Математика и современное естествознание

1. О понятиях математики

Трудно переоценить роль математики в современной культуре. Она находит широкое использование во всех естественных науках, в инженерном деле, медицине, экономике, организации производства, педагогике и многих других областях знания и практической деятельности. В последние годы началась планомерная работа по исследованию математическими методами проблем истории и археологии. Имеются все основания утверждать, что в наше время роль математики в естествознании выходит далеко за пределы средств расчетов и точной формулировки результатов. Выяснилось, что познавательная мощь математики столь велика, что вызывает удивление не только поверхностных наблюдателей, но и ученых, повседневно использующих ее средства исследования.

В сравнительно недавней статье американского физика Е. Вигнера имеются такие полные восхищения и недоумения слова: «…невероятная эффективность математики в естественных науках есть нечто граничащее с мистикой, ибо никакого рационального объяснения этому факту нет»^[1].

Несомненно, что в данном случае говорить о мистике нет необходимости, но обсудить и разобраться в причинах гибкости и познавательной силы математического метода исследования крайне нужно.

История науки показывает, как человечество переходило от незнания к элементам знания, от неполного и несовершенного знания — к более полному и более совершенному. Математика не является исключением из общего правила: в ней факты, понятия и теории также возникали не по произволу исследователя и не в произвольный момент времени, а в результате длительного процесса познания, под воздействием многочисленных сторон общественной практики. Математика бывает подведена всем ходом развития науки (в том числе, конечно, и самой себя) к созданию новых понятий, в которых испытывается необходимость.

В упомянутой статье Е. Вигпера процесс образования математических понятий описывается довольно странным способом, а именно: он считает, что «математика является наукой изощренного манипулирования понятиями и правилами, придуманными как раз для этой цели. Главное ударение стоит именно на изобретении понятий. Математики очень скоро исчерпали бы все нетривиальные теоремы, если бы их теоремы всегда формулировались на языке понятий, уже содержавшихся в аксиомах. Далее, хотя нет сомнений в том, что понятия элементарной математики, в особенности элементарной геометрии, были сформулированы для описания предметов окружающего мира, такое утверждение уже явно несправедливо для более абстрактных понятий, в частности понятий, играющих столь важную роль в физике»^[2].

Несомненно, что Е. Вигнер нарочито преувеличивает некоторые характеристики математики, стремясь заострить внимание читателя на своеобразии генезиса математических понятий. Нужно сказать, что ряд философов, естествоиспытателей и математиков XIX и XX веков защищали идеалистическую концепцию относительно отношения понятий математики и реальности. Это объясняется, во- первых, абстрактностью математики, ее кажущейся независимостью от реального мира и от жизненной практики, во-вторых, аксиоматической системой построения отдельных ее отраслей, принятой теперь не только в математике, и в-третьих, стремлением математики рассмотреть не только конкретные ситуации, возникающие в жизненной практике, но и все возможные ситуации.

При аксиоматической системе изложения связь математических понятий с предметами и отношениями между ними остается в стороне и интерпретируется как нечто безразличное для самой математики. В результате появляется большой соблазн приписать математическим понятиям внеопытное происхождение и зависимость лишь от исследователя и от полета его фантазии. В действительности же математические понятия проходят длительный путь в своем развитии, основные характеристики которого совпадают с характеристиками процесса образования любых понятий.

Каждое математическое понятие возникает или в результате абстрагирования от свойств предметов, реально существующих в природе, абстрагирования от отношений между ними, или же является абстракцией, базирующейся на ранее существовавших абстракциях. Эти первичные абстракции в своем генезисе были связаны с предметами реального мира.

Возможность применения математических понятий и теорий к реальным явлениям объясняется только тем, что сами эти теории возникли из изучения явлений реального мира, и их развитие постоянно корректируется требованиями науки, в том числе тем соответствием, которое наблюдается между выводами теории и фактическим положением дел. Ценность и жизненность математических теорий определяется не столько тем, насколько красиво и изящно они построены (хотя это играет важную роль), сколько тем, как глубоко и прочно они связаны с проблемами общественной практики.

Математические понятия (как, впрочем, и всякие понятия) не существуют в природе. В. И. Ленин в «Философских тетрадях» подчеркнул, что «в природе» понятия не существуют. «В природе» они, понятия, имеют «кровь и плоть»^[3].

Разным ступеням познания, а также разным наукам свойственны различные степени абстракции. Различный уровень отражения предметного мира оказывается вместе с тем различным уровнем абстрактности наук. Отвлечение от большого числа черт, присущих изучаемым предметам и явлениям, приводит к наибольшей абстрактности наук. Теряя в конкретности, такие науки приобретают большую общность и относятся к значительно большему числу объектов. Выводы, которые в них получены, применимы к более широкому классу случаев. В математике хорошо известно, что общие результаты, примененные ко все более и более узким классам явлений, получают большую конкретность. Например, понятие вероятности в разные эпохи включало в себя различное содержание и имело различные области применения. Аксиоматически определенная вероятность имеет несравненно более широкие возможности, чем любое другое определение вероятности, имеющее конкретную основу. При этом общность придавала понятию вероятности большую гибкость, большую приспособленность к отражению свойств реальных явлений.

Понятия математики создаются для познания реального мира и его закономерностей; они необходимы для познания, их введение в науку является неизбежным этапом человеческого прогресса. Всегда, теперь так же как и прежде, введению новых научных понятий предшествует длительный период рассмотрения конкретных объектов, фактов, наблюдений, связанных с естествознанием, техникой, биологией или самой математикой.

Взгляд на исторический путь математики или той или иной ее ветви позволяет уяснить то, насколько ошибочны точки зрения, выводящие математические понятия из произвола ученых, а не из требований общественной практики, включающей в себя, конечно, и требования самой науки, логики ее внутреннего развития. Нельзя трактовать требования практики вульгарно и примитивно. Так, ошибочно искать истоки понятия бикомпактного пространства, введенного в науку П. С. Александровым и П. С. Урысоном, в практике землемерия или физических исследований. Но ясно то, что это понятие было вызвано к жизни развитием самой математики и что если бы оно не было введено в обиход указанными авторами, то рано или поздно его необходимость была бы замечена другими исследователями. Логика развития науки привела бы к формированию одного из основных понятий современной математики. То, что понятия науки не объясняются произволом ученого, можно понять, если обратить внимание на факт одновременных открытий, которые сделаны авторами, жившими вдали друг от друга.

Действительный путь образования математических понятий состоит в восхождении от конкретных задач и несовершенных представлений к допустимой при данном состоянии научных знаний общности. Создаваемые понятия либо позволяют глубже проникать в определенные свойства вещей, либо объединяют воедино ряд ранее разрозненных представлений и позволяют с одним понятием оперировать там, где требовались многие другие. Хорошо об этом в свое время сказал Н. И. Лобачевский: «Все математические начала, которые думают произвести из самого разума, независимо от вещей мира, останутся бесполезными для математики, а часто даже и не оправдываемые ею»^[4].

Постепенное расширение содержания математических понятий в связи с задачами науки и практики создает широкие возможности охвата ими новых и новых вопросов, возникающих как в естествознании и технике, так и в организации производства и других областях знания.

2. О математизации знаний

Если внимательно проанализировать исторический процесс развития научного знания, то нельзя не заметить, что человечество не только переходит от состояния незнания к элементам знания и от неполного знания к более совершенному знанию, но и от знания чисто качественного, описательного к знанию более точному, формулируемому в Количественных терминах. Недостаточность описательного этапа развития науки постоянно отмечалась выдающимися умами прошлого и очень ярко выражена в следующих словах К. Маркса: «Наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается овладеть математическими методами»^[5]. Поскольку все науки стремятся к совершенству, в какой-то мере их ждет и математизация.

Но при этом значимость математического метода не одинакова для разных областей знания. Процесс математизации особенно бурно происходит на наших глазах и охватывает не только традиционные области применения математических методов: астрономию, физику, механику, инженерное дело, но и многие другие направления человеческой мысли и деятельности: экономику, организацию производства, медицину и так далее. При этом следует отметить, что математизация связана не только с применением трафаретных методов и приемов в стандартных ситуациях, сколько с расширением поля действия математических методов и созданием новых приемов математического исследования, которые соответствовали бы уровню достигнутых знаний и на этом уровне достаточно адекватно позволяли бы описывать изучаемые явления. Аппарат математики необходимо создавать и непрерывно совершенствовать. В этом процессе развития заключается не только один из источников прогресса математических знаний, но и объяснение того, что математика обладает такой огромной, почти всеобъемлющей познавательной мощью. Отмеченный стимул развития математики играл основную роль в прошлом, в полной мере в настоящем и, несомненно, не потеряет своего значения и в будущем.

Поиски количественных закономерностей природы на протяжении последних трех столетий пе только вдохновляли многочисленных исследователей, но и приводили многократно к стремительному росту производительных сил общества. Промышленная революция XVIII века была торжеством не только инженерного гения, но в не меньшей степени и математических методов. Направления математической мысли, возникшие в ту пору, были тесно связаны с задачами познания природы и нуждами общественной практики. На первое место тогда выдвигалась задача изучения механического движения. Именно с вопросами движения в первую очередь было связано создание математического анализа. Недаром Ф. Энгельс придавал изобретению математического анализа исключительное значение для естествознания, для изучения явлений природы, процессов их развития. «Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение»^[6].

Пожалуй, астрономия была первой областью естествознания, в которой математические методы нашли широкое применение. Это обстоятельство принесло ей значительные успехи уже на начальной стадии математизации. Достаточно вспомнить, что в Древней Греции каждый, даже посредственный астроном был способен предвычислять как солнечные, так и лунные затмения. Астрономия сыграла важную роль в стимулировании создания и прогресса методов математического анализа. Но при этом и сама астрономия получила мощнейший метод исследования, позволивший человечеству на протяжении последних двух с половиной столетий продвинуться далеко на пути познания окружающего нас пространства и особенностей движения небесных тел.

Использование математических методов в физике началось еще в глубокой древности, но это были лишь первые шаги. Переломным следует признать период XVIII—XIX веков, когда успехи математического анализа позволили добиться первых результатов в гидродинамике, теории света и ряде других ветвей физической науки. В начале XIX века начала создаваться математическая физика. Постепенно математизировались задачи, связанные с распространением тепла, с явлениями магнетизма, электростатики, электродинамики и многими другими. Каждый шаг по пути математизации физики приводил к необходимости создания и развития новых математических теорий. Так появилась настойчивая необходимость в разработке вопросов теории дифференциальных уравнений первого и второго порядков в частных производных. Стремление изучать новые явления природы математическими методами постоянно приводило к необходимости прогресса самой математики. В значительной мере весь XIX век и прошедшие десятилетия нашего столетия не принесли математике права на успокоение, и ее развитие шло преимущественно под влиянием требований физики.

Вспомним, что идеи многомерной геометрии естественно возникли в связи с развитием молекулярных концепций. Введение в научный обиход понятия фазового пространства не только принесло физике геометрическую наглядность, но и стимулировало обобщение классических понятий математики. Прогресс физики в нашем веке позволяет нам проследить, как много ценнейших идей и отправных точек зрения принес он математике. Углубление в природу физических явлений требовало выработки новых представлений, формирования новых понятий, создания новых теорий, а также широкого обобщения тех, которые уже имелись в арсенале математики. Физике становилось тесно в рамках классической математики. Попытки описания в ее терминах новых явлений, связанных с атомами и субатомными явлениями, оказались тщетными. Прогресс физики требовал и прогресса математики. Математика отвечала на эти настойчивые требования далеко идущими действиями. Достаточно вспомнить, что создание и развитие функционального анализа в значительной мере происходило под влиянием теоретической физики. В наши дни создание понятия обобщенной функции прошло тот же путь. Можно указать многочисленные работы физиков, в которых фактически использовалось, пусть в несовершенном виде, это понятие. Производя «незаконные операции» с недифференцируемыми функциями, они приходили к ряду существенных выводов и объяснению новых физических фактов. Созданию математической теории обобщенных функций предшествовали первичные толчки от физики, а также от самой математики. Таким образом, понятие обобщенной функции появилось не вдруг, не в результате ничем не вызванного желания обобщить классическое понятие функции, а в результате стремления осмыслить старую ситуацию: физики, оперируя с математическими объектами, не признаваемыми математикой и притом методами, которые не допускались математикой, приходили к осмысленным результатам. Необходимость обобщения бралась не из чистого разума, а из практической необходимости физических исследований.

Обратим внимание на формирование еще одной математической теории, зародившейся в первые десятилетия нашего века. Я имею в виду теорию случайных процессов, ставшую важной ветвью современной математики, а также, одним из основных орудий исследования и представлений как в современном естествознании, так и в технике, экономике и т. д. На протяжении XIX века теория вероятностей развивалась исключительно как теория случайных событий и величин. Сама идея изучения нового объекта — случайного процесса — не приходила ученым в голову. Эта идея еще не созрела, в ней еще не появилась настоятельная необходимость, хотя в некоторых работах П. Лапласа уже можно усмотреть начальные ростки случайных процессов марковского типа. В разных формах идея случайного процесса появлялась у ряда ученых начала нашего столетия. Прежде всего здесь следует назвать имена А. Эйнштейна и Ю. Смолуховского, которые дали набросок теории броуновского движения. Далее Фоккер и М. Планк, исходя из простейшей формы случайного блуждания, получили «прямые уравнения» теории Марков-, ских случайных процессов. Почти одновременно с Эйнштейном и Смолуховским, но уже из чисто математических соображений (обобщение схемы Бернулли, отчасти стимулировавшееся задачами статистики) А. А. Марков (1856 — 1922) ввел в науку понятие цепной зависимости. К этому же времени относятся и многочисленные работы биологов, в которых идея случайного процесса естественно появлялась в связи с изучением динамики популяций. Позднее один класс случайных процессов, играющий теперь важную роль в науке, получил название процессов гибели и размножения. Нельзя не указать также на работы К. Эрланга по теории телефонных сообщений, в которых в зачаточной форме использовались идеи и методы теории случайных процессов. Французский исследователь Башелье под влиянием А. Пуанкаре построил элементы теории диффузии на базе теоретико-вероятностных представлений. Он явился, кстати, автором первого в истории трактата по первичным задачам теории диффузионных процессов. Можно указать ряд работ в области геофизики и экономики, где также формировались теории случайных процессов. Таким образом, мы видим, как в недрах естествознания созревала почва для работ А. Н. Колмогорова, А. Я. Хинчина и их последователей, создавших новую ветвь современной математики — теорию случайных процессов.

Современный период в истории человеческого общества правильно характеризуется как период научно-технической революции, когда происходит качественный скачок в развитии производительных сил на базе фундаментальных открытий в науке. Именно в наше время наука неудержимо превращается в ведущую силу производства, позволяет осуществлять комплексную его автоматизацию и ставить грандиозные по замыслам проблемы, связанные с изучением окружающего нас мира. На этом пути математике отводится почетное и ответственное место. Чем же вызывается процесс все усиливающейся’ математизации естествознания и прикладных областей знания? Причин для этого много. Основные из них, по-видимому, могут быть сведены к следующим:

1) только точные, количественно оформленные знания позволяют предвычислить течение явлений и тем самым своевременно принимать меры к управлению ими;

2) математически оформленные теории позволяют компактно описывать имеющуюся информацию о явлениях и тем самым облегчать получение следствий из предпосылок; 3) в математически оформленных теориях предпосылки о характере протекания явлений выписываются явно и поэтому при сравнении результатов теории с экспериментальными данными открывается возможность проверки исходных положений теории; 4) математика является своеобразным языком науки, приспособленным для краткого и точного описания изучаемых явлений, автоматизации получения выводов из предпосылок и сравнения получаемых результатов с опытными данными.

Представим себе на минуту, что мы лишены аппарата современной математики. Как бы в этих условиях было возможно находить рациональные способы управления производственными процессами, производить расчет технических систем, запускать космические станции, производить их стыковку, формулировать законы природы и на их базе получать точные следствия? Число таких вопросов буквально неограниченно, и каждый легко может себе представить все последствия, которые полностью лишили бы человечество современной промышленности, прогресса наших знаний, возможности связи и всего того, что дала цивилизация.

Математизация знаний в период научно-технического прогресса является не данью моде или прихотью математиков, а неизбежной необходимостью.

Много веков назад великий английский мыслитель Фрэнсис Бэкон сказал, что как для повышения урожая плодов необходимо в первую очередь ухаживать не за ветвями дерева, а за его корнями, давать им подкормку, взрыхлять почву, так и для прогресса научного познания законов природы и их использования в жизненной практике необходимо наши знания поставить на точную количественную основу. А там, где идет речь о количестве, там не обойтись без математики, без широкого привлечения ее понятий, методов и специфических для нее методов мышления.

Каждый шаг на пути научного познания неизбежно станет толкать математику на дальнейшее совершенствование — на появление новых областей исследования, выработку новых понятий и изменение представлений о строгости выводов.

3. Пути возникновения нового в математике

Наука, в отличие от рецептурных знаний, непрерывно развивается, выдвигая новые проблемы, идеи, концепции, области исследования. Без этого непрестанного движения, без ломки понятий и смены идеалов наука прекратила бы свое существование, потеряла бы для общества свою непреходящую ценность, перестала бы служить целям знания. Как сказал Д. Гильберт в докладе на Втором Всемирном конгрессе математиков, оказавшем исключительное влияние на прогресс всей математики последних семи десятилетий «…развитие науки протекает непрерывно. Мы знаем, что каждый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или решает, или отодвигает в сторону как бесплодные, чтобы заменить их новыми… Всякая научная область жизнеспособна, пока в ней избыток новых проблем. Недостаток новых проблем означает отмирание или прекращение самостоятельного развития… Сила исследователя познается в решении проблем: он находит новые методы, новые точки зрения, он открывает более широкие и свободные горизонты»^[7].

Откуда же берутся новые проблемы математики? Каков тот процесс, который приводит к постановке новых задач, приобретающих общий интерес, а не только персональное значение для автора? Таких путей несколько, и каждый из них представляет для науки огромную ценность. На первом месте надо поставить получение задач из потребностей практики. Далее — задачи, возникшие в связи с осмысливанием понятий самой математики, а также из стремления разрозненные факты привести в систему в рамках существующих представлений (сюда укладываются новые постановки задач, связанные с обобщением и обсуждением ранее возникших вопросов, поиски необходимых и достаточных условий). Наконец, формирование новых понятий на базе уже существующих и стремление к объединению ранее раздельно развивавшихся ветвей математического знания.

Пожалуй, наиболее ярко о влиянии практики на прогресс математических наук сказал П. Л. Чебышев в речи на торжественном акте Петербургского университета в 1856 году: «Науки математические, с самой глубокой древности, обращали на себя особенное внимание; в настоящее время они получили еще более интереса по влиянию своему на искусства и промышленность. Сближение теории с практикой дает самые благоприятные результаты, и не только одна практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее: она открывает им новые предметы для исследования, или новые стороны в предметах давно известных. Несмотря на ту высокую степень развития, до которой доведены науки математические трудами великих геометров трех последних столетий, практика обнаруживает ясно неполноту их во многих отношениях; она предлагает вопросы существенно новые для науки, и таким образом вызывает на изыскание совершенно новый метод. Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или новых развитий ее, то она еще более приобретает открытием новых метод, и в этом случае науки находят себе верного руководителя в практике»^[8].

Сам Чебышев систематически придерживался этой позиции как в личной научной деятельности, так и в воспитании учеников. Недаром один из его учеников — А. М. Ляпунов в некрологе, посвященном учителю, писал о том, что П. Л. Чебышев руководствовался взглядом, что только те изыскания имеют цену, которые вызываются приложениями (научными или практическими), и только те теории действительно полезны, которые вытекают из рассмотрения частных случаев.

«Детальная разработка вопросов, особенно важных с точки зрения приложений и в то же время представляющих особенные теоретические трудности, требующие изобретения новых методов и восхождения к принципам науки, затем обобщение полученных выводов и создание этим путем более или менее общей теории — таково направление работ П. Л. Чебышева и ученых, усвоивших его взгляды»^[9]. Пожалуй, эта тенденция нашла наиболее яркое выражение в работах П. Л. Чебышева по теории наилучшего приближения функций.

Процесс обогащения математики новыми постановками задач, новыми идеями и методами происходил на протяжении всей ее истории и продолжается с большей интенсивностью и теперь. Только за последние четыре- пять десятилетий в математике появились новые научные направления большого практического и теоретического значения. Одно их перечисление способно занять значительное время. При этом вновь подтвердилась мысль, которая была высказана в упомянутом ранее докладе П. Л. Чебышева: «…как располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды?»

В 1939 году в связи с консультациями, которые дал работникам промышленности ленинградский математик Л. В. Канторович, им были решены задачи на определение оптимума, выходившие за пределы привычных задач на максимум и минимум. Эти задачи положили начало новой математической теории — линейному программированию, которое получило бурное развитие уже в последующие годы.

Задачи передачи информации по каналам связи привели к новому направлению исследований — теории информации. Возникнув на базе практики, эта теория переросла свои первоначальные рамки и сама начала оказывать влияние на ряд классических областей математики — теорию функций, теорию вероятностей и т. д. Понятия и результаты, полученные К. Шенноном и другими исследователями, получили общематематическое значение.

Современное промышленное производство, расчет новых конструкций, геодезические работы и т. д. требуют колоссальной вычислительной работы. Уже в прошлом веке стало ясно, что традиционные пути вычислений значительно отстают от потребностей практической жизни. Возникла острая необходимость как в изобретении технических вычислительных средств, так и в совершенствовании методов вычислений. Наше столетие неизмеримо увеличило эту диспропорцию. Ручной счет и простейшие вычислительные средства типа арифмометров стали тормозом па пути научно-технического прогресса. Как сообщалось в печати, в австралийском центре ядерных исследований за несколько лет его существования накопилось такое множество наблюдений, что их обработка обычными методами начала нашего столетия потребовала бы свыше двух тысяч лет. Едва ли имеет смысл говорить о том, что через две тысячи лет результаты обработки этих наблюдений потеряют интерес как для производивших их исследователей, так и для науки вообще. Создалась ситуация, когда изобретение принципиально новых средств вычислений стало настоятельной необходимостью. Более того, развитие науки подготовило и все условия для их создания. Разум многих исследователей и изобретателей, коллективный разум человечества, был направлен на решение определенной проблемы. Результат нам известен — были изобретены электронные вычислительные машины и их изобретение создало новые возможности для бурного развития всех областей науки, для появления принципиально новых идей. Здесь уместно сказать лишь несколько слов о том, что практика использования ЭВМ вызвала к жизни многочисленные новые направления математических исследований — программирование вычислительных и логических задач для постановки их на ЭВМ, теорию автоматов, теорию алгоритмов и многие другие.

Но как ни велико значение практики в развитии математики, она одна не исчерпывает источники появления математических задач, толкающих математику к дальнейшему прогрессу, содействующих развитию математических идей и методов. Здесь необходимо упомянуть также другие истоки, без которых нельзя понять современную математику. Это прежде всего стремление: а) изучить исследуемый вопрос всесторонне и построить его теорию;

б) выявить границы применимости изобретенного метода;

в) построить теорию не только существующих, но и возможных отношений. В математике естественно возникают многочисленные задачи, вызванные к жизни необходимостью выявить характеристики того или иного математического понятия. Великая проблема Гольдбаха и проблема Ферма возникли не в результате вопросов практики, а исключительно из стремления понять особенности строения множества целых чисел. Точно так же знаменитая проблема распределения простых чисел в множестве всех целых чисел не была непосредственно связана с какими-либо задачами практики. Это — внутренняя проблема математики, родившаяся из имманентной логики ее развития.

Геометрия Лобачевского появилась не в результате решения практической задачи, а в результате естественного стремления выявить все логические возможные геометрические системы, стремления глубоко проникнуть в структуру окружающего нас геометрического пространства.

Математика строит свои понятия, не только абстрагируясь от свойств реально существующих вещей, но и абстрагируясь от ранее созданных ею самой понятий. Такой тип абстрагирования получил, как известно, название абстрагирования отождествления. Создав понятие целого числа, отправляясь от счета реальных предметов, человечество неоднократно обобщало само понятие числа, исходя уже из других потребностей — измерений, решения уравнений, исследования объектов, удовлетворяющих тем или иным операциям. Этому пути следовало математическое абстрагирование при образовании понятий группы, кольца, абстрактного пространства и т. д.

Совершенно ясно, что ни одно математическое понятие не образуется без участия другого типа абстрагирования — идеализации. Понятие геометрической точки или линии является не только абстрагированием отождествления, но и абстрагированием идеализации. Все линии, с которыми мы сталкиваемся в природе, имеют не только длину, но и ширину, и толщину. При создании этих понятий мы не только абстрагируемся от материальных свойств объектов, но и от геометрической действительности. Без такой идеализации объектов изучения не могло бы быть не только современной математики, но и многих областей техники. Действительно, электромагнитные волны были открыты не путем эксперимента, а путем выводов из уравнений электромагнитного поля. Максвелл не был экспериментатором, но его результаты оказали решающее влияние на физиков, а позднее и на инженеров. Не будь цепи исследователей — Д. К. Максвелла, Г. Герца, А. С. Попова, шедших от математических абстракций к реальной действительности, темпы развития современной радиоэлектроники были бы, наверное, более медленными.

Точно так же, не будь математической теории механического движения, созданной И. Ньютоном, Л. Эйлером, М. В. Остроградским, современные полеты в космос были бы невозможны. Но теоретическая механика представляет собой математическую теорию явлений движения, где используются идеализированные понятия, подобные материальной точке, которая не имеет размеров, но имеет коночную массу. Теоретическая механика логически развивается из небольшого числа аксиом. Но эти аксиомы выбраны не произвольно, а явились результатом многовековых наблюдений за особенностями механического движения. Пока результаты расчетов, произведенных согласно этой теории, хорошо согласуются с опытом, даже в тех случаях, когда этот опыт перенесен с земных условий в условия космоса, эти аксиомы нет необходимости менять. Но как только будет найдено несоответствие теории и наблюдений, придется совершенствовать исходные положения теории — ее аксиомы.

Было бы совершенно ошибочным считать, что творчество математика всегда стимулируется только явлениями реального мира. Внутренняя логика развития математики как науки диктует свои веские требования. С этих позиций заслуживает внимания тот факт, что В. И. Ленин, читая книгу Абеля Рея «Современная философия», в том месте, где автор говорит относительно возможности математического творчества если бы внезапно внешний мир исчез, подчеркнул следующее высказывание: «Да, бесспорно, если бы он исчез теперь; но мог ли бы он создать математику, если бы материального мира никогда не существовало?..»^[10]

Когда математик уже встал на путь научного творчества, когда он уже видит несовершенства существующих теорий и неразрешенные проблемы, а также созданные направления исследований, то дополнительные импульсы извне ему не всегда необходимы. Влияние общественной практики на появление новых идей в математике настолько многообразно, что порой это влияние остается незамеченным, и создается впечатление, что исследователь сам, без каких-либо воздействий извне, выдвинул новую проблематику. Этому в большей мере содействует и принятая форма изложения результатов, когда читатель получает лишь логически безупречное изложение, но не видит тех исходных позиций, которые привели к выбору тематики и пути исследования.

Е. Вигнер. Непостижимая эффективность математики в естественных науках. — «Успехи физических наук», 1968, т. 94, вып. 3, стр. 536. ↑
Е. Вигнер. Непостижимая эффективность математики в естественных науках, стр. 536. ↑
В. И. Ленин. Полное собрание сочинений, т. 29, стр. 257. ↑
Материалы для биографии Н. И. Лобачевского. Конспект Н. И. Лобачевского по преподаванию чистой математики в Казанском университете в 1825—1826 учебном году. М.—Л., 1948, стр. 204. ↑
Ф. Меринг. Воспоминания о Марксе и Энгельсе. М., 1956, стр. 4. ↑
К. Маркс и Ф. Энгельс. Сочинения, т. 20, стр. 587. ↑
«Проблемы Гильберта». М., 1969, стр. 13. ↑
П. Л. Чебышев. Полное собрание сочинений, т. V, М.— Л., 1951, стр. 150. ↑
А. М. Ляпунов. Пафнутий Львович Чебышев. В кн.: П. Л. Чебышев. Избранные математические труды. М.— Л., 1946, стр. 20. ↑
В. И. Ленин. Полное собрание сочинений, т. 29, стр. 478. ↑