Синтез физики и геометрии и проблема статуса физической геометрии

Интеграционные процессы в современной науке приводят к возникновению таких форм знания, которые более адекватно отражают объективную реальность.

Но вместе с тем процесс выработки целостного знания усложняет отношения отдельных его элементов к объекту исследования. Яркой иллюстрацией этого является синтез физики и геометрии, поставивший проблему объективного содержания физической геометрии. В данной статье нас будет интересовать следующий вопрос: не является ли неизбежным следствием интеграционных процессов утрата возможности эмпирической проверки геометрии и ее конвенционалистская трактовка?

Известно, что хотя евклидова геометрия возникла на основе физических опытов с твердыми телами, используемыми в качестве эталонов измерения длин, площадей и т. п., уже на ранних ступенях своего развития она резко обособилась от формирующегося физического знания. Этому в значительной степени способствовал дедуктивный метод построения геометрии. Возможность получения всех положений геометрии в качестве следствий из небольшого числа постулатов создавала видимость независимости геометрии от каких бы то ни было физических опытов и теоретических систем, исследующих реальный, физический мир. Это обстоятельство в сочетании с тем, что евклидова геометрия была в течение длительного времени единственно известной ученым, явилось предпосылкой априористского ее понимания, столь характерного для философии И. Канта.

Однако еще в период формирования физики как теоретической науки, между пен и геометрией начинают складываться отношения связи. Физические законы предполагают определенные геометрические представлений б реальном пространстве, в котором протекают физические процессы. Поэтому вполне понятно, что для того, чтобы сформулировать физические законы, необходимо с самого начала задать геометрию. Объединение физических законов Ф и геометрии Г в единую систему Г&Ф позволило, хотя и косвенным образом, связать евклидову геометрию с физическим опытом. Те опытные факты, которые указывали на справедливость физических законов, например законов ньютоновской механики, одновременно являлись и эмпирическим базисом евклидовой геометрии.

В рамках этой первоначальной формы синтеза физики и геометрии вопрос об объективном содержании геометрии не приобрел проблематичного характера. Отношения геометрии как концептуальной системы к реальному пространству здесь имели совершенно прозрачный характер и рассматривались как отношения однозначного теоретического воспроизведения геометрической структуры реального пространства. Картина отношения геометрии к реальному миру существенно изменилась с открытием неевклидовых геометрий. Следствием этого открытия явился вопрос о том, в каком отношении геометрии находятся к реальному миру, какая из возможных геометрий реализуется в природе.

Вопрос о геометрии реального пространства оказался связанным с вопросом о взаимоотношении между геометрией и физикой. Первым, кто обратил на это внимание, был А. Пуанкаре. По мнению Пуанкаре, мы всегда можем сохранить любую априорную геометрию, например, евклидову, если даже она противоречит наблюдаемым фактам, за счет соответствующего изменения физических законов.

Свою мысль Пуанкаре проиллюстрировал на следующем примере. Известно, что физическим аналогом прямых в геометрии являются световые лучи. Представим себе, что траектория луча света отклоняется от евклидовой прямой. Мы можем скорректировать нашу теоретическую систему Ф&Г двояким образом. Во-первых, мы можем допустить, что классическая оптика, требующая экстремальности траектории светового луча, справедлива, но геометрия пространства неевклидова и поэтому траектория светового луча соответствует геодезической «искривленного» пространства. Во-вторых, мы можем сохранить евклидову геометрию, допустив существование сил, которые отклоняют луч света от прямолинейного пути. Это допущение приводит к соответствующему изменению оптики, а именно к отказу от принципа экстремальности траектории светового луча.

Оба вышеизложенных описания являются, по мнению Пуанкаре, эквивалентными. Однако второе, с его точки зрения, является более предпочтительным, так как оно сохраняет наиболее простую и удобную из всех геометрий — евклидову геометрию.

Ситуация, описанная Пуанкаре, логически может быть представлена следующим образом. Обозначим евклидову геометрию Г, законы классической оптики Ф, неевклидову геометрию и законы оптики, скорректированные с учетом действия на траекторию светового луча некоторых сил, соответственно Г’ и Ф’, выводы относительного опыта, вытекающие из Г&Ф — О, а действительно наблюдаемые опытные данные О’. Тогда противоречие классической системы Г&Ф наблюдаемым в опыте фактам искривления светового луча может быть представлено

(Г&Ф → О)&О’.

Это противоречие может быть устранено двумя путями

(Г’&Ф → О’)&О’ и (Г&Ф’ → О’)&О’.

Оба эти пути, с точки зрения Пуанкаре, эквивалентны, что означает эквивалентность Г’&Ф и Г&Ф’.

Из возможности дуального описания искривления траектории светового луча Пуанкаре сделал конвенционалистские выводы как в отношении физической геометрии, так и физических законов. По его мнению, и то и другое суть свободные творения ума, некие условности, не имеющие реального эквивалента во внешнем мире. Однако отвергая эту субъективно-идеалистическую трактовку геометрии и физики, нельзя не отметить, по крайней мере, формальную возможность дуального описания вышеупомянутого факта. Возникает вопрос: на чем основана эта дуальность и каковы границы ее применимости?

Эквивалентность Г’&Ф ~ Г&Ф’ может быть интерпретирована следующим образом. Она имеет характер не логической истины, а истины эмпирической. Причем она является истиной только относительно фиксированного эмпирического факта О’. Выполнимость этой эквивалентности равнозначна выполнимости двух условий —

(ꓱГ’) (Г’&Ф → О’)&О’ и (ꓱФ’) (Г&Ф’ → О’)&О’.

Каждое из этих условий можно рассматривать как выражение невозможности сепаратной эмпирической проверки соответственно физики и геометрии перед лицом фактов, противоречащих теоретической системе Г&Ф. Это указывает на связность физической геометрии и законов физики.

Идея связи составных элементов физического знания в ее наиболее радикальной форме была высказана в свое время Дюгемом. В своей книге «Физическая теория, ее цель и строение» он писал: «Физическая наука есть система, которую приходится брать целиком: это организм, и не может какая-либо часть функционировать без того, чтобы не стали функционировать самые отдаленные другие части, одни более, другие менее, по непременно все в той или другой степени»^[1]. Из системного характера физики, по мнению Дюгема, следует невозможность сепаратной фальсификации изолированных гипотез. Если традиция считала, что процедура фальсификации научной теории является более определенной, нежели чем процедура ее подтверждения, то Дюгем, ссылаясь на системный характер физики, решительно высказался против возможности сепаратной фальсификации физических гипотез. Он утверждал: «Физик никогда не может подвергнуть контролю опыта какую-нибудь гипотезу в отдельности, а всегда только целую группу гипотез. Когда опыт оказывается в противоречии с предсказаниями, то он может сделать лишь один вывод, а именно то, что по меньшей мере одна из этих гипотез неприменима и должна быть видоизменена. Но он не может еще заключить какая именно гипотеза неверна»^[2].

Следствием этой связности компонентов физической теории является, по мнению Дюгема, то, что исследователь при желании может сохранить любую проверяемую физическую гипотезу, даже в том случае, если она находится в очевидном противоречии с данными опыта. Это достигается посредством корректировки других компонентов физической теории, дополняющих данную гипотезу.

Корректировка физических гипотез, осуществляемая во имя сохранения данной гипотезы, производится не пряко, а косвенно. Она обычно является следствием корректировки отношения проверяемой гипотезы к вышеизложенным эмпирическим фактам. Дюгем утверждал, что физические гипотезы могут быть при желании переведены из утверждений об опытных данных в логические дефиниции за счет допущений, сделанных в отношении этих опытных данных. Например, галилеев закон свободного падения, с его точки зрения, неопровержим, так как мы всегда можем считать его определением свободного падения. В том случае, если бы мы обнаружили факты, противоречащие этому закону, мы могли бы сказать, что эти факты характеризуют несвободное падение. В последнем случае теория должна быть скорректирована таким образом, чтобы учитывать факторы, обусловливающие отклонение эмпирического закона падения от галилеева.

Рассуждения Пуанкаре относительно эквивалентности Г’&Ф и Г&Ф’ и возможности сохранить евклидову геометрию перед лицом любых опытных фактов можно рассматривать как следствие дюгемианского холизма. Это, между прочим, подтверждается самим Пуанкаре. Пуанкаре проводит различие между принципами и законами, аналогичное различию между логическими дефинициями и фактуальными утверждениями Дюгема. Мы можем, утверждает он, в некоторых случаях превратить закон, отвергаемый опытом, в принцип за счет изменений их отношения к фактам. Пусть первоначальный закон, противоречащий опыту, выражал соотношение между голыми (т. е. неинтерпретированными) фактами А и В. Мы можем ввести «промежуточный отвлеченный факт С, более или менее фиктивный»^[3]. Тогда, продолжает Пуанкаре, мы получаем «соотношение между А и С, которое мы можем считать строго точным и которое есть принцип; и другое между С и В, которое остается законом, подлежащим пересмотру»^[4]. Указанная процедура, по мнению Пуанкаре, применима не только к физическим гипотезам, но и к физической геометрии. Причем в последнем случае роль «отвлеченного» факта играют силы, искривляющие траекторию светового луча.

Конвенционалистская трактовка статуса физической геометрии возникла на почве реальных трудностей проверки физической геометрии, связанных с системным характером физики, с тем что эмпирические данные, приводимые «за» и «против», являются не «голыми», а «научными» фактами, т. е. предполагающими некоторую интерпретационную теорию. Для преодоления конвенционализма необходима выработка критериев, которые позволили бы выявить из ряда логически возможных геометрий такую, которая обладала бы статусом не только «формальной», но и «материальной» истины. Для осмысления путей преодоления конвенционализма целесообразно критически рассмотреть программу эмпиризма.

В противоположность конвенционализму Дюгема, с которым солидаризировался Пуанкаре, эмпиризм провозглашает принцип сепаратной эмпирической проверки геометрического ингредиента физического знания. Логика эмпиризма выглядит так. Если дюгемианский принцип целостности знания ведет к конвенционалистской трактовке компонентов этого знания, то для преодоления конвенционализма необходимо потребовать сепаратную эмпирическую проверку отдельных компонентов, в данном случае геометрии.

Одним из наиболее последовательных приверженцев этого принципа был Г. Рейхенбах. С точки зрения Рейхенбаха, парадокс конвенциональности физической геометрии возникает вследствие того, что мы не связываем чистую геометрию с опытом посредством так называемых координативных дефиниций. Сама по себе чистая, т. е. не интерпретированная па объектах опыта, геометрия ничего не утверждает о реальном мире и эмпирически не истинна и не ложна. Она становится таковой только при наличии эмпирической интерпретации, осуществляемой посредством координативных дефиниций.

Точка зрения Рейхенбаха не лишена определенных оснований. Известно, что абстрактное математическое пространство может быть описано на языке различных метрических геометрий. Например, обычная сфера и псевдосфера могут рассматриваться не только как объекты евклидовой геометрии, по и как модели двухмерных пространств отрицательной и положительной кривизны, реализующих соответственно геометрию Лобачевского и Римана. Вопрос о том, какова пстппная геометрия этих объектов, сам по себе не имеет смысла. Оп приобретает смысл только после того, как мы примем определенные правила конгруэнтности, правила, определяющие равенство несовпадающих отрезков и углов. При этом может оказаться, что по отношению к различным правилам конгруэнтности одно и то же пространство имеет различную геометрию.

По мнению Рейхенбаха, метрическая аморфность характерна не только для абстрактного математического пространства, но и для физического пространства. Для того чтобы определить характер геометрии физического пространства, необходимо выбрать реальное определение конгруэнтности, которым можно было бы пользоваться в опыте. Таким определением, или, как его называет Рейхенбах, координативной дефиницией, может служить твердый стержень. Если мы примем его определение, то, производя реальные измерения, мы можем чисто опытным путем установить характер геометрии пространства.

Рейхенбах выступает с критикой конвенционализма Пуанкаре. Он пишет: «Согласно этой теории вопрос о геометрии есть вопрос конвенции, и положениям геометрии нельзя приписать никакого эмпирического значения. Это верно, что физическое пространство может быть описано как евклидовой, так и неевклидовой геометриями. Однако мысль о том, что предложения о геометрической структуре физического пространства являются бессодержательными, представляет собой ошибочную интерпретацию относительности геометрии. Выбор геометрии произволен только до тех пор, пока не определена дефиниция конгруэнтности. Как только эта дефиниция определена, вопрос о том, какова геометрия физического пространства, получает эмпирическое значение»^[5].

Идея сепаратной проверки геометрии, казалось бы, действительно приводит к устранению дополнительности физики и геометрии в смысле Дюгема и Пуанкаре и к преодолению конвенционалистской трактовки геометрии. Однако в действительности она оказывается неудовлетворительной, во-первых, потому, что она практически неосуществима, и, во-вторых, потому, что она не преодолевает конвенционализм, а лишь заменяет одну его форму другой.

Прежде всего следует отметить, что реальная, фактически выполненная процедура измерения посредством практически твердых тел не может привести к подтверждению любой геометрии, за исключением евклидовой. В земных условиях, которые являются бесконечно малыми по сравнению с космическими, любая геометрия мира переходит в евклидову. Поэтому можно говорить лишь об идеализированной процедуре измерения, которая осуществляется идеальными твердыми телами в теоретически постулируемом пространстве. Эта процедура весьма далека от реальных опытов.

Отстаивая идею сепаратной эмпирической проверки геометрии, сторонники эмпиризма пытаются опереться на авторитеты Гельмгольца, который первым указал на возможность эмпирической проверки геометрии путем измерений, осуществляемых при помощи твердых тел, и Эйнштейна, использовавшего идею твердых тел для введения в физику неевклидовых геометрий. Однако эти попытки неосновательны. Гельмгольц, например, отмечая связь евклидовой геометрии с кинематикой твердых тел, писал: «Впрочем, вовсе не моя цель утверждать, что человечество добыло пространственные интуиции, соответствующие аксиомам Евклида, лишь через посредство тщательно выполненных систем точных геометрических измерений. Скорее ряд обыденных опытов, особенно созерцание геометрического подобия больших и малых тел — подобия, возможного лишь в «плоском» пространстве, привело к тому, что каждое геометрическое созерцание, которое противоречило этому факту, отбрасывалось как невозможное»^[6]. Кроме того, по его мнению, сами по себе опыты с твердыми телами вообще не дают оснований для выбора геометрии. Они приобретают доказательную силу только в случае допущений физического характера. «Если мы присоединим к геометрическим аксиомам еще предложения, относящиеся к инерции, или предложение, что механические и физические свойства при прочих равных условиях не могут зависеть от места, занимаемого телом, тогда система приобретает действительное содержание, которое может быть подтверждено или опровергнуто опытом»^[7].

При создании общей теории относительности Эйнштейн действительно воспользовался абстракцией твердого тела. Эта абстракция помогла ему сформулировать общую теорию относительности как результат обобщения специальной теории относительности и показать неизбежность возникновения неевклидовости пространства в случае присутствия в нем гравитационного поля. Допустим, рассуждал Эйнштейн, имеются два круга, один из которых неподвижен, а другой вращается вокруг общей их оси. Если мы уложим вдоль диаметра и внешней окружности вращающегося круга твердые стержни, то заметим, что стержни окружности будут испытывать лоренцево сокращение по отношению к внешнему наблюдателю, тогда как стержни диаметра останутся неизменными. Отношение диаметра к длине окружности в данном случае будет отличаться от л, что свидетельствует о неевклидовости пространства неинерциальной (вращающейся) системы. В силу принципа эквивалентности неевклидовость должна быть приписана гравитационному полю.

Может показаться, что Эйнштейн демонстрирует здесь возможность сепаратной эмпирической проверки геометрии. Но в действительности никакой сепаратной эмпирической проверки здесь нет, ибо, во-первых, приведенный эксперимент является идеализированным и, во-вторых, для вывода о неевклидовости пространства неинерциальной системы в данном случае существенно используются физические соображения (преобразования Лоренца). Что же касается реальных опытов, производимых с твердыми телами, то последние, по мнению Эйнштейна, не могут решить проблемы сепаратной эмпирической проверки геометрии. Имея в виду это обстоятельство, Эйнштейн писал: «Тонкость попятил пространства возросла с открытием того, что абсолютно твердых тел не существует. Все тела являются упруго деформируемыми и изменяют свой объем с изменением температуры. Поэтому структуры, возможные расположения которых должны описываться евклидовой геометрией, не могут быть оторваны от физических понятий. Но так как физика при установлении своих понятий в конце концов должна использовать геометрию, то эмпирическое содержание геометрии может быть сформулировано и проверено на опыте только в рамках всей физики»^[8].

Противопоставляя идею сепаратной проверки геометрий дюгемианскому конвенционализму, сторонники эмпиризма, вообще говоря, настаивают не на ниспровержении конвенционализма как такового, а лишь на изменении его формы. Поскольку геометрия пространства зависит от выбора координативной дефиниции конгруэнтности, а последняя является совершенно произвольной, то одно и то же физическое пространство может быть описано на языке различных метрических геометрий. При этом все описания будут эквивалентными.

Рейхенбах в связи с этим пишет: «Пусть, к примеру, является эмпирическим фактом то, что когда мы используем твердое тело в качестве определения конгруэнтности, наше физическое пространство в рамках земных измерении евклидово. Если в другой части Вселенной то же самое определение конгруэнтности привело бы к неевклидовой геометрии, то эта часть универсального пространства считалась бы отличной по своей геометрической структуре от нашего мира. Верно, что евклидова геометрия может быть введена и для этой части мира, но тогда дефиницией конгруэнтности не было бы более твердое тело»^[9].

Эту возможность различного геометрического описания одного и того же физического пространства на языке различных метрических геометрий в зависимости от выбора реального определения конгруэнтности Рейхенбах называет относительностью геометрии. Аналогичные взгляды на геометрию физического пространства развивает А. Грюн- баум в своей книге «Философские проблемы пространства и времени», именующий такой подход геохронометрическим конвенционализмом.

Основное отличие концепции Рейхенбаха и Грюнбаума от конвенционализма Дюгема и Пуанкаре состоит в том, что первая концепция считает геометрию эмпирически проверяемой при условии выбора дефиниции конгруэнтности, тогда как вторая отрицает эту возможность. Но обе они сходятся в отрицании объективного статуса геометрии, в возможности определять геометрию посредством одних условных соглашений. Парадоксальность данной ситуаций состоит в том, что здесь обнаруживается условность различий двух, казалось бы, противоположных гносеологических концепций — эмпиризма и априоризма. Крайности сходятся.

Таким образом, идея сепаратной проверки геометрического ингредиента не решает проблемы преодоления конвенциональной трактовки геометрии. И мы вновь возвращаемся к теоретической системе Г&Ф, в рамках которой геометрия связана с физикой.

На наш взгляд, проблема преодоления конвенциональной трактовки геометрии может быть решена совершенно другим путем, который не только не требует изоляции геометрии от физики, а, наоборот, предполагает связь между ними. Он основан на том, что при рассмотрении вопроса о геометрии физического пространства необходимо исходить из доминирующей роли физики по отношению к геометрии.

Следует различать две ситуации, в которых возникает проблема объективного статуса геометрического ингредиента теоретической системы Г&Ф. Первая состоит в том, что имеется Г&Ф, которая соответствует наблюдаемым фактам. Однако все же оказывается возможным заменить геометрию Г на Г’, причем таким образом, что Г’&Ф’ (где Ф’— законы Ф, скорректированные на основе новой геометрии Г’) описывают те же самые факты. Вторая ситуация характеризуется тем, что система Г&Ф противоречит некоторым фактам. При этом оказывается возможным скорректировать ее двумя путями — сохранить Г, изменив Ф, или, наоборот, изменить Г, сохранив Ф.

Суть первой ситуации можно было бы проиллюстрировать на примере евклидовой геометрии и ньютоновой механики, рассматриваемых в пределах тех опытов, которые их подтверждают. Можем ли мы в этом случае заменить евклидово описание пространства неевклидовым? Формально да. Но в этом случае окажется, что законы ньютоновой механики, которые сформулированы с учетом евклидовой геометрии, уже неверны.

Для описания фактов, относящихся к нашему опыту, мы уже не можем воспользоваться этими законами. Например, наблюдаемое равномерное прямолинейное движение тел не будет описываться законом инерции, так как в неевклидовом пространстве оно отклоняется от геодезических этого пространства. Эмпирически наблюдаемое свободное падение тел в рамках нового геометрического описания не будет свободным и т. д. Для того чтобы привести в соответствие с наблюдаемыми фактами физические законы, оказывается необходимым скорректировать последние с учетом тех фиктивных сил, которые обязаны своим появлением необычной геометрии.

Новая система Г’&Ф’, полученная за счет изменения Г&Ф, будет, конечно, описывать все факты нашего опыта. Но в рамках этой системы физический ингредиент будет включать ad hoc введенные фиктивные силы, которые существенно усложнят его. Поэтому, с точки зрения простоты описания, мы, несмотря па эмпирическую эквивалентность Г&Ф и Г’&Ф’, всегда отдадим предпочтение Г&Ф.

Однако дело не просто в формальной простоте. То, что в данном случае выступает в качестве простоты, имеет под собой объективные основания. Законы физической науки — это не просто теоретические схемы, приводящие в систему данные опыта, а теоретические конструкции, отражающие объективные законы природы. Поэтому вполне правомерно говорить, что одна теоретическая конструкция может быть адекватнее другой. Это проявляется в ее простоте, в эвристичности и в целом ряде других ее свойств. С точки зрения этих критериев мы можем сказать, что в рассматриваемом примере Г &Ф является более адекватным, чем Г’&Ф’.

Таким образом, в рамках теоретического целого можно выделить привилегированную физическую геометрию. Причем вывод о привилегированности геометрии основывается не на особенностях самой геометрии, а на свойствах физического ингредиента теории. Это вполне соответствует материалистической концепции физического закона, а также общему материалистическому взгляду на природу, согласно которому пространство является не каким-то самостоятельным началом, а лишь стороной физического мира, связанной с его законами.

Другая ситуация, состоящая в том, что Г&Ф противоречит некоему эмпирическому факту, например факту искривления траектории светового луча, была рассмотрена Пуанкаре. Для преодоления этого противоречия необходимо заменить Г&Ф новой теоретической системой, которая фактуально отличается от исходной. Это достигается, как уже отмечалось, двумя путями — изменением геометрии при сохранении физики и изменением физического ингредиента при сохранении евклидовой геометрии. Различие между Г’&Ф и Г&Ф’ может быть интерпретировано двояким образом. Их можно рассматривать как две содержательно и фактуально различные теории. Па- пример, первую можно рассматривать как общую теорию относительности, которая сохраняет принцип распространения света по наикратчайшему пути, но меняет евклидово описание пространства на неевклидово. В таком случае Г&Ф’ могла бы быть интерпретирована как один из возможных вариантов релятивистской теории гравитации в плоском пространстве, допускающий искривление светового луча, вследствие действия на него гравитационного поля. Указанные теории эквивалентны только относительно фиксированного круга фактов, включающего в себя факт искривления траектории светового луча в гравитационном поле. Однако они, вообще говоря, различны, причем их различие сводится не к выбору определений конгруэнтности, а затрагивает исходные принципы этих теорий и область их применимости.

Различие между Г’&Ф и Г&Ф’ в примере Пуанкаре иногда истолковывается следующим образом. Перед лицом противоречащего — эмпирического факта Г&Ф заменяется одной из новых теорий, учитывающих этот факт, например, общей теорией относительности — Г’&Ф. Затем мы заменяем в теоретической системе Г’&Ф неевклидову геометрию евклидовой геометрией путем изменения определения конгруэнтности и соответствующим образом корректируем физический ингредиент Ф. Полученная система Г&Ф’ будет отличаться от Г’&Ф тем же, чем отличается уже рассмотренная система Г’&Ф’ от Г&Ф, а именно, усложненностью физического ингредиента, который должен учитывать универсальные силы, обусловленные выбором необычного определения конгруэнтности.

Следует отдавать себе отчет в различии системы Г&Ф’, полученной из Г&Ф и Г&Ф’, полученной из Г’&Ф. Обозначим первую (Г&Ф’)’, а вторую (Г&Ф’)». Дело в том, что (Г&Ф’)’ и (Г&Ф’)» являются различными теориями. (Г&Ф’)’ — это, как уже отмечалось, один из возможных вариантов релятивистской теории гравитации в плоском пространстве, а (Г&Ф’)»— общая теория относительности, сформулированная с учетом выбора необычного определения конгруэнтности.

Может возникнуть вопрос: что понимал в своем примере Пуанкаре под Г&Ф’—(Г&Ф’)’ или (Г&Ф’)»? На этот вопрос ответить крайне трудно, так как приведенные рассуждения Пуанкаре относятся к тому времени, когда пе были известны ни теория относительности, ни релятивистская теория гравитации в плоском пространстве. По мнению Грюнбаума, Пуанкаре подразумевал под Г&Ф’— (Г&Ф’) Однако это очень сильное утверждение, ибо оно предполагает, что Пуанкаре уже владел общей теорией относительности (до создания Эйнштейном специальной теории относительности) и ставил вопрос о возможности ее переформулировки в соответствии с различными определениями конгруэнтности.

На наш взгляд, точку зрения Пуанкаре можно интерпретировать иначе. А именно, согласно ей, существует возможность двух путей развития теории — путем изменения или физического, или геометрического ее ингредиентов. Разумеется, в то время, когда Пуанкаре говорил об этих возможностях, он не мог судить о том, в какие конкретные теории они воплотятся, тем более что сам факт искривления светового луча рассматривался всего лишь как некоторая и весьма мало правдоподобная логическая возможность.

Таким образом, проблема физической геометрии, ее выбора всегда ставится не изолированно от теории, а в рамках определенных физических теорий. При этом абсолютный конвенционализм не проходит, поскольку всегда остается возможность выбора привилегированной геометрии в рамках данной теории и возможность выбора геометрии, соответствующей одной из нескольких теорий, которая эмпирически более обоснована, обладает большей простотой и эвристичностью.

Надо заметить, что в рамках классической физики переход от Г&Ф к Г’&Ф’ проходит значительно свободнее, чем это наблюдается в общей теории относительности. Это объясняется тем, что классическая физика проводит резкое различие между пространством, с одной стороны, и физическим субстратом — с другой. Пространство, которое рассматривается здесь как непрерывная и метрически аморфная субстанция, действительно лишено внутренне присущей ему геометрии. Поэтому привилегированная геометрия, в данном случае, выявляется путем выбора наиболее простой формы физических законов, исключающей фиктивные универсальные силы.

Иная картина наблюдается в общей теории относительности. Общая теория относительности, в отличие от классической физики, принимает не субстанциональную, а полевую концепцию пространства, согласно которой пространство (точнее, пространство-время) является не самостоятельной сущностью, а аспектом гравитационного поля. В рамках этой концепции достигается более высокий синтез геометрии и физики. Геометрия перестает быть лишь дополнением физики. Она, по существу, совпадает с физикой гравитационного поля.

Совпадение геометрии с физикой гравитационного поля следует из уравнения общей теории относительности:

Находящийся в левой части уравнения так называемый тензор Эйнштейна описывает структуру гравитационного поля и вместе с тем геометрию пространства-времени. Такое совпадение геометрии и физики достигается тем, что функции g_ik, через которые выражается тензор кривизны R_ik и его скаляр R, рассматриваются как геометрические величины и одновременно как величины, характеризующие гравитационное поле.

Хотя формально геохрометрические конвенции ио запрещены и в общей теории относительности, здесь далеко не всем геометриям соответствует реальное пространство, совпадающее с реальным гравитационным полем, которое создается распределением материальных масс. Геометрия пространства, с точки зрения общей теории относительности, имеет, таким образом, объективный характер. Ее объективность есть объективность «истинного» гравитационного поля.

Хотя, с точки зрения теории относительности, структура пространства имеет объективный характер, ее объективность не исключает и относительности геометрии. В связи с этим целесообразно отметить различие относительности геометрии в смысле Рейхенбаха и в смысле общей теории относительности.

Выше уже отмечалось, что Рейхенбах допускал относительность геометрии пространства. Однако, несмотря на рациональные моменты, имеющиеся в его концепции, в целом она неудовлетворительна. Во-первых, Рейхенбах рассматривал относительность геометрии как результат сепаратной эмпирической проверки геометрических гипотез. Во-вторых, он трактовал относительность геометрии в узко операционалистском смысле, лишая ее, — по существу, объективного содержания. «Слово «относительность», — пишет он,— должно быть интерпретировано так, чтобы оно означало «относительность к определенной дефинициаль- ной системе». Что относительность множественна, следует из того, что изменения дефиниции ведут к некоторому числу равноценных описаний. Но мы видим, что эта множественность не относится к различным взглядам или к системам с противоречащим содержанием. Она является лишь множественностью равноценных языков, следовательно, форм выражения, которые не противоречат друг другу, но имеют равное содержание. Относительность не означает отрицания истины. Ее смысл лишь в том, что истина может быть выражена различными способами»^[10]. При таком изложении идеи относительности геометрии онтологический аспект остается в тени, и сама формулировка этой идеи становится трудно отличимой от провозглашаемой геохронометрическим конвенционализмом идеи эквивалентности описаний пространства средствами различных метрических геометрий.

В общей теории относительности находит место совершенно другой тип относительности геометрии — относительность геометрии к различным системам отсчета. На первый взгляд может показаться, что эта идея противоречит важнейшим положениям геометрии. Известно, что кривизна пространства, обусловливающая тип геометрии, является инвариантом. Об этом свидетельствует то, что величины, характеризующие ее, имеют тензорный характер (тензор кривизны). Однако отмеченное обстоятельство все же не исключает возможности установления не инвариантности геометрии. Действительно, геометрия инвариантна при переходе от одной системы отсчета к другой только в том случае, если при этом не изменяется определение конгруэнтности. Если же переход от одной системы отсчета к другой влечет за собой изменение измерительных эталонов, то тогда принцип инвариантности геометрии уже не выполняется. Такие системы отсчета называются деформирующимися.

Общая теория относительности в ее космологических приложениях обычно принимает идею абсолютности геометрии. Введение такой геометрии оказывается возможным тогда, когда существует привилегированная система отсчета. Такой системой отсчета считается сопутствующая. Существование привилегированной системы отсчета для однородных и изотропных моделей позволяет говорить не только об объективности, но и об абсолютности геометрии пространства этих моделей. Однако, с точки зрения общей теории относительности, логически допустимы ситуации, в которых привилегированной системы отсчета нет. Именно такая возможность рассматривается в релятивистских теориях неоднородной и анизотропной Вселенной. В этом случае имеет место объективная относительность геометрии пространства.

В заключение необходимо отметить, что решение проблемы геометрии пространства даже в том случае, если оно основано на данных опыта, не является окончательным, как это представляют себе эмпирики. Геометрия связана с фактами только через физическую теорию, а факты выступают как научные, а не как «голые», т. е. неинтерпретированные, факты. Поэтому относительная истинность физической теории, в рамках которой рассматривается геометрия, обусловливает и относительную истинность любого данного решения проблемы геометрии.

1. П. Дюгем. Физическая теория, ее цель и строение. СПб., 1910, стр. ,224. ↑
2. Там же. ↑
3. А. Пуанкаре. Ценность науки. М., 1906, стр. 168. ↑
4. Там же, стр. 168. ↑
5. H. Reichenbach. The philosophical Significance of the Theory of Relativity. «Albert Einstein: Philosopher — Scientist». Evanston, 1949, p. 297. ↑
6. Г. Гельмгольц. О происхождении и значении геометрических аксиом. СПб., 1895, стр. 53—54. ↑
7. Там же, стр. 52—53. ↑
8. А. Эйнштейн. Относительность и проблема пространства. — Собрание научных трудов, т. II. М., 1966, стр. 749. ↑
9. Н. Reichenbach. The philosophical Significance of the Theory of Relativity. «Albert Einstein: Philosopher — Scientist», p. 297. ↑
10. Н. Reichenbach. The philosophical Significance of the Theory of Relativity. «Albert Einstein: Philosopher — Scientist», p. 296. ↑