Идея квантования в современной физике

В начале XX века физикам стало ясно, что известные им законы движения не всегда применимы ко всем физическим объектам. В стройной и, казалось бы, законченной картине мира, созданной в XIX столетии, появились большие и все растущие изъяны.

Общий пересмотр понятий затронул даже самые фундаментальные из них — пространство и время. Но здесь старое непосредственно заменялось новым: на место ньютоновой механики с ее законами дальнодействия, жестко неизменным пространством Евклида и абсолютным временем пришла механика Эйнштейна, в которой пространство и время физически неотделимы от движущейся материи.

Появление теории относительности с самого начала не создавало каких-либо неясностей или темных мест в физике. Старое не было опровергнуто, а стало некоторым предельным частным случаем нового. Гораздо труднее и мучительнее происходила смена понятий в механике микромира, которая, по-видимому, сперва представлялась землей обетованной физикам прошлого с их непоколебимой верой во всеобщую применимость законов Ньютона. Ведь сами эти законы возникли из наблюдений над небесными светилами, где основные положения механики естественно проявляют себя в незамутненном виде. Чтобы разглядеть действие тех же законов на сложные земные объекты, наука должна была сперва убедиться на небесных объектах во всеобщности ньютоновой механики. Там, где постоянно имеются силы трения, нетрудно пойти вслед за Аристотелем, полагая, что для самого поддержания движения нужна непрерывно действующая сила.

И вот перед глазами физиков снова появился мир столь же простой, по-видимому, как мир светил — «планетарный» атом, где электроны движутся вокруг ядра, как планеты вокруг Солнца. Здесь и должно было закончиться в блестящем единстве всего сущего построение системы мироздания.

Но вместо вожделенной ясности возникло всеобщее недоумение. Солнечная система сохраняет, в общем, неизменный вид вот уже миллиарды лет лишь потому, что в ней действуют только силы ньютоновского притяжения. Если бы здесь действовали и силы трения, человечество могло бы и не успеть появиться прежде, чем Земля, растратив кинетическую энергию своего движения, упала бы на Солнце. Но если принять, что электроны движутся в атоме по замкнутой траектории, то на них обязательно должна будет действовать своеобразная сила трения. Движение по любой непрямолинейной орбите всегда связано с каким-то ускорением, а ускорение всякого электрического заряда неизбежно сопровождается передачей части его энергии электромагнитному излучению. Так как энергия при этом рассеивается, испускание лучистой энергии ускоренно движущимся зарядом есть один из видов трения. Оно наблюдается в циклических ускорителях заряженных частиц. Если слишком наивно верить во всеобщность законов природы, то нельзя не удивиться, почему лучистое трение не заставляет электрон падать на ядро.

Атомы, находясь в тепловом движении, непрерывно сталкиваются между собой, но их состояние от этого не меняется. Легко представить себе, какие пертурбации произошли бы в солнечной системе, если бы она столкнулась с другой такой же системой. Таким образом, оказывается, что при столкновениях атомы ведут себя как упругие шарики, т. е. в соответствии с идеями древних атомистов, а не в соответствии с предписаниями планетарной модели.

Но так как атом несомненно состоит из ядра и электронов, тот закон движения, который считался всеобщим, равно применимый к планетам и к машинам, совершенно неприменим к электронам. Это физическая очевидность.

Если допустить, что построение единой картины мира возможно и не зашло окончательно в тупик при виде планетарного атома, надо постараться найти новые элементарные законы движения, по отношению к которым законы Ньютона будут лишь их предельной формой.

Более точный универсальный закон движения проявит себя отнюдь не в том, что в справочниках и руководствах по физике появится несколько новых десятичных знаков после запятой. Это хорошо видно уже на примере планетарного атома: двигаясь по старым законам, электрон непременно должен упасть на ядро, а на самом деле он, очевидно, не падает.

Следовательно, новые законы в известных условиях должны приводить к полному отрицанию старых, а не к простому их уточнению. Столь сложно взаимоотношение старого и нового в физике: предельная форма общего закона иногда несовместима с физической реальностью: законы движения Ньютона не могут объяснить самое существование атома.

Законы Ньютона определяли научное мировоззрение физиков, и не только физиков, в течение столетий. Целый ряд физических понятий, которые, как мы теперь знаем из квантовой теории, носят только приближенный характер, были абсолютизированы и считались неотделимыми от любой научной картины мира. Сюда относятся представления об абсолютном характере длины и времени. Еще сильнее в сознании людей укоренилась ньютонова концепция механического детерминизма, нашедшая свое крайнее выражение в знаменитой концепции мирового дифференциального уравнения Лапласа.

Может показаться, что высказывание Лапласа имеет скорее фигуральный характер: ведь практически невозможно написать и проинтегрировать дифференциальные уравнения движения всех тел во Вселенной и тем самым однозначно предсказать будущее всего мира по прошедшему. Но ни один физик никогда не сомневался в том, что движение в мире происходит не потому, что кто-то сумел решить соответствующие уравнения. Движение совершается независимо от нас (если нет прямого вмешательства), а уравнения дают только средство познания.

Если прав Лаплас, то детерминировано и само вмешательство, так как и человек есть всего лишь весьма совершенная машина, вся работа которой, как и действия всех прочих машин, предопределена еще в бесконечно давнее время. Словом, детерминизм ньютоновской механики в его наиболее бескомпромиссном выражении приводит всего лишь к парадоксу. Освободив человеческое сознание от религиозных пут, такое научное мировоззрение может привести к собственным предрассудкам, которые так или иначе станут на пути дальнейшего развития науки. Вряд ли кто-нибудь из физиков слишком много ломал себе голову над парадоксами, непосредственно связанными с мировым дифференциальным уравнением Лапласа. Но ньютонова концепция детерминизма, несомненно, привела к известным трудностям при создании статистической механики, в которой решающую роль играет понятие случая.

Механический детерминизм в его ньютоновской форме оказался несостоятельным не только в статистической физике, где роль случайности может быть сведена к неуправляемости начальных условий движения, как при бросании игральных костей. В еще большей степени старое определение детерминизма неприменимо в физике элементарных процессов. Любое, даже самое элементарное движение, такое, которое электрон совершает в атоме, управляется на самом деле статистическими законами. В этом состоит самый удивительный результат физики XX века, принесенный развитием статистической физики и квантовой теории.

Проследим, какие постулаты ньютоновой механики надо пересмотреть, чтобы расчистить путь новым, квантовым представлениям. При этом, конечно, нельзя терять историческую перспективу, полагая, что физики лишь потому с таким трудом пришли к квантовой теории, что не обладали философским камнем, который помог бы им преодолеть ограниченность ньютоновской формы детерминизма. До того, как начала развиваться квантовая теория, физика не знала фактов, однозначно опровергавших допущение о всеобщей применимости трех законов Ньютона. Первейший и важнейший среди таких фактов — устойчивость планетарного атома.

Еще раньше физика узнала о существовании световых квантов — это был заведомо неньютоновский объект. Развитие квантовой теории началось с квантов, как это видно уже по самому ее названию. Но самое непримиримое столкновение нового со старым произошло при объяснении устойчивости атома. Именно здесь оказалось, что есть такие масштабы длины и времени, при которых законы движений, ранее относимые ко всему сущему, теряют силу.

Путь развития квантовой теории привел к тому, что точные квантовые законы движения были сформулированы применительно к электронам раньше, чем для электромагнитного поля. Но квантовая природа излучения долгое время прикрывала арьергард наступающей теории и делала всякое отступление невозможным.

1. Атомизм и принцип неопределенности

Нельзя даже кратко перечислить все то новое, что принесла с собой квантовая теория. По этому поводу возможны скорее высказывания отрицательного характера, например, что квантовая теория привела к иному определению механического движения, или заменила ньютоновскую концепцию механического детерминизма более общей, где случайное уживается с необходимым. Постараемся в пространной (по необходимости) форме объяснить существо радикальных изменений в механике, возникших в связи с квантовыми законами движения.

Для этого обсудим некоторые пункты, не дискутировавшиеся ранее. Дело здесь в необоснованной экстраполяции некоторых физических понятий на объекты, к которым эти понятия неприменимы. Речь идет о самом физическом измерении. Не осознав смысла того, что совершается при измерении величины, невозможно определить эту величину как физическую. Первые измерения в науке были связаны с нахождением места светил на небесном своде, отсюда, как указывалось, ведет свое начало механика. Фиксируя положение светила или фотографируя скоростным методом летящую пулю, мы никак не изменяем их дальнейшие состояния. Так возникла почти бессознательная уверенность в том, что физический объект вообще не должен подвергаться никакому воздействию со стороны измерительного прибора, потому что в противном случае будто бы невозможно регистрировать объективные закономерности, не зависящие от воли и сознания экспериментатора.

Уже само выражение «не должен» содержит в себе некоторый элемент антропоморфизма. Точнее, мы думаем, что экспериментатор не должен пользоваться такими измерительными инструментами, которые, условно говоря, неконтролируемым образом действуют на объект, подвергающийся измерению^[1].

В настоящее время, как нетрудно видеть, это требование находится в коренном противоречии с концепцией атомизма. Но пока атом оставался скорее умозрительным, чем физическим понятием, никто, по-видимому, не подумал о том, что прибор для измерения над отдельным атомом сам не может быть меньше одного атома. А если бы и нашелся мудрец, своим умом дошедший до этого, его идеи встретили бы, скорее всего, ироническую оценку. Даже тогда, когда квантовая теория уже существовала в ее нынешнем виде, высказывания Бора и Гейзенберга, впервые указавших на особую роль измерения в атомном мире, многими были встречены с большим недоверием. Причем среди многих был Эйнштейн. Тем более можно не упоминать о непрофессионалах.

Итак, в чем состоит взаимоотношение между физическим законом и физическим измерением? Поскольку закон объективен и его действие не зависит от воли наблюдателя, на поставленный вопрос хотелось бы ответить так: одно и то же измерение, произведенное в одинаковых условиях над одним и тем же объектом, всегда дает одинаковый результат.

Но можно ли создать строго одинаковые условия в микромире, скажем, для отдельного электрона? Мы не располагаем для этого физическими средствами, именно физическими, а не техническими. Ведь для того, чтобы создать одинаковые условия для электрона, нужны какие-то субэлектронные средства контроля. Если даже допустить, что такие средства (т. е. «меньшие» частицы) и будут со временем найдены, то чтобы осуществить с их помощью эффективный контроль над электронами, потребуются еще меньшие управляющие приборы, и так до бесконечности. В физике микромира нет никаких средств измерения, кроме тех, с которых можно непосредственно снимать показания, т. е. макроскопических приборов. Но так как и нет никаких иных средств познания, помимо тех, которые в той или иной форме используют показания приборов, вступающих во взаимодействия с изучаемыми объектами, принципиально вся информация об электроне приходит через измерительные приборы, отражая объективную действительность именно с той полнотой, с какой она физически может быть отражена. И никакой другой объективной действительности для электрона не существует, т. е. нет ничего, что могло бы быть найдено чисто умозрительно, без всякой связи с какими-либо данными физического эксперимента, выведенного из одного слова «электрон».

Но если все физические понятия, относящиеся к электрону, строятся на основе измерений, то любое понятие, перенесенное в микромир из макромира без анализа осуществимости необходимых измерений над электроном, может не иметь для него смысла. В этом утверждении нет ни малейшего субъективизма, так как возможность или невозможность измерения определяются объективно. Отдельное измерение экспериментатор может, конечно, произвести по своей воле, как это и было в доквантовой физике. Но в мире, где действуют квантовые законы, одно произведенное измерение существенным образом отражается на возможности многих других. Именно это и есть то принципиально новое, что внесла квантовая теория в понятие измерения и что существенно изменило определение физических понятий по сравнению с их классическим, т. е. неквантовым аспектом.

Атомизм при измерении механических величин сказывается в том, что в микромире имеются их естественные масштабы. Выбор масштабной величины может показаться до известной степени произвольным, например, уже потому, что атом не имеет четко обозначенного радиуса. Но есть механическая величина, характеризующая движение, которая не зависит ни от выбора системы отсчета, в которой задаются координаты и время, ни от задания динамических переменных. Эта величина, введенная в механику еще Эйлером и Мопертюи, называется действием механической системы. Вся квантовая теория основана на том, что в природе имеется элементарная единица действия, так называемый квант действия, или постоянная Планка h. Эта константа и задает атомные масштабы динамических величин.

Внутренняя связь кванта действия h с атомизмом гораздо глубже, чем это может в настоящее время объяснить физическая теория. Так, элементарный электрический заряд е очень просто выражается через квант действия и скорость света с. А именно, е²= (1/137) hc. Численный коэффициент 1/137, число отвлеченное, пока не поддается теоретическому объяснению, и даже не видно, как бы он мог быть выведен из существующих физических принципов.

Значение кванта действия в существующей физической теории хорошо видно из знаменитого соотношения неопределенностей

Δр · Δx ≳ h.

Символы Δр и Δx в этом соотношении определяются следующим образом. Пусть импульс частицы р измеряется некоторым прибором, позволяющим найти его с погрешностью Δр. Совершенствуя прибор, можно сколь угодно уменьшить Δр. Но никакой прибор, как бы его ни улучшать, измеряющий координату частицы, импульс которой измерен с погрешностью Δр, не в состоянии сделать это точнее, чем с ошибкой Δх ≳ h/Δp. При попытке более точного измерения координаты частицы импульс будет изменен сильнее, чем на Δр. Соотношение между Δр и Δх симметрично, так что задавая некоторую произвольную погрешность измерения Δx, никаким прибором нельзя измерить импульс точнее, чем в интервале Δр ≳ h/Δx. Таким образом, Δр и Δх—n погрешности и неопределенности координаты и импульса. Если одно из них — некоторая заданная ошибка измерения, то другое — принципиальная неопределенность величины.

Координаты и импульсы измерительных приборов тоже связаны между собой соотношением неопределенности. Это очень хорошо разъяснил Бор во время полемики с Эйнштейном. Как известно, все попытки Эйнштейна изобрести такую измерительную процедуру, которая позволила бы превзойти точность измерения, указанную соотношением неопределенности, оказались несостоятельными.

Утверждение, заключенное в соотношениях неопределенностей, Бор и Гейзенберг выразили в более общем виде, как принцип неопределенности. Согласно этому принципу координата и импульс частицы не только не могут быть измерены точнее одновременно, чем позволяет соотношение ΔрΔх ≳ h, но и не существуют в одном состоянии, как более точно определенные физические величины. Можно убедиться в том, что высказывание, заключенное в принципе неопределенности, действительно содержит в себе нечто физически более содержательное, чем простую констатацию неизбежной погрешности измерений. Это доказывает явление дифракции электронов, которое мы сейчас рассмотрим.

Для начала допустим, что микрочастица, электрон, по своей природе одинакова с макроскопическими телами и обладает какими-то скрытыми, но точными значениями координаты и импульса, по тем или иным причинам недоступными измерению. Тогда микрочастица движется всегда по некоторой траектории, определенной законами Ньютона. Но не зная точных начальных значений координат и импульсов, нельзя указать и точное положение траектории. Тем не менее, исходя из некоторого разброса исходных величин, можно выделить пучок наивероятнейших траекторий, к которому должна принадлежать предполагаемая истинная траектория. С такой ситуацией механика встречается при стрельбе по мишени: по различным техническим причинам траектория пули не может быть предсказана заранее сколь угодно точно. Пули не попадают строго в одну точку, а ложатся более или менее близко к ней, что зависит от совершенства наводки и степени идентичности пороховых зарядов.

Если произвести опыт, аналогичный стрельбе по мишени, над электронами, то получится совсем иной результат. Частицы будут попадать не только вблизи цели, но и в ряде концентрических кольцевых зон, окружающих центр мишени. Картина попаданий будет такая, как если бы некто целился не только в яблочко, но и во второе, четвертое, шестое и вообще все четные кольца, избегая нечетных. «Некто» — экспериментатор, причем он всегда одинаково хорошо целится в одну и ту же точку, а частицы сами дают столь неожиданную картину попаданий. При этом она выражена тем яснее, чем совершеннее прицеливание. Вместо улучшения точности попаданий при этом возникает более четкая дифференциация отдельных кольцевых зон.

Заставить расположиться таким образом траектории, не управляя ими, невозможно. Но физика очень хорошо знает закономерность движения, приводящую именно к этому закону попаданий. Таково волновое движение. Явление неравномерного, кольцевого распределения, наблюдаемое у электронов, у волн давно известно и называется дифракцией. Если поместить источник волн (обычно световых) перед экраном с отверстием, а позади отверстия расположить второй экран, то на нем максимумы освещенности будут находиться как раз по концентрическим кольцам. В середине этой системы лежит точка, в которую мог бы попадать свет, распространяясь по законам лучевой, или геометрической, оптики, иначе говоря, точка пересечения прямой, проведенной через источник волн и отверстие в первом экране, со вторым экраном. Явление дифракции доказывает приближенный характер понятия светового луча, обнаруживая волновую природу света. Аналогичным образом дифракция электронов столь же убедительно выявляет волновой характер движения электронов.

В ряде случаев понятие светового луча отнюдь не бессмысленно. Дифракция доказывает только, что иногда приходится пользоваться более точным, волновым законом распространения света, а лучевая оптика заключает в себе лишь известное приближение к истине. В таком же смысле приближенно и классическое понятие траектории в применении к микрочастице: в точном смысле никакой траектории электрон не имеет. В этом и состоит принцип неопределенности, утверждающий, что у микрочастицы не существует точных значений координаты и импульса в одном и том же состоянии: это равнозначно тому, что нет траектории. Таким образом, дифракционный опыт содержит в себе экспериментальное подтверждение именно принципа неопределенности, а не одного только соотношения между такими погрешностями координаты и импульса, которые связаны с несовершенством технических средств.

Этот опыт позволяет определить соответствующую движению частицы длину волны. Еще ранее, чем он был произведен, Л. де Бройль получил из общих соображений следующее выражение:

λ = h/p.

Здесь λ — длина волны, р, как уже говорилось, — импульс частицы. Легко убедиться в том, что для макроскопических тел λ невообразимо мала. А при малых длинах волн всегда можно достаточно хорошо определить направление луча. Аналогично и волновое движение электрона может переходить в движение по траектории, если совершается в области, большей по сравнению с λ. Квантовая механика содержит в себе классическую как частный случай.

2. Волновые свойства движения

Рассмотрим подробнее, в чем состоит волновой характер движения электрона, о каких волнах идет речь.

Распределение мест попадания пуль на мишени при достаточно большом их числе позволяет построить плавную кривую вероятности попадания в каждую точку. Аналогичную функцию распределения вероятностей можно определить и из дифракционного опыта над электронами, хотя в силу различных законов движения вид обеих функций распределения совершенно разный. Пусть попадание каждого электрона регистрируется фотопластинкой, так что на ней получается точка почернения. В этом смысле электрон ведет себя вполне как частица. Но как бы ни выпускались электроны, все сразу или по одному, результирующая картина почернений имеет четко выраженный вид системы дифракционных колец, если скорость всех электронов одна и та же. Статистический результат опыта однозначно предсказуем, хотя указать ту точку, в которую упадет отдельный электрон, физически невозможно, поскольку нет траектории движения.

Дифракционная картина возникает потому, что волна проходит через все отверстие в экране. Максимальная плотность попаданий имеет место при таких углах, которые отвечают взаимному усилению волн, прошедших через разные точки в плоскости отверстия, минимальная плотность — при взаимном ослаблении волн. Картина почернений на фотопластинке при дифракции рентгеновских лучей и электронов с той же длиной волны де Бройля совершенно одинакова. Разумеется, дифракцию в этом случае производит не отверстие в экране, слишком большое для таких коротких волн, а кристаллическая решетка.

Вероятность некоторого события — величина существенно неотрицательная, поэтому вероятности попадания не могут взаимно ослабляться. Волновому закону должна удовлетворять какая-то другая величина, не равная вероятности, а лишь как-то связанная с ней. Сходство дифракционных картин для электронов и рентгеновских лучей, т. е. электромагнитных волн, дает возможность догадаться, к какой функции, связанной с движением электронов, применим волновой закон. Почернение фотопластинки от рентгеновских лучей пропорционально энергии излучения, падающей на единицу поверхности в окрестности данной точки, энергия измеряется квадратом напряженности электромагнитного поля волны. Напряженность поля не определена по знаку и задается при данной амплитуде волны ее фазой. Волны равной амплитуды погашают друг друга, если находятся в данной точке в противоположных фазах.

Напряженности поля удовлетворяют волновым уравнениям Максвелла. Одинаковые дифракционные картины при движении электронов и при распространении волн позволяют допустить, что и движение электронов описывается некоторой функцией, удовлетворяющей волновому уравнению. Почернение фотопластинки, т. е. вероятность попадания в данную точку, должна быть пропорциональна квадрату абсолютного значения этой функции. Только так и обеспечивается тождество дифракционных картин.

Соответствующие волновые законы распространения одинаково просты у рентгеновских лучей и электронов, в том смысле, что результирующая от двух или большего числа волн получается простым алгебраическим сложением отдельных картин. (Заметим, что, например, морские волны отнюдь не удовлетворяют столь простой закономерности. Для них дифракционная картина строится намного сложнее и выглядит совсем иначе, чем для электромагнитных волн.)

Дифракционный опыт подсказывает, -таким образом, форму волнового уравнения для электронов. Это уравнение нашел Э. Шредингер.

Функция, удовлетворяющая уравнению Шредингера, так называемая волновая функция частицы, не имеет аналога в классической механике. Тем не менее при очень малых длинах волн де Бройля автоматически совершается переход от квантовых уравнений к классическим, подобно тому как волновая оптика переходит в лучевую у коротких волн. Оба предельные перехода в математическом отношении аналогичны.

В квантовой механике переход производится следующим образом. Если обозначить волновую функцию частицы буквой ϕ, а действие той же частицы, вычисленное по законам классической механики, буквой S, то в пределе для очень коротких волн надо положить:

Φ = eⁱ · S/h.

В показателе степени стоит отношение величины действия к кванту действия h. Таким образом, сравнение с естественным масштабом механических величин, т. е. квантом, определяет степень близости данного движения к такому, которое совершается по классическим законам. Чем больше отношение S к h, тем сильнее изменение фазы волновой функции при данном движении, и тем больше длин волн λ = h/p укладывается в той области, где это движение происходит. Но тем, соответственно, лучше применимо понятие траектории. Для электрона в атоме S/h порядка единицы ни о какой траектории говорить нельзя. Для электронного луча в кинескопе телевизора наименьшее из отношений λ/а (а — пространственный размер) в направлении, поперечном к траектории, порядка сотен миллионов. Поэтому в кинескопе траектория электрона — вполне оправданное понятие.

То же самое нетрудно показать, пользуясь соотношениями неопределенностей. Но эти соотношения заключают в себе гораздо меньше, чем может дать уравнение Шредингера. Неравенство ΔрΔх > h только накладывает ограничения па координату и импульс как па физические величины, а волновое уравнение задает самый закон движения.

Но этот закон не только по форме, а и по существу совершенно отличается от классического. Такое классическое утверждение, что траектория Земли есть эллипс, конечно, установлено путем астрономических измерений, но эти измерения никак не могли повлиять на движение Земли. Наоборот, утверждение, что электрон имеет некоторую волновую функцию, не относится к электрону, на котором было произведено измерение. Квадрат абсолютного значения волновой функции показывает, с какой вероятностью совершится некоторое событие с другим электроном, помещенным в такие же условия, как тот, измерение над которым радикально изменило его состояние. Но зато, выполняя измерение над очень большим числом электронов в одинаковом исходном состоянии, можно со сколь угодно большой точностью узнать вероятность некоторого результата того же опыта над другими электронами с тем же исходным состоянием.

В этом, и только в этом смысле квантовая механика дает детерминистическое описание. Два одинаковых опыта не обязаны давать одинаковых результатов, так как неосуществимы тождественные исходные условия, которых требует классический детерминизм. Но две совокупности одинаковых опытов над двумя совокупностями одинаковых в квантовом смысле объектов статистически приводят к одинаковым результатам. Такова природа закономерности там, где действуют квантовые законы движения.

Иногда спрашивают: потому ли возникает статистическая закономерность, что не существуют тождественные исходные условия, или же потому, что измерение неконтролируемым образом меняет состояние объекта? Этот вопрос не имеет смысла: потому нет тождественных начальных условий, что возможности всякого измерения ограничены принципом неопределенности. Но если поделить соотношения неопределенностей на h, то в левой части неравенства вместо р будет стоять чисто волновая величина 1/λ. Поэтому сам принцип неопределенности диктует необходимость перехода к волновому уравнению при описании движения отдельной частицы. С другой стороны, одна частица дает только одно пятно почернения, так что другого толкования, кроме статистического, волновая функция иметь не может.

При этом самое удивительное то, что форма закономерности все же относится к отдельному объекту: в простейшем виде уравнение Шредингера содержит и волновую функцию отдельного электрона. В соответствии с этим каждый электрон вступает во взаимодействие с измерительным прибором, например с фотопластинкой, независимо от всех остальных. Фотопластинка, как и любой измерительный прибор — объект классический, поэтому и можно зафиксировать точку попадания на нее отдельного электрона, не изменяя существенным образом состояния самой фотопластинки. Но сам электрон, попадая на фотоэмульсию, радикально изменяет свое состояние. В таких отдельных актах взаимодействия проявляется статистическая закономерность.

В области применимости классических законов движения тоже есть немало примеров, когда опыт проявляет только статистическую закономерность. Стрельба по мишени есть один из таких примеров. Сюда относится также бросание монеты. Здесь это связано с несовершенством руки как устройства, сообщающего начальный импульс. В принципе можно было бы сконструировать машинку, заранее программирующую результат падения монеты, но против такой машинки не стоило бы играть. Применительно к квантовому движению сделать подобную машинку невозможно. Принцип неопределенности запрещает это столь же категорично, как принцип сохранения энергии обрекает па неудачу все попытки построения вечного двигателя.

Своеобразие статистической закономерности в квантовой теории проявляется в том, что вероятностное описание требует задания не самих вероятностей, а волновых функций, которые характеризуются не только своими абсолютными значениями, но и фазами. Не пользуясь понятием фазы, невозможно построить квантовую механику. Например, в дифракционном опыте картина чередования интенсивностей получается потому, что вклад от волны, прошедшей через каждую точку отверстия, берется со своим знаком, зависящим от фазы. Но сумма слагаемых, имеющих разные знаки, не совпадает с суммой их абсолютных значений — поэтому и важны фазы.

Фаза волновой функции получается из решения волнового уравнения для отдельного электрона и только проявляется на большом числе опытов над электронами, находящимися в одинаковом состоянии. Для разных электронов фазы волновых функций в общем случае могут быть совершенно не коррелированы.

Если совокупность электронов характеризуется сильным взаимодействием между ее составляющими, как, например, внутри атома, то возникают совершенно новые закономерности. Они описываются уравнением Шредингера, сформулированным специально для задачи многих тел. Об этом будет сказано ниже.

3. Атом в квантовой механике

Мы установили, что при определении волновой функции системы в некотором состоянии неизбежно участвует регистрирующий прибор, достаточно большой, чтобы для его описания можно было применять классическую механику. В дифракционном опыте это фотопластинка, в знаменитом опыте Штерна и Герлаха по измерению проекции углового момента атома — магнит и т. п. Хотелось бы повторить, что хотя прибор изготовляется человеческими руками и по замыслу экспериментатора, результат каждой серии опытов над одинаковыми объектами отражает вполне объективную закономерность. Например, пропуская пучок водородных атомов при комнатной температуре между полюсами электромагнита, можно получить расщепление исходного пучка только на два пучка, и ничего иного.

Вторично пропуская каждый из получившихся пучков через другой магнит, поле которого строго параллельно полю первого магнита, никакого дальнейшего расщепления добиться нельзя. Зато при другом направлении поля во втором магните опять получится разделение на два, и только па два пучка.

Таким образом, хотя измерительный прибор — орудие экспериментатора, взаимодействие с микрообъектом измерения вскрывает совершенно объективную закономерность.

Совершенство квантовой механики как физической теории видно еще и в том, что в ее уравнениях прибор явно нигде не фигурирует. Прибор нужен для определения физических величин, а так как прибор — классичен, квантовая механика существует как бы не отрываясь от своей классической основы. Поэтому математический аппарат квантовой механики строится по образцу аппарата классической механики, исходя из того условия, чтобы в предельном случае получалось уже упомянутое соотношение между волновой функцией Φ и действием S. Дифференциальные операции, выполняемые над Φ в волновом уравнении Шредингера, записанные с помощью специальной операторной символики, выглядят так, как если бы они выражали соотношения между классическими величинами. В этом выражается так называемый принцип соответствия, сыгравший исключительно плодотворную роль при создании квантовой механики.

Иногда в популярной и даже учебной литературе встречается выражение: «вместо величин в квантовой механике употребляются операторы». Это, разумеется, совершенно неправильно. Верно то, что с помощью операторной символики уравнение для волновой функции приобретает весьма наглядную и прозрачную запись. В левой стороне уравнения ставится оператор, применяемый к Φ. Он связан с другими квантово-механическими операторами такими же соотношениями, как соответствующая классическая величина. В правой стороне уравнения находится числовое значение той величины, которой отвечает оператор слева. Это числовое значение множится на волновую функцию Φ. Очень часто оказывается, что такое уравнение имеет физически разумное решение не при всех значениях величины в правой части.

Например, энергия водородного атома, если попытаться найти ее с помощью уравнения Шредингера, имеет как раз те возможные значения, которые следуют из спектроскопических измерений. Эти значения энергии впервые получил теоретически Н. Бор в 1913 году в первом варианте квантовой теории, где между собой сочетались взаимно противоречивые положения классической теории с гипотезой о квантовании орбит, противоречащей классической механике. В современной квантовой механике нет такого эклектического соединения различных начал: она образует единую стройную систему, где нет места понятиям, не имеющим физического содержания, например, таким, как траектории электронов в атоме. Но из уравнений определяется энергия электрона в атоме — величина, доступная определению, если атом приведен во взаимодействие с измерительным прибором. Если имеется некоторая большая совокупность атомов, находящихся в одинаковом состоянии, а над определенной частью этой совокупности произведено измерение энергии, которое привело к одному и тому же значению Е, то можно утверждать, что и остальные атомы дадут в результате такого же измерения энергию Е.

Следовательно, энергия каждого отдельного атома сохраняет постоянную величину Е. Двигаясь в изолированных атомах, электроны так же имеют неизменную энергию Е, как и планеты в солнечной системе, хотя у электронов никаких орбит не существует. Здесь проявляет себя принцип соответствия; справедливость закона сохранения энергии в атоме доказывается с помощью действий над операторами, аналогичных действиям над классическими величинами при доказательстве сохранения энергии в планетной системе. В этом, и только в этом смысле справедлива (планетарная) модель атома: в ней выполняются те же законы сохранения, что и в планетной системе — энергии и углового момента.

В квантовой механике одновременно существует абсолютная величина момента и-только одна из его проекций. Кроме того, состояние характеризуется еще и энергией, что составляет три числа. Фактически же оказывается, что для полного задания состояния электрона необходимы не три, а четыре числа.

Следует ли отсюда, что квантовая механика неспособна полностью описать свойства атома? Никоим образом! В основу описания электрона просто была положена модель электрона, не отвечающая реальной частице с этим названием. Считалось, что электрон — просто точечная заряженная частица с некоторой массой и не имеет иных степеней свободы, кроме тех, которые бы имела так называемая материальная точка в классической механике. Но можно ли заранее утверждать, что электрон — как раз такая точка? Решить этот вопрос может только опытное знание.

Вспомним строгое определение материальной точки. Так называется механический объект, движение которого полностью задается с помощью трех пространственных координат и соответствующих им скоростей. Реально такие объекты неизвестны, это есть всего лишь некоторая удобная идеализация. Но, например, движение такого протяженного тела, как Земля, вокруг Солнца весьма близко подходит к движению одной точки, совмещенной с центром Земли, и имеющей равную с Землей массу. Внутреннее движение, т. е. вращение Земли вокруг оси, на ее орбите не сказывается.

Вращение летящей пули вокруг оси, наоборот, весьма важно для ее траектории. В этом отношении пуля гораздо менее походит на материальную точку, чем Земля. И электрон, как оказывается, тоже меньше похож на точку, чем Земля. Он обладает чем-то вроде внутреннего вращения, но в очень своеобразном смысле.

Так, может идти речь о том, что вращение электрона обязано определенным его пространственным размерам, т. е. о неточечности электрона. При вращении тела конечных размеров проекция его углового момента может принимать сколь угодно большие значения. Между тем момент собственного вращения электрона имеет только две возможные проекции: ± h/2. Моменты, связанные с пространственным движением электрона, тоже принимают значения, зависящие от кванта действия h. Но при h стоят числовые коэффициенты, которые могут быть сколь угодно велики. Предельный переход к классической теории состоит в том, что произведение h на большой коэффициент считается некоторой конечной величиной. Собственный угловой момент электрона имеет при h множитель ± h/2. Следовательно, это чисто квантовая величина, и отвечающая ей внутренняя степень свободы имеет квантовый характер, так что в классическом пределе ей ничто не соответствует. Предсказать существование такой степени свободы, не опираясь на эксперимент, невозможно: это одно из. свойств электрона, не вытекающее из других его свойств. Принцип соответствия здесь помочь не может, поскольку классического соответствия просто нет.

Собственный момент электрона называется спином, от английского слова, означающего вращение веретена. Можно показать, что внутренняя динамическая переменная, описывающая «спин», должна принимать только два значения. Тогда, и только тогда и проекция момента будет иметь всего две возможные величины ± h/2. Значения спиновой переменной не следует смешивать со значениями проекции спина.

Таким образом, движение в квантовой теории определяется не только с помощью пространственных переменных, а может потребовать для своего описания и особых, внутренних переменных. Спиновая переменная — простейшая из них, потому что ей отвечает постоянная движения, аналогичная классическому угловому моменту.

Надо отметить, что строгому закону сохранения удовлетворяет только полный момент системы, равный векторной сумме спинового момента и обычного момента, связанного с пространственным, «орбитальным» движением.

В квантовой механике существуют и такие количественные характеристики состояния, которые не имеют и столь приблизительного классического соответствия, как спин. Так, волновая функция электронов в атоме может различным образом вести себя при переходе от правовинтовой системы координатных осей к левовинтовой системе. Эти системы соотносятся между собой следующим образом: надо поставить большой, средний и указательный пальцы взаимно перпендикулярно, ось x-ов направить по большому, у-ов — по указательному, z-ов — по среднему пальцу. Тогда правая рука представит правовинтовую систему осей, левая рука — левовинтовую. Ясно, что никаким вращением в пространстве обе системы невозможно совместить между собой. Переход между ними есть сугубо дискретная операция, называемая инверсией.

При инверсии волновая функция электронов в атоме может оставаться неизменной или менять знак. В первом случае она называется четной, во втором — нечетной. Это свойство волновой функции — существенно квантовая характеристика состояния, которая не может иметь классического соответствия, как его не имеет сама волновая функция. Таким образом, квантовое понятие состояния системы шире классического.

С четностью связан особый квантовый закон сохранения, которому в классической механике ничто не отвечает. А именно, в системе, обладающей центральной симметрией, всегда сохраняется четность волновой функции. Иначе говоря, при переходах из одного состояния в другое четность начального и конечного состояния одна и та же. Этот закон имеет большое значение для характеристики излучательной способности атомов.

Надо отметить, что не только данный, но и всякий закон сохранения отражает некоторое свойство симметрии системы. Так, сохранение импульса отражает симметрию относительно переносов в пространстве, сохранение момента — симметрию относительно вращений в пространстве, сохранение энергии — симметрию относительно переносов во времени, т. е. выбора начального момента. Инверсия — дискретная операция, невозможная в классическом движении, происходящем непрерывно. Поэтому инверсии и отвечает тоже дискретный закон сохранения четности волновой функции.

Волновое уравнение для многоэлектронной системы обладает еще одним видом симметрии, связанным с дискретной операцией перестановкой между электронами, поскольку электроны физически тождественны. По отношению к этой операции волновая функция тоже могла бы быть четной или нечетной. Опыт показывает, что в природе осуществляются только такие состояния многоэлектронных систем, у которых волновая функция меняет знак, т. е. нечетна, при перестановке любой пары электронов. Чтобы не путать это свойство с четностью относительно инверсии, здесь принято называть волновую функцию антисимметричной.

Из антисимметрии волновой функции вытекает следующее замечательное свойство многоэлектронных систем. Два электрона в них не могут находиться в одинаковом состоянии, потому что при их перестановке волновая функция должна была бы переходить сама в себя, и в то же время — менять знак. Но только нуль равен самому себе с обратным знаком. Следовательно, вероятность такого состояния многоэлектронной системы с двумя отдельными электронами в одном и том же состоянии равна нулю.

Это фундаментальное утверждение называется принципом Паули. Оно необходимо при теоретическом объяснении периодического закона Менделеева. Кроме того, принцип Паули объясняет электронные свойства кристаллов, гомеополярную химическую валентность и многое другое. Он применим ко всем частицам, спин которых принимает полуцелые значения.

4. Вещество и антивещество

Говоря о квантовой частице, мы по большей части приводили в пример электрон в атоме. Точнее было бы сказать, электрон в легком атоме. В тяжелом атоме с большим атомным номером скорость электрона может приближаться к скорости света, так что при построении квантовой теории необходимо удовлетворить требованиям теории относительности. Принято говорить, что уравнения должны быть релятивистски инвариантными. В такой же мере это требование относится и к световым квантам, которые всегда движутся с фундаментальной скоростью «с» и поэтому не допускают никакого предельного перехода к ньютоновской, нерелятивистской механике.

Может показаться, что сравнительно просто написать релятивистски инвариантное волновое уравнение для электрона, так что оно не намного сложнее нерелятивистского уравнения. Сам Шредингер сначала получил именно такое уравнение. Но решив его, он убедился в том, что из этого уравнения не получаются правильные значения энергии атома водорода. Тогда он перешел к нерелятивистскому приближению и все стало на место, но только для водорода и вообще самых легких атомов. Это нерелятивистское уравнение Шредингер и опубликовал, и оно носит его имя. В это уравнение спин электрона не входит.

В 1928 году П. Дирак нашел релятивистски инвариантное волновое уравнение для частицы со спином 1/2, т. е. для реального электрона. В этом уравнении оказалось гораздо большее содержание, чем первоначально хотел вложить сам автор. Уравнение Дирака — не просто уточненное уравнение Шредингера, так как отражает многие другие стороны физической реальности. Но это выяснилось не сразу.

Различие между нерелятивистским и релятивистским уравнением начинается с выражения для энергии через импульс в таком виде, как оно следует из теории относительности:

Е = √m²c⁴ + с²p².

Здесь m — масса частицы. Квадратный корень имеет два знака — плюс и минус. В классической механике выбирают знак +, потому что никогда не наблюдаются частицы с отрицательной энергией. Такие частицы двигались бы против направления действующей на них силы, неограниченно ускоряясь. В классической механике эти частицы устраняются из рассмотрения следующим образом. Если импульс равен нулю, Е = ± mc2. По мере увеличения импульса энергия при положительном знаке перед корнем растет от mc² до ∞, при отрицательном знаке — убывает от — mc² до — ∞. Ни при каком импульсе энергия не попадает в интервал от — mc² до mc². Но так как в классической механике движение совершается непрерывно, без скачков, частица, имевшая в начальный момент положительную энергию, никогда не может перейти в состояние с отрицательной энергией, пока справедливы классические законы движения. Соответственно, в неквантовой релятивистской механике знак минус в выражении энергии не может повести ни к каким затруднениям.

В квантовой теории, где возможны дискретные переходы, положение иное. Если энергия в принципе способна принимать отрицательные значения, то возможен скачкообразный переход в такие состояния из нормальных состояний с положительной энергией. Таким образом, уравнение Дирака, которое в ряде случаев приводит к превосходному согласию с опытом, допускает такие переходы, которые никогда не наблюдаются на опыте, Дирак нашел выход из этой трудности. Он предположил, что все состояния с отрицательной энергией заполнены, и поэтому переход в них запрещен согласно принципу Паули. Это не умозрительный трюк, придуманный для спасения неполноценной теории, а конкретная физическая гипотеза, доступная проверке на опыте. Действительно, согласно гипотезе Дирака, плотно заполнены только состояния с отрицательной энергией, а состояния с положительной энергией почти свободны, и ничто не мешает переходить в них из состояний с отрицательной энергией. Надо только подвести извне энергию, недостающую для такого перехода.

После перехода в наборе состояний с отрицательной энергией останется свободное место, или, по образному выражению Дирака, «дырка». Она будет вести себя как электрон с положительной энергией и положительным зарядом, т. е. как нормальная частица с зарядом противоположного знака по отношению к электрону. Появление таких положительных электронов и предсказывается гипотезой Дирака, что вскоре подтвердили наблюдения Андерсона над космическими лучами. Причем получилось не только качественное, а и полное количественное совпадение теории с опытом.

Хотя «дырка» ведет себя, согласно теории Дирака, как настоящая частица, она остается в то же время вакантным местом среди заполненных состояний с отрицательной энергией. В нее может перейти электрон из состояний с положительной энергий, передавая избыточную энергию электромагнитному полю (или какой-нибудь другой частице). И электрон с положительной энергией, и дырка (или позитрон) ведут себя как частицы с одной и той же положительной массой m. После их слияния никакой частицы с конечной ненулевой массой не остается, так как масса квантов электромагнитного поля равна пулю, их энергия Е равняется ср (правильное определение массы дается соотношением между энергией и импульсом m² = E²/c⁴ — p²/c² кванта эта разность равна нулю). Таким образом, в процессе, соединения электрона с позитроном уничтожаются все сто процентов массы^[2]. Если обе частиwы до Соединения покоились, их общая энергия равнялась 2 тс2. Она, конечно, не исчезает, а передается электромагнитному полю. Но в поле она постепенно рассеивается, и вскоре не может быть более зарегистрирована, если не поглотить кванты каким-либо способом, например в свинцовом блоке. Несмотря на то что энергия не исчезает, она переходит в совсем иную форму: сконцентрированная сначала в электроне и позитроне, она затем тратится на ничтожное нагревание вещества. Поэтому процесс слияния электрона с позитроном весьма образно называют аннигиляцией, т. е. переходом вещества в «ничто».

В настоящее время теорию Дирака излагают не в терминах «частиц» и «дырок». Уравнениям придают совершенно симметричную форму относительно электронов и позитронов, так как законы природы не выделяют заряды какого-либо знака перед зарядами другого знака. Теория строится таким образом, чтобы включать в себя вероятность рождения и аннигиляции электронно-позитронных пар.

В этом проявляется основная черта релятивистской квантовой теории, принципиально отличающая ее от нерелятивистской теории. Уравнение Шредингера относится к некоторому определенному числу электронов: одному, двум и т. д., число их сохраняется. Уравнение Дирака, по существу, применяется ко всему электронно-позитронноэлектромагнитному полю и одновременно учитывает всевозможные процессы рождения и аннигиляции пар и испускания или поглощения квантов. Вместе с квантованными уравнениями электромагнитного поля уравнение Дирака лежит в основе квантовой электродинамики, теории в настоящее время почти завершенной.

То, что называется волновой функцией в нерелятивистской теории, здесь получает совсем иной смысл. Это строго говоря, уже не числовая функция аргумента, а совокупность операторов рождения и уничтожения частиц. Эти операторы действуют на так называемый волновой функционал (введенный В. А. Фоком), описывающий состояние всего поля, а не отдельной частицы.

Теория Дирака открыла новый аспект физической реальности — материю в виде антивещества. Всякие две частицы, способные взаимно аннигилировать, являются антипартнерами. Например, позитрон есть античастица электрона. Что из них считать частицей, а что античастицей — дело условности. Квантовая электродинамика симметрична относительно замены частиц на античастицы и наоборот. Мы условно считаем окружающий нас мир на Земле и, очевидно, в солнечной системе состоящим из вещества. В настоящее время известны античастицы не только электрона, по также протона и нейтрона, т. е. всех трех стабильных частиц, из которых состоит вещество. Поэтому не исключено, что какие-либо иные части Вселенной, например, удаленные галактики или даже звезды в нашей Галактике, состоят из антивещества. Было бы очень интересно узнать, что имеет место на самом деле, так как это прольет свет на ранние стадии эволюции Вселенной.

Но фактически не просто определить, наблюдая звезду или галактику, из чего она состоит — из вещества, такого же, как наше, или из антивещества. При наблюдениях астрономия до сих пор пользовалась электромагнитными волнами той или иной длины: видимым светом, радиоизлучением, жестким гамма-излучением. Между тем электромагнитное поле совершенно одинаково взаимодействует с зарядами обоих знаков, оно, как говорят, нейтрально, и не делится на поле и антиполе. Позитроны испускают такие же кванты, как электроны. Спектр атома антиводорода совпадает со спектром атома водорода с произвольной степенью точности. Звезды из вещества отличаются от звезд из антивещества по вылетающим из них нейтрино.

Электромагнитное поле — не единственное среди нейтральных полей. Нейтрально также поле незаряженных пи-мезонов, способных к распаду на два кванта. Нейтрально и гравитационное поле, вопреки сочинениям некоторых горе-популяризаторов.

Перечислим теперь вкратце все типы полей, известных- современной физике. Это гравитационное поле, электромагнитное поле вместе с электронно-позитронным полем, поле слабых взаимодействий, ответственное, например, за бета-распад ядер, и поле сильных взаимодействий, к которому относятся, например, силы, сдерживающие атомные ядра.

Не исключено, что подразделение взаимодействий на четыре отдельных вида, не связанных между собой, есть только приближенный прием, недопустимый при более точном описании реальности. В настоящее время этот прием еще оправдывает себя, но положение может когда-нибудь измениться.

Квантовая механика и квантовая электродинамика в ее современном виде имеют ту общую черту, что им соответствуют определенные классические теории. Слабому и сильному взаимодействию в классическом пределе не отвечает ничто. Быть может, как раз по этой причине механика сильных взаимодействий — наименее развитая из физических теорий.

1. Термин «неконтролируемое взаимодействие» используется Н. Бором в его ранних работах. В работах более позднего периода этот термин Бором не применяется. См.: Нильс Бор. Избранные научные труды, т. II. М., 1971, стр. 624. ↑
2. Масса физически определяется из соотношения Е² = с²р² + m²с⁴. Только в таком виде она является инвариантной характеристикой самой частицы. Раньше эту величину называли «массой покоя», a E/c² — «массой движения». Последний термин отмирает. ↑