить ее логическими средствами, но они могут быть найдены логическими средствами более широкой и глубокой теории^[28]. Если пользоваться логической терминологией, то можно сказать, что квантовая механика — своего рода метатеория классической механики.

Вернемся к примеру с теорией тяготения Эйнштейна, который приводился выше. Теория тяготения Ньютона вместе с классической механикой не «задумывалась» над пропорциональностью или (при надлежащем выборе единиц) равенством тяжелой и инертной массы тела: она классической механикой только констатировалась, принималась как экспериментальный факт одинаковости ускорения различных тел в поле тяжести. Найти обоснование равенства тяжелой и инертной массы, или, лучше сказать, основание положения: тяжелая и инертная массы тела равны — означало выход за пределы теории тяготения Ньютона и построение теории, которая была бы своеобразной метатеорией по отношению к этой теории тяготения. Последнее и сделал Эйнштейн, создав новую теорию тяготения, или, как он ее назвал, общую теорию относительности.

Раскрыв положение «тяжелая и инертная масса тела равны», Эйнштейн далее говорит, что классическая механика его «констатировала, но не истолковывала» (мы в данном случае пользовались выражением: классическая механика не обосновывала, не находила основания и т. д.). И Эйнштейн заканчивает: «Удовлетворительное истолкование можно дать в следующей форме: в зависимости от обстоятельств одно и то же качество тела проявляется либо как „инерция», либо как „тяжесть»»^[29]. Эйнштейн, сформулировав эту идею, дал, таким образом, обоснование эмпирически констатируемому в классической теории равенству тяжелой и инертной массы и положил начало своей теории тяготения. Следующая выдержка (мы не будем ее комментировать) из работы Эйнштейна «Что такое теория относительности» может служить иллюстрацией его основополагающей идеи: «Представим себе систему координат, которая равномерно вращается по отношению к инерциальной (в ньютоновском смысле) системе. Центробежные силы, которые проявляются относительно этой системы, должны быть, по Ньютону, приписаны инерции. Но эти центробежные силы, подобно гравитационным, пропорциональны массам тел. Нельзя ли в таком случае рассматривать нашу систему координат как покоящуюся и центробежные силы как гравитационные? Такая точка зрения кажется очевидной, но классическая механика не допускает ее»^[30].

Если свести воедино все то, что говорилось, выражаясь условно, о теории и ее метатеории, напрашивается следующее заключение. Парадоксы, возникшие в теории, которые не могут быть разрешены ее логическими средствами, являются признаком, что данная теория достигает своих границ значимости, а ее аксиоматика (аксиоматическое построение) —высшего логического завершения, возможного с точки зрения действительного содержания теории и ее аксиоматической формы. Такие парадоксы отличаются принципиально от парадоксов, возникающих в теории и разрешаемых ее логическими средствами, т. е. таких парадоксов, которые говорят о логическом несовершенстве теории (неверности в рассуждениях или неточности в посылках). Наличие парадоксов в теории, не разрешаемых ее логическими средствами, свидетельствует о необходимости поиска более общих и глубоких теорий, средствами которых решаются эти парадоксы (разрешение таких парадоксов обычно совпадает с построением отыскиваемой общей теории). Итак, существование парадоксов этого типа означает, по существу дела, что физическое познание объектов не задерживается на уровне такой-то теории, а развивается, охватывая новые стороны материальной действительности и не отбрасывая уже достигнутого такой-то теорией знания; существование парадоксов этого типа означает и то, что теория, которая их содержит, но своими средствами не разрешает, в потенции включает более общую и глубокую, чем она, теорию. С этой позиции каждая аксиоматизированная теория необходимо и обязательно содержит такое знание, которое не может быть обосновано средствами этой теории. Без этого познание застыло бы на определенной точке, а достигнутое превратилось бы в метафизический абсолют.

Развитие теории современной физики обеспечивается генетическим рядом теоретических систем, представляющих собой связанные определенными соотношениями, замкнутые или логически строящиеся аксиоматические структуры, из которых в генетическом ряду более общаг: теоретическая система вырастает из более частной. Таким образом, идея о единой аксиоматической системе всей физики в духе механистических идеалов XVIII—XIX веков была похоронена развитием физической науки; такая система оказалась невозможной и с точки зрения логики, как показали теоремы Геделя. Логическое развитие теории и физической науки в целом выражает генетическая иерархия аксиоматических систем, которая сочетает и тенденцию стабильности и тенденцию изменчивости, присущих отдельным аксиоматическим системам и их совокупности.

Единой аксиоматической системе (структуре) в духе классической физики хотя и положен конец, но в области идей больше, чем в какой-либо другой, мертвый хватает живого. Единая аксиоматическая система возрождается в современной физике, правда, в форме, казалось бы, далекой от своего «классического» образца. И в наши дни в литературе можно встретить следующее представление о физической науке: физика строится как в принципе строгая, непротиворечивая аксиоматическая система, охватывающая все разделы, в которой исторически более ранняя теория (со своей аксиоматикой) является предельным частным случаем исторически более поздней (она оказывается более широкой) теории, чем первая. Со временем то же происходит и с последней теорией и т. д. Приблизительно такую картину с аксиоматикой в современной физике рисует Фейнман. Здесь, впрочем, возникает вопрос: длится ли это «и т. д.» до бесконечности?

Спрашивается: действительно ли бесспорна такая единая, объемлющая всю физику аксиоматика, которая учитывает ее современное и возможное в будущем развитие?

По существу ответ на этот вопрос дан предшествующим изложением о взаимоотношении «теории» и «метатеории» в физике. Нам осталось лишь подчеркнуть некоторые стороны проблемы.

Когда обобщается теория, т. е. совершается переход от частной теории к общей, то частная теория отнюдь не исчезает начисто в общей, а общая теория совсем не становится единственно верной теоретической системой в физике, как выходит в соответствии с единой аксиоматикой в физической науке. На самом деле, частная теория сохраняется в общей и сохраняется в модифицированном виде (это относится и к определенным понятиям частной теории): она остается в общей теории как приближенная теория, а ее понятия тоже сохраняются как приближенные. С этой точки зрения и в теории относительности Эйнштейна можно говорить об абсолютной одновременности. Таким образом, теория не отбрасывается с переходом ее к общей теории, а делается относительной истиной, т. е. абсолютной истиной в определенных пределах; последнее — самое «лучшее» для теории с точки зрения ее отношения к объективной реальности, поскольку выясняется, насколько она верна.

Со всем этим связано разрешение вопросов (некоторые из них рассматривались выше): почему в поиске «неевклидовости» некоторой пространственной формы необходимо использовать евклидову геометрию; почему о свойствах пространственно-временного континуума мы узнаем из измерений отдельных пространства и времени; почему понятия классической механики применяются для описания экспериментов, которые являются опытным базисом квантовой механики, и т. п.

Итак, диалектическое противоречие — источник развития и жизненности — действует и в аксиоматике.

Мы имеем в виду статику, созданную Архимедом. ↑
«Геометрия, — писал Ньютон, — основывается на механической практике и есть не что иное, как та часть общей механики, в которой излагается и доказывается искусство точного измерения» («Математические начала натуральной философии», пер. А. Н. Крылова. М., 1915, стр. 2). ↑
А. Эйнштейн. О методе теоретической физики. — Собрание научных трудов, т. IV. М., 1967, стр. 182. ↑
С. К. Клини. Введение в метаматематику. М., 1957, стр. 32. ↑
Д. Гильберт. О понятии числа. — «Основания геометрии». М—Л., 1948, стр. 316. ↑
Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сандс. Фейнмановские лекции по физике, вып. 2, М., 1965, стр. 110. ↑
См. К. Маркс. Математические рукописи. М., 1968. ↑
«Материалистическая диалектика и методы естественных наук». М., 1968. ↑
Н. Бурбаки. Архитектура математики. — «Очерки по истории математики». М., 1963, стр. 259. ↑
К. Маркс и Ф. Энгельс. Сочинения, т. 20, стр. 146. ↑
Н. Бурбаки. Архитектура математики. — «Очерки по истории математики», стр. 248. ↑
А. Эйнштейн. О методе теоретической физики. — Собрание научных трудов, т. IV. М., 1967, стр. 184. ↑
Р. Фейнман. Характер физических законов. М., 1968, стр. 47, 54, 190—191. ↑
Р. Фейнман. Характер физических законов, стр. 55—56. ↑
Там же, стр. 58. ↑
А. Эйнштейн. Собрание научных трудов, т. IV, стр. 184. ↑
Там же, стр. 182—184. ↑
См., например: М. Э. Омельяновский. Современные философские проблемы физики и диалектический материализм. — «Ленин и современная наука», т. I. М., 1970, стр. 230. ↑
А. Эйнштейн. Мотивы научного исследования. — Собрание научных трудов, т. IV, стр. 40. ↑
См.: В. И. Ленин. Полное собрание сочинений, т. 29, стр. 330. ↑
В. И. Ленин. Полное собрание сочинений, т. 18, стр. 296. ↑
Применение кибернетических машин при решении соответствующих проблем (так, машине удалось «открыть» одну теорему, которая была неизвестна математикам) только подтверждает высказанную нами выше мысль. Ведь любая «умная» машина — всего лишь только продолжение человеческого мозга, сама по себе она не «мыслит», не «творит» и т. д., но в сочетании с человеком она намного увеличивает мощь его познания и предела этого увеличения практически не существует. Вопрос этот многократно обсуждался в литературе. ↑
См.: А. Эйнштейн. Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным, — Собрание научных трудов, т. III. М., 1966, стр. 604; Н. Бор. Можно ли считать квантовомеханическое описание физической реальности полным? — Собрание научных трудов, т. II. М., 1971, стр. 180. ↑
Сам Максвелл — так он думал — руководствовался механической моделью эфира, но … иллюзии при определенных условиях часто представляются чем-то реальным. ↑
М. И. Подгорецкий, Я. А. Смородинский. Об аксиоматической структуре физических теорий. — «Вопросы теории познания», вып. I. М., 1969, стр. 74. ↑
См. подробнее об этом: М. Э. Омельяновский. О диалектической противоречивости в современной физике. — «Вопросы философии», № 11, 1970. ↑
См. И. Ньютон. Оптика. М., 1954, стр. 303. ↑
В данном случае прекрасный материал имеется в работе В. А. Фока «Принципиальное значение приближенных методов в теоретической физике» (УФН, 1936, т. XVI. вып. 8). В ней дается обзор исторического развития теоретической физики, в котором ход этого развития в какой-то степени обращен. ↑
А. Эйнштейн. О специальной и общей теории относительности. — «Физическая реальность». М., 1965, стр. 199. ↑
Там же, стр. 249—250. ↑