Проблема возникновения нового знания и теория умозаключений

Синтез научного знания характеризуется с логической точки зрения сложным переплетением различных способов рассуждения, или, другими словами, форм умозаключений, которые выполняют как эвристическую функцию — расширяют или обогащают научное знание новыми, ранее не известными истинами, так и демонстративную (доказательственную) функцию — обосновывают выдвигаемые положения науки.

Мы исходим из того, что эвристическая и демонстративная функция не независимы, а образуют диалектическое единство, одна из этих функций взаимно предполагает и взаимно дополняет другую. «Индукция и дедукция, — писал Ф. Энгельс, — связаны между собой столь же необходимым образом, как синтез и анализ. Вместо того, чтобы односторонне превозносить одну из них до небес за счет другой, надо стараться применять каждую на своем месте, а этого можно добиться лишь в том случае, если не упускать из виду их связь между собой, их взаимное дополнение друг друга»^[1].

Нередко также приходится сталкиваться с мнением, что дедуктивные умозаключения могут выполнять лишь демонстративную функцию, в то время как правдоподобные рассуждения, в частности индукция, умозаключение по аналогии, выполняют только эвристическую функцию. Это мнение нам представляется ошибочным. Мы не считаем возможным противопоставлять, как это иногда делается, строгие методы построения логических доказательств эвристическим принципам мышления па следующем основании: строгие методы надежны, неоспоримы, а эвристические принципы ненадежны, спорны; первые не дают существенно новых знаний о мире, в то время как вторые приводят к открытию новых результатов^[2]. Согласно этому взгляду эвристические принципы относятся без достаточной определенности к области интуитивного мышления, которое при этом противопоставляется как неформальный, нестрогий, но творческий процесс логическому рассуждению как формальному, строгому, но, вообще говоря, нетворческому процессу.

У некоторых представителей буржуазной философии отмеченное противопоставление приобретает крайнюю форму, выражающуюся в отрицании каких-либо существенных связей между доказательством и открытием. Так, К. Поппер открытие оценивает как чисто случайный психологический феномен, логический анализ которого невозможен. Он считает, что «вопрос, как человек приходит к новой идее — будь то музыкальная тема, драматический конфликт или научная теория, — может представлять большой интерес для эмпирической психологии, но он не имеет никакого отношения к логическому анализу знания»^[3].

Достижения теоретической формальной логики открывают интересные перспективы применения точных методов к изучению эвристических принципов мышления. С помощью аппарата современной формальной логики удается раскрыть тесную связь эвристических принципов, которыми направляется поиск нового знания с логическими законами и правилами. Вопреки взглядам ряда неопозитивистов, оказывается, что эвристические принципы могут получить выражение в терминах логики и, таким образом, стать предметом логического рассмотрения^[4]. Средствами современной логики можно строить и изучать формальные аналоги, или модели, эвристических принципов мышления. Вообще, нам представляется целесообразным комплекс исследований, в которых точными методами логики и математики изучаются эвристические процессы мышления, назвать теоретической эвристикой.

1. Эвристические принципы мышления

Эвристическими принципами^[5] мышления мы называем приемы, правила, методы, существенно облегчающие поиск требуемого решения задачи, или проблемы^[6]. В свою очередь, существенное облегчение поиска, которое мы связываем с нашим толкованием эвристических принципов, состоит в том, что, руководствуясь эвристическими принципами, мы можем рассчитывать на получение решения задачи с такими затратами времени, сил и средств, которые не выходят за границы практически осуществимого. От эвристических принципов в общем случае не требуется, чтобы основанная на них стратегия поиска была всегда успешной, т. е. всегда приводила к достижению поставленной цели или получению определенного результата. Все, что мы склонны потребовать от эвристик, сводится, коротко говоря, к тому, чтобы они способствовали выработке рациональной, практически приемлемой стратегии поиска решения задачи^[7].

Так как термин «решение (задачи)» употребляется неоднозначно^[8], сделаем несколько замечаний относительно смысла этого термина, которые будут важны для дальнейшего изложения.

Во-первых, решением (задачи) называют искомый ответ или некоторую его существенную часть^[9].

Во-вторых, решением называют достаточное, не оставляющее каких-либо сомнений с точки зрения достигнутых критериев научной строгости, свидетельство в пользу истинности предполагаемого ответа на вопрос задачи. Заметим, что решение в первом смысле является составной частью решения в этом втором смысле. Решение в этом смысле должно содержать описание (вообще говоря, воспроизводимой, эффективной) процедуры, посредством которой устанавливается истинность искомого ответа на вопрос задачи. Упомянутая процедура может быть 1) эмпирической (например, наблюдение, эксперимент) или 2) теоретической (например, логическое доказательство)^[10]. С актом обращения к практике как критерию истины мы имеем дело не только в случае 1), но и в случае 2), так как «практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом»^[11].

Наконец, под решением (задачи) в третьем смысле понимается сам поиск решения, т. е. процесс, результатом которого в случае успешного завершения служит решение во втором смысле. В дальнейшем мы будем стремиться, когда это возможно, употреблять термин «решение задачи» во втором из разъясненных выше смыслов.

Достаточно часто эвристики рассматриваются как приемы, принципиально отличные от алгоритмов. Данное толкование эвристик, по-видимому, связано с неправильными представлениями об алгоритмах как методах 1) гарантирующих всегда получение определенного результата или 2) исключающих пробы, выбор рациональной стратегии поиска, изменение тактики в ходе поиска решения задачи. В случае 1) алгоритм поиска решения отождествляется с разрешающим алгоритмом. В случае 2) алгоритм поиска решения отождествляется^[12] с тривиальным, основанным на переборе «пробных решений» алгоритмом. Указанный тривиальный алгоритм возможен для любой задачи «с хорошей структурой», т. е. такой задачи, формулировка которой не оставляет места двусмысленностям или неясностям в понимании того, в чем же, собственно, должно состоять искомое решение. Больше того, саму формулировку задачи «с хорошей структурой» можно рассматривать как своего рода сокращенное описание указанного выше тривиального алгоритма поиска ее решения.

Согласно нашему толкованию эвристических принципов, было, бы правильнее считать, что объемы понятий «алгоритм» и «эвристика» частично совпадают. Конечно, тривиальный алгоритм перебора всевозможных «пробных решений» нельзя, вообще говоря, считать эвристическим принципом. Но если алгоритм дает рациональную стратегию, то нет разумных оснований не относить его к эвристикам^[13]. И уже совсем неоправданным нам представляется исключение из числа эвристических принципов правил строго логических рассуждений^[14].

Эвристический поиск решения задачи можно рассматривать как аналитико-синтетическую процедуру. На этом основании можно расчленить все эвристики на три группы.

К первой группе мы относим принципы, посредством которых на основании анализа задачи осуществляется ее понимание и вырабатывается схема возможного решения, иными словами, «постигается идея решения»^[15]. Эвристические принципы этой группы мы называем принципами анализа, благодаря которым достигается составление плана решения, выбор стратегии поиска решения задачи.

Ко второй группе мы относим принципы синтеза, посредством которых реализуется план поиска решения задачи. Осуществление плана решения протекает в форме некоторого синтеза, основывающегося на результатах предшествующего анализа.

Наконец, к принципам третьей группы мы относим так называемые критерии нетривиальности. В соответствии с этими принципами оценивается нетривиальиость задачи, выявляются возможности ее упрощения, усиления или обобщения и т. п.

В книге Д. Пойа «Математическое открытие» подробно описаны две весьма широко распространенные стратегии эвристического поиска (решения задачи): 1) метод последовательных приближений и 2) метод продвижения от конца к началу. Первый из этих мотодов сводится к последовательному исправлению ошибок в «пробных решениях». По сравнению со вторым методом, эвристические возможности метода последовательных приближений достаточно ограничены, так как здесь мы имеем дело не более чем с определенной систематизацией перебора проб. Но не следует забывать, что иногда мы для решения задачи не располагаем никакой другой стратегией, кроме данного метода^[16].

Второй метод может применяться в случае наличия достаточно развитой теории и носит ярко выраженный логический характер. Примером применения этого метода могут служить так называемые аналитические, или регрессивные, доказательства. В простейшем случае идея этого метода состоит в следующем.

Пусть требуется доказать некоторое предложение М. Анализируя М, мы подыскиваем предложение L (возможно, по одно), из которого следует М; если L не доказано, то для L осуществляется аналогичный поиск, и так до тех пор, пока анализ не приведет нас к уже известным истинам^[17].

Для иллюстрации и пояснения сформулированных выше общих соображений мы не можем отказать себе в удовольствии воспроизвести из превосходной книги Д. Пойа «Математическое открытие» поучительное сравнение различных эвристических методов на примере забавной детской головоломки («задачки»). Вот текст этой головоломки.

У некоего фермера имеются куры и кролики. Всего у этих животных насчитывается 50 голов и 140 ног. Спрашивается, сколько кур и сколько кроликов у фермера.

Поняв задачу, мы видим, что требуется найти такие два числа (число кур и число кроликов), что 1) сумма этих чисел равна 50, а 2) сумма удвоенного первого числа и учетверенного второго числа равна 140.

Для поиска решения воспользуемся сначала методом последовательных приближений. Очевидно, что все животные не могут быть кроликами по причине «избытка ног», т. о. нарушения пункта 2) условия задачи. Сходным образом из-за «недостатка ног» все животные не могут оказаться и курами.

Предположим теперь, что у фермера кур и кроликов было поровну. Но и это предположение невозможно, так как в этом случае получается расхождение в числе ног согласно данному предположению (150) по сравнению с требуемым (140) по пункту 2) задачи. Далее мы прибегаем к следующему «мысленному эксперименту». Уменьшая число кур и увеличивая соответственно число кроликов, мы замечаем, что в этом случае общее число ног у этих животных не уменьшается, как нам хотелось бы, а увеличивается. Наконец, уменьшая постепенно число кроликов и увеличивая соответственно число кур, мы находим требуемые числа: кур—30, а кроликов—20.

Рассматривая процесс поиска решения этой «задачки» методом последовательных приближений, легко заметить, что в данном случае систематизация перебора проб достигается с помощью такого хорошо известного логического принципа, как правило доказательства путем разбора случаев (с отбрасыванием невозможных случаев).

Нетрудно понять также, что сравнительная легкость нахождения решения методом последовательных приближений вызвана в данном случае небольшими и специально подобранными числами. Если бы мы в подобной задаче встретились с большими и не специально подобранными числами, то поиск решения указанным методом потребовал бы значительного увеличения проб и удачи в выборе вариантов, прежде чем мы добрались бы до искомого решения.

Но эту «задачку» можно было бы решить более коротким путем или, говоря словами Д. Пойа, «менее эмпирически» и «более дедуктивно», т. е. с меньшим числом догадок и более полным использованием возможностей логических рассуждений, если воспользоваться методом продвижения от конца к началу.

Согласно этому методу мы сводим решение первоначальной задачи к следующей, более простой задаче:

Фермер застал своих животных в весьма странных позах — каждая курица стояла на одной ноге, а каждый кролик стоял на задних лапах.

В новой «задачке» по сравнению со старой изменился пункт 2) условия, а именно одноименный пункт в новой «задачке» гласит: сумма числа кур и удвоенного числа кроликов равна 70. Легко понять, что новая «задачка» эквивалентна старой. Мы не будем воспроизводить тех очевидных логических рассуждений, посредством которых мы убеждаемся, что разность чисел 70 и 50, т. е. число 20, есть искомое число кроликов и т. д.

Наконец, нашу «задачку» можно решить в общем виде и с помощью алгебры. Иначе говоря, методами алгебры мы можем решить «массовую» задачу, т. е. любую задачу, представленную, скажем, системой уравнений вида

(I)

где параметры h, f — произвольные числа^[18]. В самом деле, разделив обе части второго уравнения на 2, мы получаем систему уравнений

(II)

равносильную (I). (Заметим, что этот шаг процедуры поиска решения отвечает упрощающей модификации первоначальной формулировки задачи в проведенном выше содержательном рассуждении.) Далее, вычитая (II) из второго уравнения первое, имеем

y = f/2 — h. (1)

(Этот шаг процедуры отвечает тому этапу содержательного решения «задачки», когда определяется число кроликов.) Определить х теперь уже не составляет труда

x = 2h — 1/2. (2)

Очевидно, что полученная таким образом система уравнений (I), (2) равносильна первоначальной системе (1). В доказательстве этой равносильности и состоит собственно решение (во втором смысле) рассмотренной задачи.

2. Эвристическая функция методов построения логических доказательств

Известно, что в процедурах построения логических доказательств используются дедуктивные умозаключения. Так как для целей настоящего изложения, по-видимому, нет особой нужды входить в рассмотрение демонстративной функции умозаключений этого типа, ограничимся выяснением эвристической ценности дедукции, т. е. роли дедуктивных умозаключений в получении нового знания.

Нельзя сказать, что имеется большая ясность в понимании того, в чем же состоит эвристическая функция дедукции. Больше того, нередко эвристические возможности дедукции оспариваются или отвергаются вовсе. Так, Д. С. Милль но только отрицал какую-либо эвристическую ценность дедукции, но даже ставил под сомнение законность демонстративной функции дедукции. «… Никакое заключение от общего к частному, — писал он, — не может как таковое доказать ничего, потому что из общего правила мы можем вывести исключительно лишь те случаи, которые само правило принимает за известные»^[19].

У представителей современного позитивизма отрицательные оценки эвристических возможностей дедукции связываются с представлениями о логике как системе не зависящих от реальности соглашений (конвенций) об употреблении языка.

Несмотря на то что имеются известные различия во взглядах Д. С. Милля и неопозитивистов на задачи логики научного исследования, отрицательная оценка эвристических возможностей дедукции в общем разделяется многими представителями современного позитивизма. Например, в работе Р. Карнапа «Логический синтаксис языка» читаем: «В переходе к следствию не происходит увеличения содержания. Именно в этом и состоит тавтологический характер отношения логического следования»^[20].

Обычно говорят, что познавательное значение дедукции состоит в том, что посредством правил дедуктивных умозаключений мы в явной форме (или в явном виде) получаем знание, неявно содержащееся в посылках этих умозаключений. Такая характеристика представляется нам весьма односторонней, потому что познавательное значение дедукции здесь сводится, по существу, к изменению или преобразованию формы знания. Мы же, напротив, полагаем, что посредством дедукции не только изменяется форма знания, по и приобретается повое, ранее неизвестное знание^[21]. В самом деле, оборот речи «заключение дедуктивного рассуждения неявно содержится в посылках» не означает ничего, кроме того, что в дедуктивном рассуждении заключение логически следует или логически выводится из посылок.

В современной формальной логике понятию логической выводимости придается точный смысл. Нет необходимости доказывать, что научные термины не всегда согласуются с привычными смысловыми ассоциациями, возникающими при функционировании одинаково звучащих с научными терминами слов обычной речи. Случается так, что указанные смысловые ассоциации препятствуют правильному усвоению точных научных понятий, зафиксированных в терминах науки, как это, по-видимому, имеет место с термином «логическая выводимость».

Не следует представлять себе дело таким образом, что выводя, скажем, из посылок Г следствие Z, мы из Г извлекаем Z как что-то уже содержащееся в Г, подобно тому как вынимаем яблоко из корзины или выливаем воду из кувшина. В действительности, выводя Z из Г, мы находим^[22], действуя в соответствии с логическими правилами переходов от одних предложений к другим, последовательность (дедуктивную цепочку), которая начинается посылками Г и закапчивается следствием Z. Эта последовательность называется логическим выводом следствия, или заключения, Z из посылок Г^[23].

В свою очередь, утверждение, что из Г логически выводится Z, означает следующее: Z является элементом множества следствий из посылок Г, т. е. совокупности предложений, которые можно логически вывести из Г^[24].

Мы полагаем, что отрицательные оценки эвристических возможностей дедукции^[25] исходят из метафизического представления о том, что, вообще говоря, бесконечное множество всех следствий из данных посылок^[26] существует актуально, но не как некая действительность. Иначе говоря, в этом случае, прибегая к некоторому «акту воображения», допускают, что множество следствий из данных посылок задано, так сказать, «в готовом виде», например в виде совокупности сосуществующих предложений. Заметим, что даже при таком подходе нелегко полностью обеспечить эвристические возможности дедукции.

Но все дело в том, что множество всех следствий из данных посылок существует разве лишь потенциально, как некоторая возможность. Поэтому если «не предполагать готовым и неизменным наше познание, — писал В. И. Ленин, — а разбирать, каким образом из незнания является знание, каким образом неполное, неточное знание становится более полным и более точным»^[27], то при таком подходе, соответствующем тому, как фактически протекает научное познание, процессы построения логических доказательств, пополняющие теорию новыми истинами или уточняющие известные положения, образуют разновидность творческой эвристической деятельности. Получение нового знания дедуктивным путем сводится к нахождению отношения логической выводимости между предложениями. Причем не требуется, как это часто бывает в реальных научных задачах, чтобы все члены искомого отношения — посылки и следствие — были известны. Осуществляя поиск решения задачи средствами дедукции, мы не только находим по известным членам искомого отношения выводимости неизвестные члены, но и в полном смысле этого слова изобретаем в соответствии с законами логики некоторую конструкцию — вывод или доказательство.

История науки, в частности математики, дает немало поучительных примеров, сколь сложны логические проблемы, допускающие формулировку, понятную даже неспециалистам. Таким образом, логика как «…метод для отыскания новых результатов, для перехода от известного к неизвестному»^[28] является, наряду с другими методами научного познания, и средством научного открытия.

Логической наивностью было бы считать, что сначала мы истину, например теорему, как-то угадываем, а потом доказываем.

Выбор какого-либо предположения в качестве возможной теоремы вряд ли является результатом некоего «непосредственного усмотрения», но возникает как результат интеллектуальных действий, укладывающихся в общем в рамки, быть может, фрагментарной, неполной логической деятельности, которая должна раскрывать в той или иной степени правдоподобие предположения, выдвигаемого в качестве кандидата на теорему.

В ходе поиска решения задачи мы выдвигаем предположения, «предвосхищаем» с большим или меньшим успехом ответ. Все эти действия, относимые обычно без достаточной определенности на счет интуиции, подсказываются наглядными представлениями, изучением отдельных фактов, теми или иными аналогиями и т. п., протекают в форме «не окончательных и строгих, а предварительных и правдоподобных рассуждений», которые дают, так сказать, «приближенное» или «неполное доказательство», имеющее известные шансы стать точным и полным^[29].

Мы считаем, что было бы неправильно связывать эвристические рассуждения только со схемами так называемых правдоподобных умозаключений. Существенную роль в нахождении логических доказательств играют правила строго логических, дедуктивных умозаключений. Иначе говоря, процедуры построения логических доказательств можно рассматривать в качестве эвристик. Оказывается, что методы построения логических доказательств могут «работать» как эвристические принципы.

Здесь мы не можем входить в технические детали вопроса о связи процедур доказательства с эвристиками^[30] и ограничиваемся поэтому соображениями общего характера. Напомним, что логическое доказательство есть вывод некоторого предложения из какой-то совокупности посылок, истинность которых ранее установлена. Предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства, называется тезисом (данного доказательства). Известно, что поиск логического доказательства развертывается как ряд сменяющих друг друга попыток (или проб) найти последующие звенья между условиями и заключением тезиса^[31]. В то же время попытки найти доказательство обычно дополняются критическим рассмотрением тезиса. Критика доказываемого предложения идет по линии обнаружения возможных локальных или глобальных контрпримеров^[32]. Первые, т. е. локальные контрпримеры, используются для опровержения выдвигаемых в ходе поиска вспомогательных утверждений, а вторые, т. е. глобальные контрпримеры, служат опровержению тезиса.

Нахождение глобального контрпримера практически не всегда означает полнейшую неудачу, крах попыток найти доказательство. Нередко контрпример можно рассматривать как сигнал к замене первоначального доказываемого предложения его более слабой версией (исправление ошибки «чрезмерного доказательства»).

Не исключается, конечно, при отсутствии глобального контрпримера, и переход к поиску более общего (более сильного) утверждения по сравнению с тем, которое первоначально предполагалось доказать^[33]. Наконец, в ходе попыток доказать какое-либо утверждение может потребоваться более радикальное изменение первоначального тезиса. Таким образом, поиск логического доказательства какого-либо положения не предполагает, вообще говоря, чтобы была известна точная формулировка данного положения. Достаточно приближенной характеристики — «смутной идеи» тезиса, так как его точная формулировка может быть обнаружена в ходе поиска доказательства.

Обрисованная выше в самых общих чертах стратегия поиска доказательства имеет чисто логическую природу в том смысле, что эвристические принципы, которыми направляется этот поиск, можно истолковать как логические правила. Больше того, с помощью средств логических исчислений можно построить модели, или аналоги, стратегий эвристического поиска логических доказательств.

Можно выделить два типа дедуктивных правил. Эвристическая функция правил первого типа состоит в том, чтобы подсказывать «идею доказательства», очерчивать, образно говоря, контуры возможного доказательства какого-либо предложения. Примерами правил этого типа могут служить такие широко распространенные способы рассуждений, как правило построения прямого доказательства (посредством введения допущений) и правило построения косвенного (апагогического) доказательства^[34]. Прямое доказательство, как известно, строится по следующей схеме: 1) оно начинается введением в рассмотрение условий доказываемого предложения — допущений (доказательства); затем 2) из имеющихся предложений, к которым всегда можно присоединить ранее установленные истины (аксиомы, уже доказанные положения и т. п.), выводятся следствия до тех пор, пока 3) не будет получено заключение доказываемого предложения. Что касается косвенного (апагогического) доказательства, то оно, как и прямое, начинается введением допущений, по в отличие от прямого доказательства, в косвенное доказательство в качестве еще одного допущения может быть введено предложение, противоречащее заключению доказываемого положения. Косвенное доказательство закапчивается, как только в ходе выведения следствий из ранее полученных предложений (с использованием, быть может, ранее установленных истин) будет обнаружено противоречие.

Очевидно, что правила первого типа «работают» в поиске доказательства в качестве эвристических принципов анализа.

Эвристическим принципам синтеза отвечают правила второго типа. Правила этого типа разрешают делать логические переходы от одних предложений к другим, по правилам данного типа выводятся следствия из данных предложении или же подыскиваются посылки к данному предложению. Эвристическая функция правил рассматриваемого типа состоит в заполнении пробелов (свободных строк) в схеме возможного доказательства, которая выбирается с помощью правил первого типа.

Как мы уже говорили, в терминах логических исчислений можно не только найти точное выражение для дедуктивных правил обычных рассуждений, по придать некоторый точный смысл приведенной выше описательной характеристике стратегии эвристического поиска логических доказательств. В этом отношении, т. е. с точки зрения теоретической эвристики, особый интерес представляют исчисления естественного вывода, или натуральные исчисления, и тесно связанные с ними исчисления секвенций^[35].

Структура формальных выводов в натуральных исчислениях возможно точно передает существенные черты логического строения обычных рассуждений. Но натуральные исчисления можно рассматривать так же, как формализмы, раскрывающие некоторые существенные стороны эвристического поиска (чисто) логических доказательств, протекающего в достаточно естественной форме.

В большинстве случаев алгоритмы поиска (чисто) логических доказательств основываются на различных вариантах изобретенного Г. Генценом исчисления секвенций. В этих исчислениях удается выразить единство эвристических принципов анализа и синтеза в виде совокупности правил преобразования логических выражений определенного типа, называемых секвенциями. Секвенциальные исчисления можно рассматривать в качестве моделей чисто логических доказательств эвристическим методом «продвижения от конца к началу». Изобретение Г. Генценом секвенциальных исчислений, как известно, было связано с открытием фундаментальной теоремы логики — теоремы об устранении сечения. Согласно этой теореме в исчислениях секвенций возможна определенная стандартизация форм чисто логических доказательств, т. е. приведение их к некоторой нормальной форме. «Наиболее существенное свойство такого нормального доказательства можно выразить так: оно не содержит окольных путей. В пего не вводится никаких понятий, кроме тех, которые содержатся в конечном результате и поэтому с необходимостью должны быть использованы для получения этого результата»^[36]. Иными словами, в случае чисто логических доказательств метод «продвижения от конца к началу» дает такую полноту анализа, что синтез доказательства оказывается «перевернутым» анализом, т. е. сводится к обращению анализа. Таким образом, теорема об устранении сечения дает теоретическое обоснование некоторой простой, избегающей «окольных путей» модели эвристического поиска чисто логических доказательств.

Принято считать, что отмеченные выше преимущества, которые можно получить при организации эвристического поиска логических доказательств средствами секвенциальных исчислений, покупаются излишней размельченностью логических шагов и их значительными отклонениями от способов обычных (неформальных) рассуждений. Но результаты дальнейших исследований показывают, что нормализации форм чисто логических доказательств можно добиться и в исчислениях естественного вывода^[37]. Поэтому и средствами натуральных исчислений можно организовать эвристический поиск логических доказательств, избегающий «окольных путей». Больше того, в натуральные исчисления входят точные критерии чисто логического доказательства, построенного наиболее простым и естественным способом по сравнению с другими доказательствами того же тезиса.

Говоря о нормализации доказательств, мы все время подчеркивали их чисто логический характер. Доказательство, грубо говоря, считается чисто логическим, если его тезис является законом или частным случаем закона элементарной логики^[38].

В тех случаях, когда мы имеем дело с доказательствами, не являющимися чисто логическими в разъясненном смысле, мы уже не можем всегда рассчитывать на такую стандартизацию форм доказательств, которая избавила бы нас при поиске доказательства методом «продвижения от конца к началу» от «окольных путей», т. е. нам придется использовать понятия, не содержащиеся в тезисе искомого доказательства, и синтез искомого доказательства не сведется к проверке правильности проделанного анализа, а приобретает, скорее, черты метода «последовательных приближений».

В заключение этого параграфа заметим, что критерии нетривиальное™, играющие важную роль в упрощении доказательств и усилении получаемых результатов, также могут получить точное выражение в терминах логических исчислений^[39].

3. Умозаключение по аналогии и получение достоверного знания

Дедуктивные умозаключения могут выполнять демонстративную функцию, так как правилами умозаключений этого типа гарантируется истинность получаемых следствий при условии истинности посылок. В отличие от строго логических умозаключений правила так называемых правдоподобных, или вероятностных, рассуждений не гарантируют, вообще говоря, истинности, а лишь повышают в той или иной степени правдоподобие предложений, получаемых с помощью этих рассуждений. Но. ограничиться дедуктивными умозаключениями при обосновании тех или иных положений можно разве лишь в математике; сделать же это в других науках, опирающихся па наблюдения, эксперименты и тому подобные эмпирические процедуры, видимо, невозможно. Поэтому рассмотрение доказательственных возможностей правдоподобных умозаключений, выяснение условий, при соблюдении которых правдоподобные умозаключения дают практически достоверное знание, представляется нам интересным и важным.

Как известно, наиболее распространенными формами правдоподобных рассуждений являются индукция и аналогия (умозаключение по аналогии). Нельзя не согласиться с мнением Д. Пойа, что аналогией проникнуто все наше мышление, наша повседневная речь и тривиальные умозаключения, язык художественных произведений и высшие достижения науки^[40]. В связи с широким распространением в современной науке и технике метода моделирования вопрос о доказательственных возможностях умозаключений по аналогии и их роли в получении достоверного знания является особенно актуальным. Анализ способов рассуждения, применяемых учеными под названием «аналогия», показывает, что здесь мы имеем дело с большим богатством форм умозаключений, иногда значительно отличающихся друг от друга^[41]. Тем не менее общее для всех видов умозаключений этого типа можно усмотреть в том, что с помощью умозаключений по аналогии мы, располагая сведениями о предмете или предметах какой-либо области, получаем более или менее правдоподобные сведения о предмете или предметах другой области на основании некоторого отношения, установленного между данными областями^[42]. Умозаключение по аналогии состоит в переносе информации с одного предмета (или одних предметов) на другой или другие па основании определенного отношения, установленного между областями, к которым принадлежат эти предметы. Моделью мы называем ту область предметов, с которой информация переносится на предметы другой области. В свою очередь, эту другую область предметов, т. е. область, на предметы которой переносится информация с модели, мы называем прототипом. В процессе познания модель обычно выступает в качестве своего рода заменителя прототипа, по той или иной причине недоступного непосредственному исследованию.

Отношение между моделью и прототипом есть отношение аналогии, понимаемое, в частности, как отношение сходства. Степень сходства в аналогии может иметь много градаций. С одной стороны, мы часто встречаемся с весьма отдаленными и туманными аналогиями, доказательная сила которых ничтожна. С другой стороны, нередко аналогия может достичь уровня математической точности^[43]. В умозаключениях по аналогии можно выделить посылку (или посылки), заключение и основание. В посылке содержится информация, относящаяся к модели, а в заключении — информация, относящаяся к прототипу. Основанием аналогии служит знание об отношении между моделью и прототипом, оправдывающее перенос информации с элементов модели на (соответствующие) элементы прототипа.

Согласно традиционной в логике точке зрения с умозаключением по аналогии связывается очень низкая оценка доказательной силы этого типа умозаключений. Такая оценка основана на отождествлении различных форм умозаключений по аналогии с одной формой — аналогией типа парадейгмы. Эта форма аналогии изучалась еще Аристотелем^[44]. В парадейгме происходит перенос признака с одного предмета — модели на другой — прототип на том основании, что они обладают еще одним общим признаком. В случае обобщенной парадейгмы, например в умозаключении от обитаемости Земли к обитаемости Марса, имеет место отождествление в основании этого умозаключения нескольких свойств.

В современной науке применяются главным образом другие формы аналогии. Применение этих форм аналогии в общем обеспечивает получение более достоверного знания, чем использование умозаключений типа парадейгмы. В частности, широкое распространение в современной науке имеет аналогия соответствия. В умозаключении по аналогии соответствия, исходя из знания об отношении между элементами одной системы — модели получают знание об «аналогичном» отношении между соответствующими предметами другой системы — прототипа (на основании некоторого соответствия между моделью и прототипом). Так, известная аналогия между законом Ньютона и, законом Кулона может служить примером аналогии соответствия. На основании аналогии этого типа Резерфорд перенес отношения, существующие в солнечной системе, на атом, что привело к созданию планетарной модели атома. С помощью аналогии соответствия второй закон термодинамики был «перенесен» в совершенно чуждую ему область информации. Элементы, из которых создается «думающая машина», сопоставляются с элементами нервной системы человека, и, таким образом, по аналогии, высказывается предположение о возможности воссоздания в машине отношений, подобных тем, которые существуют в нервной системе человека. Этот список примеров можно было бы значительно увеличить, ибо нет ни одной области науки, где так или иначе не использовалась бы аналогия соответствия.

Кроме отмеченных, можно выделить по крайней мере еще’ несколько десятков разнообразных форм умозаключений по аналогии, общим для которых является то, что все они представляют собой перенос информации с одного непосредственно исследуемого объекта — модели на другой — прототип.

Рассматривая условия, повышающие правдоподобие информации, получаемой с помощью умозаключений по аналогии, мы здесь ограничимся только упомянутыми выше двумя видами аналогии^[45].

Степень сходства, на которой основывается парадейгма, весьма незначительна. Поэтому трудно рассчитывать на получение посредством парадейгмы знания с высокой степенью правдоподобия.

Тем не менее, если представить парадейгму как индукцию sui generis^[46], можно сформулировать ряд требований, соблюдение которых повышает степень правдоподобия знания, получаемого в парадейгме. Эти требования таковы: 1) число общих свойств у сравниваемых объектов должно быть возможно большим; 2) эти свойства следует подбирать «без предубеждения против свойств какого-либо типа»; 3) рассматриваемые свойства должны быть возможно более разнородными и 4) возможно более характерными, существенными для сравниваемых объектов; 5) свойство, переносимое на второй из сравниваемых объектов, должно быть свойством того же типа, что и свойства, общие для них; 6) общие свойства должны быть возможно более специфическими для сравниваемых объектов; 7) переносимое свойство, наоборот, должно быть наименее специфическим.

Соблюдая перечисленные требования, мы лишь повышаем степень правдоподобия знания, содержащегося в заключении парадейгмы, но не делаем его вполне достоверным. Последнее может быть достигнуто путем перехода к дедуктивному обоснованию знания, получаемого по аналогии.

Как уже говорилось, умозаключение по аналогии соответствия обладает большей по сравнению с парадейгмой доказательной силой. Для умозаключения по аналогии важно иметь однозначное, в особенности взаимно-однозначное соответствие между моделью и прототипом, при котором сохраняются сопоставляемые (как «аналогичные») отношения, определенные на модели и на прототипе.

В дальнейшем мы предполагаем, что между сопоставляемыми системами объектов — моделью и прототипом — установлено взаимно-однозначное соответствие, т. е. по определенному закону каждому элементу модели ставится в соответствие единственный элемент прототипа и обратно — любому элементу прототипа ставится в соответствие единственный элемент модели. Например, существует взаимно-однозначное соответствие между точками на географической карте и точками поверхности земного шара, или, очевидно, что во взаимно-однозначном соответствии находятся множество всех положительных (действительных) чисел и множество всех отрицательных (действительных) чисел.

Для двух множеств, находящихся во взаимно-однозначном соответствии, естественно поставить вопрос, какой предикат^[47], определенный на одном из множеств, подобен или служит аналогом некоторого предиката, определенного на другом множестве, или, как еще говорят, по каким предикатам (в частности, отношениям) рассматриваемые множества изоморфны. Так, аналогом отношения «севернее» на поверхности земного шара является известное пространственное отношение—«выше» па географической карте. Или: отношению «меньше», заданному на множестве положительных чисел, аналогично отношение «больше» (а не отношение «меньше»), заданное на множестве отрицательных чисел, иначе говоря, множество всех положительных чисел и множество всех отрицательных чисел изоморфны по отношениям «меньше» и «больше».

В то же время множества, изоморфные по одним отношениям, могут быть не изоморфны по каким-то другим отношениям. Так, карты полушарий значительно искажают углы; можно взять карту, не искажающую углов, — меркаторскую, но на такой карте резко изменены расстояния. Далее, при очевидном взаимно-однозначном соответствии между множеством всех положительных и множеством всех отрицательных чисел не «сохраняется» отношение: существует число z = х-у, т. е. множество всех положительных и множество всех отрицательных чисел по отношениям — существует (положительное) z = х · у и существует (отрицательное) z = x · y — не изоморфны^[48]; аналогия между положительными и отрицательными числами в данном случае, образно выражаясь, «перестает работать».

Таким образом, для получения достоверного знания по аналогии соответствия важно знать, по каким отношениям сопоставляемые множества — модель и прототип — изоморфны^[49] при данном соответствии.

В логике получена одна важная теорема, называемая иногда основной теоремой об изоморфизме^[50]. Эта теорема дает теоретическое обоснование возможности получения достоверного знания по аналогии в случае изоморфного соответствия между моделью и прототипом. Идея этой теоремы, грубо говоря, сводится к следующему: если множества М и N изоморфны по таким-то отношениям, то высказывание А, относящееся к предметам множества М, можно преобразовать в эквивалентное высказывание^[51] В, относящееся к предметам множества А; при этом А, В не содержат других внелогических констант, кроме терминов отношений, по которым множества М и N изоморфны.

Точная характеристика указанного преобразования дается в терминах формализованного языка. Грубо говоря, В получается из А заменой терминов отношений, определенных на М, терминами соответствующих («аналогичных») отношений, определенных на N, а также, конечно, имен предметов из М именами соответствующих предметов из N. В качестве примера возьмем упомянутый выше изоморфизм множества положительных и множества отрицательных чисел по отношениям «меньше» и «больше». Очевидно, что любое высказывание о положительных числах вида а < b можно преобразовать в эквивалентное высказывание вида — а > — Ь об отрицательных числах.

Однако следует отметить, что теорема об изоморфизме, определяя правила преобразования одних отношений в другие, еще не дает нам достаточных условий отождествления отношений, то есть условий правомерности вывода по аналогии рассматриваемого типа.

В вышеприведенном примере отношению «больше» соответствует отношение «меньше», но это не значит, что оба отношения тождественны друг другу. Поэтому для обеспечения правомерности вывода по аналогии типа изоморфизма необходимы дополнительные условия. Рассмотрим тот случай, когда отношение R в модели и прототипе можно разбить на совокупность отношений α_i (в модели) и β_i (в прототипе) (1 ≤ i ≤ n) каждого предшествующего элемента a_i (в прототипе соответственно b_i) к последующему a_i+1(в прототипе b_i+1).

Введем ряд понятий, относящихся к свойствам отношений и к отношениям между ними. Два отношения R и Q будут однородными, если их существование между одними и теми же предметами логически невозможно. Например, будут однородными отношения «старше» и «моложе», «севернее» и «южнее». Отношение R функционально, если может существовать лишь один предмет b, находящийся в отношении к данному предмету а. Например, будет функциональным отношение «быть матерью», поскольку у каждого человека лишь одна мать. Два функциональных отношения Q и R коммутативны, если их последовательное применение к данному предмету а определяет один и тот же предмет b независимо от того, в каком порядке берутся эти отношения. Так, будут коммутативными отношения «отец» и «дедушка по мужской линии», поскольку отец дедушки должен быть тем же самым человеком, что и дедушка отца.

Для того, чтобы вывод по аналогии через изоморфизм был правомерен, достаточно, чтобы: 1) соответствующие друг другу отношения между соответствующими элементами сравниваемых систем α_i и β_i были однородными; 2) эти отношения были функциональными, по крайней мере в одну сторону (но оба отношения — в одну и ту же); 3) корреляторы ρ_i были коммутативными с отношениями α_iβ_i. При этом если отношения α_i и β_i функциональны от предыдущего элемента к последующему, то достаточно соотношения ρ_iβ_i = β_iρ_i^[52]. В противном случае можно ограничиться требованием ρ_iα_i = α_iρ_i.

В качестве примера применения этих правил можно привести две плоские геометрические фигуры, получающиеся друг из друга в результате однородной деформации, при которой любой размер изменяется в одно и то же число раз. В этом случае соблюдаются все приведенные выше «правила и соотношения между линейными элементами сравниваемых фигур будут одинаковыми. Если одна из них выступает в качестве модели другой, это означает правомерность соответствующего вывода по аналогии.

О. Ф. Серебрянников, А. И. Уемов.

К. Маркс и Ф. Энгельс. Сочинения, т. 20, стр. 542—543. ↑
См.: Д. Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения. М., 1957, стр. 10. ↑
К. Popper. The Logic of Scientific Discovery. London, 1959, p. 31. ↑
См.: О. Ф. Серебрянников. Эвристические принципы и логические исчисления. М., 1970. ↑
Другие названия: эвристические методы, эвристики. ↑
Термины: задача, проблема употребляются (в соответствии с требованиями семантики русского языка) как синонимы. Заметим лишь, что обычно слово «проблема» предпочитается слову «задача», когда надо обратить внимание на исследовательский характер или научную ценность задачи. ↑
Наше толкование эвристических принципов близко к характеристике эвристик, которая дается М. Минским. См. сб. «Вычислительные машины и мышление». М., 1967, стр. 404. ↑
См.: Д. Пойа. Математическое открытие. М., 1970. ↑
Так, например, корни уравнения называют решениями данного уравнения. Задача, связанная с уравнением, как известно, состоит в требовании определить, при каких значениях неизвестных данное уравнение обращается в тождество. ↑
Не исключаются, конечно, и процедуры смешанного типа. ↑
В. И. Ленин. Полное собрание сочинений, т. 29, стр. 172. ↑
См.: «Вычислительные машины и мышление». М., 1967, стр. 117. ↑
Так, например, известная формула корней квадратного уравнения определяет некоторую вполне рациональную тактику поиска ответа на вопрос, при каких значениях неизвестных уравнение данного типа обращается в тождество. ↑
Этот вопрос специально рассматривается в следующем параграфе. ↑
Психологически внезапно появившаяся «идея решения» и есть то, что обычно называют «блестящей мыслью». ↑
См.: Д. Пойа. Математическое открытие, стр. 46—49. ↑
Метод продвижения от конца к началу Д. Пойа называет также сопоставлением плана в обратном направлении и замечает, что уже древние в этом случае употребляли слово «анализ». Идею метода продвижения от конца к началу Д. Пойа приписывает александрийскому математику Паппу (около III в. н. э.). См.: Д. Пойа. Математическое открытие, стр. 206. ↑
Для связи с первоначальной задачей напоминаем, что h является первой буквой в английском слове head (голова), а f — в английском слове foot (нога). ↑
Цит. по кн.: «Избранные труды русских логиков XIX века». М., 1956, стр. 5. Еще в XIX веке взгляды Д. С. Милля критиковал М. И. Карийский. См. там же, стр. 34. ↑
R. Carnap. The Logical Syntax of Language. N. Y., 1937, p. 176. Критику этой концепции см.: П. В. Гаванец. О так называемом тавтологическом характере логики. — «Вопросы философии», 1957, №2. ↑
Заметим, что в противном случае пришлось бы считать, что значительная область математического творчества сводится к выявлению уже известного. ↑
Лучше даже сказать изобретаем. ↑
Иногда, главным образом в обычной речи, выводом называют следствие, или заключение, логического вывода в разъясненном выше смысле. ↑
И, конечно (в силу транзитивности отношения логической выводимости), множество следствий из Z является частью, или подмножеством, множества следствий из Г. ↑
Будь то недвусмысленное заявление, что дедукция не дает нового знания, или же более осторожное мнение, что дедукция дает лишь по форме, а не по содержанию новое знание. ↑
Например, из аксиом какой-либо теории, скажем арифметики или геометрии. ↑
В. И. Ленин. Полное собрание сочинений, т. 18, стр. 102. ↑
К. Маркс и Ф. Энгельс. Сочинения, т. 20, стр. 138. ↑
Д. Пойа. Как решать задачу. М., 1959, стр. 200. ↑
Ср.: О. Ф. Серебрянников. Эвристические принципы и логические исчисления. М., 1970. ↑
См.: Д. Пойа. Математическое открытие, стр. 148. ↑
См.: И. Лакатос. Доказательства и опровержения. М., 1967. ↑
Иногда легче бывает доказать более общее утверждение, чем его частный случай. ↑
Называемого также доказательством от противного. ↑
Натуральные исчисления были изобретены независимо друг от друга С. Яськовским и Г. Генценом. ↑
Г. Генцен. Исследование логических выводов, — «Математическая теория логического вывода». М., 1967, стр. 10. ↑
См.: D. Prawitz. Natural Deduction. Stockholm, 1965; О. Ф. Серебрянников. Нормальные формы логических доказательств и проблемы теоретической эвристики. — «Вопросы гносеологии, методологии и логики научного исследования», вып. 3. Л., 1972. ↑
Выражаясь точнее, тезис чисто логического доказательства можно отождествить с теоремой узкого исчисления предикатов или выразить в виде результата подстановки в эту теорему. ↑
См.: О. Ф. Серебрянников. Эвристические принципы и логические исчисления. М., 1970. ↑
Д. Пойа. Как решать задачу, стр. 44—45. ↑
А. И. Уемов. Основные формы и правила выводов по аналогии. — «Проблемы логики научного познания». М., 1964, стр. 250—293; он же. Аналогия в практике научного исследования. М., 1970. ↑
Не исключается, конечно, случай, когда каждая из рассматриваемых областей содержит по одному предмету. ↑
См.: Д. Пойа. Как решать задачу, стр. 45. ↑
Аристотель. Аналитики. М., 1952, стр. 169—170. (Первая аналитика, книга II, глава 24). ↑
Дальнейшие сведения по этому вопросу читатель сможет найти в работах: А. И. Уемов. О некоторых принципах нелинейного обобщения понятия физического подобия. — «Доклады V межвузовской конференции по физическому моделированию. Секция: Общие вопросы моделирования». М., 1968; он же. Логические основы метода моделирования. М., 1971. ↑
См.: А. И. Уемов. Индукция и аналогия. Иваново, 1956; он же. Основные формы и правила выводов по аналогии. — «Проблемы логики научного познания», стр. 250—293. ↑
С логической точки зрения предикаты — это свойства и отношения. ↑
Так как произведение двух отрицательных чисел положительно, то в множестве отрицательных чисел не найдется числа, равного произведению каких-либо его элементов. ↑
Или гомоморфны. Понятие гомоморфизма является более общим, чем понятие изоморфизма. Для гомоморфизма не требуется, чтобы однозначное отношение между сопоставляемыми множествами было взаимным. ↑
См.: A. Mastowski. Logika matematiczna. Warszawa — Wroclaw, 1948, str. 199—200. См. также К. Куратовский и А. Мостовский. Теория множеств. М., 1970, стр. 91—92. ↑
Высказывания называются эквивалентными, если они одновременно истинны или одновременно ложны. ↑
Доказательство см. «Проблемы логики научного познания», стр. 283—285. ↑