Физические основы геометрической кристаллографии

1. Кристаллы и кристаллография

Прекрасные кристаллы горного хрусталя привлекали внимание древних греческих философов лишь как иллюстрация пифагорейского положения о том, что числа, и в особенности небольшие, управляют миром и что лучше всего они проявляются в геометрии, которой подчинялась тогда вся математика. Двумя тысячами лет позднее наиболее идеальные природные кристаллы — снежинки и у Кеплера служили больше предметом восхищения и указанием на основную роль в природе математической гармонии — симметрии.

Лишь к началу XIX века совокупность сведений о кристаллах, собранных большей частью геологами и рудознатцами, вылилась в науку — кристаллографию, в которой имевшийся «экспериментальный материал», в основном кристаллы природных минералов, был систематизирован, «обработан» с точки зрения более или менее математически излагаемой гармонии—симметрии. В этом духе кристаллография развивалась на протяжении всего XIX века, и у одного из ведущих советских кристаллографов мы найдем утверждение о том, что кристаллография является самостоятельным разделом науки, наукой, поскольку обладает собственным специфическим «методом симметрии».

Идеи пифагорейской науки сказались в том, что в каждом из разделов, на которые разбились кристаллы в соответствии со степенью или, точнее, с математическим качеством своей симметрии, были выведены чисто «математически» «общие» формы кристаллов, которым подчиняются частные, вырожденные. Общие формы оказываются разнообразными, со множеством градаций и редко встречаются в природе, а если встречаются, то преимущественно в одной какой-либо градации, тогда как вырожденные наиболее просты и преобладают. Тем не менее погоня за максимальным числом если не самых общих, то более общих форм была характерна для чистой кристаллографии XIX и даже начала XX века, и весомость формуляра кристаллографа часто определялась числом новых форм, им установленных.

Математическая симметрия в кристаллографии отражена не полностью. Из пяти правильных — Платоновых — многогранников два (додекаэдр и икосаэдр) в кристаллографии невозможны. «Основной закон кристаллографии», сформулированный еще в самом начале XIX века, запрещает в кристаллах оси 5-го, 7-го, 8-го и выше порядков, несмотря на распространенность их в многочисленных орденских звездах и пьедесталах^[1].

Этот закон долгое время оставался в кристаллографии постулатом, подобным эвклидову. Как и этот последний, основной закон геометрической кристаллографии тесно связан с другим законом, из которого он может быть выведен (и обратно), но тогда этот второй закон становится постулатом: это закон рациональности индексов, закон целых чисел — закон Гаюи, предтеча основного химического закона целых чисел — закона Дальтона. Смысл обоих, как сказано, тесно связанных законов стал ясен, когда (сначала на той же дальтоновской «гипотезе атомного строения») создалась микрокристаллография, сразу ставшая кристаллографией дискретных частиц — дисконтинуум а г в котором основной объект симметрии— это решетка. Будучи сначала некоторой абстракцией, весьма необходимой, поскольку при ее помощи становились «кристально» ясными основные законы кристаллографии, решетка после открытия диффракции рентгеновых лучей сразу превратилась в реальность в том смысле, что для почти любого кристалла стало возможно фиксировать его полную геометрию, т. е. длины ребер элементарной петли и углы между ними. В таком прецизированном виде решетка оказалась полезной при выяснении вопроса, почему же обычно у кристалла имеется только небольшое число преимущественных форм, в частности именно простейших, вырожденных. Этот подход успешно конкурировал с кажущимся очевидным, но неспособным дать ничего конкретного принципом минимума поверхностной энергии, которому якобы подчинялись формы реальных кристаллов. Ряд неудач, к которому привел решеточный анализ (частоты) внешних форм кристалла, нашел свое объяснение тогда, когда стало ясным, что кристалл это не решетка, а лишь находится «в состоянии решетки», регулирующей расположение в химическом соединении, в кристалле, составляющих атомов, которое и ответственно за все особенности кристалла, внутренние и внешние.

Но когда за счет решеточного состояния кристаллов стало возможно, путем в основном рентгеноструктурного анализа, решать химические вопросы строения кристаллов, изучение последних этим методом и обобщение соответствующих результатов стало основной тематикой громадного большинства экспериментаторов, официально именующих себя кристаллографами и пишущих трактаты в основном по кристаллохимии. Внешним формам кристалла стало уделяться мало внимания и по другим причинам.

Рентгеновские методы показали, что огромное большинство твердых тел является кристаллами, но без четко выраженных внешних форм, особенно это относится к металлам. Тем самым сфера влияния кристаллографии, решеточных представлений необычайно расширилась, но без увеличения числа музейных кристаллов. Одновременно и в геологических науках также центр тяжести сместился в нахождение малых и средних количеств полезных ископаемых, наиболее часто с минимальными размерами и лишь с зачатками кристалличности в самых простых формах, различаемых лишь при больших увеличениях.

Тем не менее для рентгеновского аппарата это такие же интересные и обещающие кристаллы. Хорошо выраженные внешние формы анализируемых кристаллов желательны, облегчают первые шаги исследования, но его от начала и до конца можно проводить и на кристаллических обломках без всяких признаков охранения. Состояние депрессии, в котором оказалась макрокристаллография — кристаллография крупных монокристаллов, продолжалось недолго. Выше было сказано, что решеточное, т. е. кристаллическое, состояние химического соединения оказалось весьма удобным для химического же его анализа с помощью рентгенографии. Обратно, использование химического соединения в форме кристалла, крупного монокристалла стало основой многих важнейших разделов современной физики и ее технических применений, в особенности радиотехники и электроники. Большое число лабораторий всего мира занято сейчас выращиванием крупнейших — в несколько килограммов — монокристаллов, и формы и особенно детали этих форм играют основную роль в контроле процесса и даже в его управлении, поскольку это хронологическая запись процесса роста.

Подобный подход к формам и природных кристаллов как к отражающим историю формирования кристалла и, следовательно, воспроизводящим геологическую историю данной точки, региона земной коры, стал основным в современной геологии, в частности в минералогии и петрографии.

До некоторой степени занимательно, если даже не забавно, что такой исторический подход к формам кристаллов во многом упрощает содержание уже самих основ геометрической кристаллографии, которые раньше поражали и отвращали молодых людей множеством мало связанных друг с другом греческих терминов.

Изложению этой последней революции в кристаллографическом мышлении посвящены дальнейшие параграфы.

2. Индукция versus дедукция

Хорошо известен анекдот о чикагской скотобойне, на которой доставленная живая свинья незамедлительно втягивается в двери закрытого аппарата, и через соответствующий промежуток времени без вмешательства человеческих рук из другой двери того же аппарата выходят готовые отбивные, свинокопчености и пр. Однако для всякого трезвомыслящего понятно, что при всем совершенстве техники эти деликатесы не могут быть получены без живой свиньи.

Во многих случаях в науке, выражаясь фигурально, роль подобной техники берет на себя математика, которая, однако, не всегда согласна оставлять за собой роль вспомогательную. Так, долгое время физика считалась в подчинении у математики, пока принцип относительности не показал, что именно физика определяет тот сорт математики, которым нужно пользоваться, услуги которого желательны в различных участках физического пространства, и только эксперимент может зафиксировать, например, ту константу, которая лежит в основе соответствующей частной неэвклидовой геометрии и счастливо равна нулю в привычной эвклидовой.

Весьма сложная математика используется в коллоидной химии, науке, которая так сильна в изготовлении кремов, бланманже, аэрозолей и пр., но которую вряд ли кто-либо назвал бы отраслью математики. Тем не менее в некоторых «слабо защищающихся» науках нет должной оценки роли математики. Это, в частности, относится к кристаллографии, которая при исследовании внешней формы кристалла применяет большие порции, в конечном счете, достаточно элементарной математики, но, кроме того, там фигурируют азы теории групп, и именно кристаллография дает особенно наглядные иллюстрации к основам абстрактной теории групп, к понятиям коммутативности и некоммутативности элементов группы, к квадратам Кейли, группам Клейна и т. д. Как результат в виде благодарности некоторыми математиками пущено едкое выражение, что кристаллография — это грязно отработанный участок математики, в частности геометрии.

Эта острота могла быть безнаказанной тогда, когда наука о кристаллах была действительно лишь отвлеченным придатком к минералогии, но недопустима в наше время, когда кристаллография стала основой физики твердого тела и многочисленные природные и синтетические монокристаллы находят самые разнообразные применения в науке и технике. Но все же и теперь кристаллография несколько смущает умы впервые ее изучающих и кажется особо неприятной «математикой» благодаря неудобопроизносимым комбинациям из греческих слов, до сих пор украшающих кристаллографию.

Мне хочется показать, что это предубеждение, чувство антипатии есть следствие непродуманного использования математики, навязанной уверенности в том, что истинная наука о кристаллах невозможна без топорно математического — сугубо дедуктивного подхода. Действительно, поразительный факт, лежащий в основе кристаллографии, это то, что в природе вырастают, и наиболее часто без помощи человека, кристаллы, обладающие тройной, четверной и шестерной осью симметрии. Вообще говоря, оси симметрии не столь редкое явление, ибо пятерной симметрией характеризуется все семейство розоцветных: цветы розы, яблони, вишни, липы и многие другие, четверной — большое число из семейства крестоцветных. Точно так же пятерные оси четко выступают в кристаллоподобных вирусах и других объектах на переходе между неживым и живым миром. Но как раз основное положение кристаллографии гласит о запрещении оси пятого порядка и далее седьмого, восьмого и выше при широком распространении осей 3-го, 4-го, 6-го и особенно 2-го порядка.

Итак, в более или менее совершенных кристаллах хорошо выступает по меньшей мере одна из указанных осей, в соответствии с чем при искусственном выращивании кристаллов мы обычно получаем самые элементарные фигуры, характеризующиеся одной из указанных осей; при «старших» осях (порядка выше 2) это 3-, 4-, 6-гранные призмы или пирамиды. Последние часто имеют одинаковые «верх» и «низ», т. е. сдвоены зеркальной плоскостью или центром симметрии и превращаются в бипирамиды, ромбоэдры. Такие простейшие формы с осями характерны для синтетических кристаллов, но в природных минералах обычно на гранях простейших призм, пирамид и бипирамид вырастают двускатные крыши, и эти «усложненные» призмы и пирамиды мы называем дигексагональными призмами и пирамидами, дитетрагональными, дитригональными. Нарастающие крыши могут иметь неодинаковую степень наклона, и прежние кристаллографы с радостью отмечали эти наклоны разной крутизны и говорили о богатстве форм того или другого минерала, того или другого химического соединения (несколько сот у кальцита).

Подобно тому как для минералога основным критерием его реноме является число открытых и описанных им новых минералов, так и классический кристаллограф стал гордиться множеством установленных им новых форм у того или иного кристалла, т. е. числом крыш разной крутизны. У ученых-кристаллографов живо было убеждение, что случайность этого наклона — есть основное положение в кристаллографии и что поэтому описание возможных форм кристалла нужно начинать с так называемой общей формы, когда грань кристалла расположена случайно, произвольно по отношению к проходящим обычно через оси кристалла плоскостям или осям симметрии, которые и определяют образование крыш, другими словами, удвоение каждой грани призмы и пирамиды. Когда в кристалле вырастает чистая, без крыши, пирамида, то это считалось (и до сих пор считается) «вырожденным» случаем, частной формой. Дело обстоит сравнительно просто в случае кристаллов с одной только осью симметрии высокого порядка, например 4-го. Здесь общий случай — дитетрагональная пирамида, т. е. тетрагональная (квадратная), на каждой грани которой наросла крыша. Пирамида без крыши — частный, неудовлетворяющий общности квазиматематического подхода случай — вырождение. Хуже, запутаннее трактовка кристаллов самой богатой симметрии, т. е. кубических кристаллов. Любому школьнику хорошо известны простейшие фигуры — формы кубической («правильной») системы: куб, октаэдр и тетраэдр. И снова эксперимент учит, что при искусственном из чистых растворов выращивании кристаллов (например, прекрасно кристаллизующихся квасцов) мы получаем весьма совершенные октаэдры, точно так же как при выращивании кристаллов поваренной соли из чистых растворов сами собой рождаются не менее хорошо оформленные совершенные кубы, без всяких крыш, т. е. формы не общие, а вырожденные.

Открытие диффракции рентгеновских лучей на кристаллах, 50-летие которого мы недавно отпраздновали, необычайно обогатило кристаллографию: ей подчинились, оказались кристаллами не только самородные золото, серебро, медь, но и все разлитые по формам металлы и сплавы. Кристаллографическими формулами (100), (110), (111) наполнены описания всякого металлографического исследования. Однако в таких работах мы не найдем более сложных индексов, разговора об общих («с крышами») формах. В наиболее авторитетном для металлофизика изложении основ рентгеновского анализа Г. С. Жданова все же приводятся названия и формулы сложных кристаллографических форм, но нельзя не признать, что они в этой прекрасной книге кажутся по меньшей мере инконгруентными, не говоря о большом числе опечаток в соответствующих таблицах, по-видимому мало тревожащих и читателя и составителя «Основ».

Пожалуй, наибольшее впечатление на пишущего эти строки произвели слова одной из наших специалисток по выращиванию кристаллов кальцита (исландского шпата), о котором шла речь выше. Она жаловалась, что никогда ей не удавалось получить какую-либо другую форму, кроме классического ромбоэдра спайности, — при описываемых для кальцита нескольких стах форм. То же относится к так называемым отрицательным кристаллам аналога кальцита NaNO₃, представляющим собой пустоты внутри кристалла, которые в благоприятных условиях принимают форму ромбоэдра и только. Тем не менее традиция исходить из случайной формы заставляет авторов всех курсов кристаллографии считать кубы и октаэдры «вырожденными» фигурами, а начальными формами кубической системы принимаются кубы и октаэдры, увенчанные самыми сложными крышами. Чем сложнее, чем случайнее, тем лучше, и основной кубической формой признается куб, на каждой из шести граней которого выросла восьмискатная крыша, или октаэдр с восемью шестискатными крышами, и соответствующие формы с 48-ю гранями называются гексоктаэдрами, из которых последовательным «вырождением» получаются тетрагонтриоктаэдр, тригонтригексаэдр, ромбододекаэдр и т. д., покуда наконец в виде последней степени вырождения мы не приходим к октаэдрам и кубам, столь обычным в металлическах фазах, столь знакомым нам по кристаллам поваренной соли, квасцов, пирита, галенита.

Обращаемся к опыту, который показывает, что при искусственном выращивании незаменимых для оптических инструментов кристаллов кальцита (минералогическое название хороших кристаллов обычного мела) мы до сих пор не можем получить другой формы у двух головок, кроме чисто пирамидальной (совместно же эти две головки дают ромбоэдр), несмотря на то что минералоги- кристаллографы гордятся тем, что они в природных кальцитах наблюдали до 500 различного наклона двухскатных крыш на этих пирамидах. Точно так же в исключительных только случаях удается на выращиваемых кристаллах каменной (поваренной) соли увидеть какие-либо крыши. Наиболее совершенные, с точки зрения классической кристаллографии, кубы с полностью развитыми восьмискатными крышами (4✕2), т. е. 48-гранники (рис. 1), как правило, почти не встречаются в природе, и только изредка удается «засечь» их в эмбриональном виде на ребрах, у самых вершин, вообще говоря, весьма совершенных кубов плавикового шпата и, более редко, на гранатах.

Должно казаться достаточно очевидным заключение, что все эти крышеподобные образования на простейшей геометрической основе кристалла в значительной степени случайны, связаны с естественной немыслимостью образования природных кристаллов в достаточно чистых стандартных условиях. Меняющаяся обстановка — «среда», разные соседи (парагенез) — вызывает различные повороты крыши относительно основного квадрата, а также меняющуюся степень их наклона, но фундаментальной фигурой— формой кальцита всегда будет ромбоэдр, для каменной соли или пирита — куб, в случае квасцов — октаэдр, и эти две последние формы в чистом виде характерны для кубических металлов. Соответственно должно быть построено и описание кристаллических форм: не от наиболее сложной к вырожденной, но от простой и очевидной к случайным и заранее не предсказываемым осложнениям. Дедукция должна уступить место индукции.

В наиболее эффектной кубической системе основные формы это, конечно, куб, октаэдр и тетраэдр. Более глубокое изложение учения о формах начинается с констатации, что в различных природных условиях на гранях этих простейших форм могут вырасти разнообразные многоскатные крыши. Из сказанного о выращивании кристаллов в достаточно чистых условиях кажется очевидной причина образования пирамидальных крыш. Это стремление растущего кристалла освободиться от попадающих в него вместе с нужными для роста новыми порциями основного вещества также разнообразных примесей.

Если менее желательных ингредиентов, от которых нужно освободиться, много, то нарастает крыша с большим наклоном, если мало — с незначительным. По мере достаточного очищения от примесей рост крыши может прекратиться. Другими словами, наиболее четко проявляются только «низы» — стрехи крыши у самых ребер первоначально вырастающего куба или октаэдра (иногда эмбрионы), а в средней части граней куба (или октаэдра) мы обычно видим гладкую без крыши поверхность — грань основного куба (октаэдра, тетраэдра). Достаточно обычно имеет место постепенное уплощение граней, т. е. покуда примесей много, нарастает скат с большим наклоном, следующий — дальше от ребра основного куба (октаэдра) участок крыши — характеризуется меньшей покатостью. Иногда таких градаций наклона может быть до пяти^[2]. Это характерно, например, для кристаллов галенита или сернистого свинца (рис. 2). Примеси, от которых происходит если не освобождение кристалла, то вынос их в наружные области, могут быть и не материальными, а пустотами, пузырями, дислокациями. Механизм их ликвидации должен оставаться тем же^[3].

3. Кристаллографические формы кубической системы

Сейчас мы попробуем дать систематическое описание так называемых простых форм для более сложной кубической системы с ее 5 классами симметрии; изложение будет «индуктивным», т. е. мы будем исходить из самых простых и наиболее часто встречающихся форм куба, октаэдра и тетраэдра.

При пяти кристаллографических классах в кубической системе все же для представителя любого из них наиболее вероятными формами будут (в условиях чистых растворов) геометрически тождественные кубы, менее часты будут для трех классов геометрически тождественные октаэдры и для двух — тетраэдры. Эти факты — основные для кристаллографа и минералога, и также издавна выработаны приемы для определения точного кристаллографического класса поступающего на исследование кубического кристалла. Его нужно «потравить», обработать не очень энергично действующим раствором иногда сильной кислоты, иногда совершенно невинным. Тогда на гранях куба возникают фигуры травления, по которым истинная симметрия устанавливается вполне однозначно.

При образовании кристаллов в природных отнюдь не стандартных условиях, и к тому же меняющихся, тенденция к самоочищению приводит к появлению на простейших кубах, октаэдрах и тетраэдрах указанных крыш, которые также позволяют точно зафиксировать истинную симметрию кристаллов. Для фиксации симметрии достаточно одного эмбриона грани, довольно часто не уходящего далеко от ребра куба, октаэдра или тетраэдра.

Переходим к выводу форм кубической системы более сложных, чем элементарные куб, октаэдр и тетраэдр, т. е. к формам с «крышами». Последние в этих случаях будут уже не простыми двускатными крышами, образующимися на гранях n-гональной призмы или пирамиды, а четырехскатными и трехскатными. Четырехскатные крыши на грани куба могут быть ориентированы различным образом: в одном случае ребра крыши параллельны диагоналям квадратной грани куба, в другом ребра рассекают пополам стороны квадратных граней, и в третьем случае крыши ориентированы своими ребрами косо по отношению к грани куба.

Как показывает рис. ЗА, а, б, в, г, в первом случае грани пирамидальных крыш будут треугольными, во втором — четырехугольными, в третьем — пятиугольными^[4], или, применяя излюбленные греческие термины^[5], мы соответственно будем иметь: тригонтетрагексаэдр, тетрагонтетрагексаэдр и пентагонтетрагексаэдр. Взамен этого в современной кристаллографии мы встречаем лишь одно рациональное обозначение: тригонтетрагексаэдр, вторая фигура неожиданно получает название тет- рагонтриоктаэдр, и третья — пентагонтриоктаэдр, хотя малоискушенному глазу^[6] здесь не видны никакие октаэдры.

Каждая из изображенных на рис. ЗА, б, в, г крыш сама по себе представляет тетрагональную пирамиду, и при наличии плоскости симметрии (см. рис. ЗА, б, в) на пирамиде может образоваться крыша «2-й генерации», т. е. каждая из шести крыш станет дитетрагональной пирамидой и соответствующие фигуры-формы будут дитетрагексаэдрами (см. рис. ЗА, д). И снова для этой фигуры в существующей номенклатуре с трудом подбирается название гексоктаэдр. В чем дело?

Если для (квадратных) граней куба кажутся очевидными четырехскатные крыши, то для (треугольных) граней как октаэдра, так и тетраэдра естественны крыши трехскатные с возможностью также трех ориентаций крыши относительно ребер октаэдрической (тетраэдрической) грани. Соответственно мы получаем (см. рис. ЗБ) пирамидальные октаэдры и пирамидальные тетраэдры со скатами треугольными, четырехугольными и пятиугольными. Как и в случае пирамидальных кубов, так и в пирамидальных октаэдрах треугольные и четырехугольные грани обладают плоскостью симметрии и потому допускают удвоение: трехскатные крыши превращаются в шестискатные. Итого возникает 2✕5 новых топологических форм (если крыши с одинаковым типом скатов, в смысле ориентации, но с разными наклонами объединить в одну «разновидность»). Всем им можно дать достаточно понятные греческие названия:

Было сказано, что достаточно часто на кристалле нарастает целая последовательность скатов со все уменьшающимся наклоном, и такая кровля увенчивается совершенно плоской крышей — гранью обычного куба. До некоторой степени с обратным случаем мы имеем дело, когда освобождение от примесей происходит особенно быстро и на двух соседних гранях куба или на двух смежных гранях октаэдра (тетраэдра) пирамиды-крыши растут настолько крутые, что их скаты на соседних (прилегающих к общему ребру) гранях куба (октаэдра, тетраэдра) продолжают друг друга, т. е. спрямляются в одну грань, которая прячет ребро основной фигуры, «притупляет» его. Легко видеть, что у результирующей фигуры будет не 4✕6=24 (грани 3✕8), а столько же, сколько ребер у куба, т. е. 12, но столько же ребер и у октаэдра, т. е. в обоих случаях рождается одна и та же фигура — ромбододекаэдр (рис. 4). Если эти первоначально чрезмерно быстро растущие крыши все же далее остановятся в росте, то мы будем иметь особенно часто встречающиеся кубы или октаэдры, «притупленные» по всем ребрам иногда широкими, иногда узкими полосками ромбододекаэдра (рис. 5). Эти особенности многих кубических кристаллов, так просто описываемые с «естественной» точки зрения, конечно, никак не могут быть объяснены каким-либо априорным математическим подходом. Ромбододекаэдры особенно характерны для благородных металлов — золота, серебра и меди, которые, в чистом виде образуют совершенные октаэдры, при обычном же стремлении освободиться от примесей они «вынуждены» принимать ромбододекаэдрическую форму.

Еще один «отряд» форм в кубической системе мы получаем исходя из того, что куб может и не иметь четверных осей симметрии, а всего лишь двойные (штрихованные кубы на рис. 6). Сами по себе такие кубы не будут особыми формами, но новые формы получаются из соображения, что сейчас их крыши в основном должны быть двускатными, с одним «коньком». Трем возможным (см. рис. ЗГ) ориентациям этого «конька» соответствуют три формы с двускатными крышами: T_d = 43’m — тригондигексаэдр; Т_h = mЗ — пентагондигексаэдр симметричный (пятиугольники имеют линию симметрии); T = 23 — пентагондигедсаэдр асимметричный (пятиугольники без линии симметрии).

Весьма интересно, что поперечные черты — разломы — особенно четко вскрывают возможность для куба фигурировать в трех младших классах симметрии, отмеченных впереди названия символами (все с буквой T, говорящей об отсутствии четверных осей). В обоих симметричных случаях грани — тригоны или пентагоны — могут сломаться — на них вырастает крыша «2-й генерации », и мы приходим к еще двум формам о 24 гранях каждая: (43’m)—тригондидигексаэдр; (m3)—тетрагондидигексаэдр.

В свете необходимости учитывать возможность отсутствия в кубическом классе четверной оси мы должны еще раз просмотреть две пятерки форм на базе октаэдра и тетраэдра (см. рис. ЗБ). Там центр тяжести вывода был в рассмотрении различных ориентаций трехскатной крыши, в вершине которой выходит тройная ось — обязательный элемент симметрии во всех классах кубической системы. Особый случай — крыши с пятиугольными скатами, где «пентагоны» появляются при разломе ребра треугольной грани в результате действия оси, проходящей через вершину треугольной грани не перпендикулярно к плоскости чертежа. В случае тетраэдра этой осью будет также тройная ось, которая, как сказано, обязательна в кубической системе, но в случае октаэдра повторение разломов осуществляет четверная ось, отпадающая в разбираемых сейчас классах, и в них грань октаэдра связывается с соседней только с помощью плоскости симметрии. Таким образом, рис. ЗБ, г должен быть повторен «без второго разлома», и для T_h = m3 мы получаем еще одну форму — тетрагонтриоктаэдр с несимметричными четырехугольниками^[7] (см. рис. ЗВ).

Всего, таким образом, систематически выводится 21 разновидность кубических форм: четыре пятерки плюс несимметричный тетрагонтриоктаэдр. Особняком стоит вывод 22-й формы — ромбододекаэдра.

Выше отмечалось, что к одной и той же форме — ромбододекаэдру — мы приходим исходя как из усложненного (пирамидального) куба — тригонтетрагексаэдра, так и из усложненного (пирамидального) октаэдра — тригонтриоктаэдра; в обоих случаях, когда смежные скаты наросших на гранях куба или октаэдра пирамид становятся один продолжением другого. Тождество двух ромбододекаэдров выступает особенно ясно, когда мы их характеризуем по методу аналитической геометрии отрезками, которые грань исследуемой формы отсекает на координатных осях. Грань, притупляющая ребро куба, параллельна той координатной оси, которая совпадает с этим ребром, и, очевидно, делает одинаковые углы с двумя другими осями. Грань, притупляющая ребро октаэдра, прежде всего (как и это ребро) делает одинаковые углы с двумя координатными осями и (не так сразу очевидно) параллельна третьей оси. И в том и в другом случае аналитический символ (110) констатирует формальную тождественность результатов двустороннего подхода.

Точно так же не было показано разницы между теми 48-гранниками, которые получаются один раз на кубе, а другой раз на октаэдре в результате преломления — нарастания на скатах крыш 1-й генерации новых крыш 2-й генерации. Сейчас то же самое будет выражено аналитически.

Для граней обычного пирамидального куба (тригонтетрагексаэдра) характерна их параллельность одной оси при разных отрезках на двух других, т. е. символ hk0; для грани тетрагонтетрагексаэдра характерны одинаковые большие отрезки на двух осях при малом на третьей (hkk). Когда на первой форме нарастает крыша 2-й генерации, грань ломается и ее символ из hk0 переходит в hkl. Если то же происходит во второй форме, теряется равенство двух индексов и из hkk получается также hkl. Со строго аналитической точки зрения эти символы одинаковые, характеризующие 48-гранник, но из hk0 получится hkl с бóльшей разницей между h > k > l ≈ 0, тогда как из hkk получится h > k ≈ l (730—731; 733—732).

Нетрудно видеть, что и при преломлении (образовании крыш 2-й генерации) крыш на октаэдре мы также получим 48-гранник (hkl), с той разницей по сравнению с 48-гранником на базе куба, что у октаэдроподобных форм три индекса hkl близки друг к другу (765), тогда как у кубоподобны х один индекс всегда значительно больше других (721), т. е. возникают формы, в первом случае не так далеко отошедшие от октаэдра (111 —отрезки по трем осям одинаковы), во втором — близкие к кубу (100 — один отрезок конечный, два бесконечных, поскольку грань куба одновременно параллельна двум координатным осям).

Более пикантна (с точки зрения обобщения «случайных» форм) формальная одинаковость формул для тетрагонтетрагексаэдра и тетрагонтриоктаэдра. В обоих случаях мы имеем два равных отрезка при третьем меньшем (и потому соответственный индекс велик — hkk). Но в случае формы с тетрагонами, производной от куба, два равных индекса k малы по сравнению с h (722), тогда как в форме с тетрагонами, близкой к октаэдру, имеет место близость всех трех индексов (766). Невозможность описать первую форму как тетрагонтриоктаэдр очевидна, и классические кристаллографы (Федоров) называли ее 24-гранным дельтоэдром или икоситетраэдром (просто 24-гранником).

Однако наиболее поразительна формальная (с точки зрения сугубо математической, а именно исходя из более общего случайного расположения грани) тождественность формы, описанной нами как простейший пирамидальный тетраэдр (тригонтритетраэдр), и преломленного куба (тригондигексаэдра). О том, что в последней форме налицо элементы симметрии тетраэдра (оси только 2-го порядка, 6 диагональных плоскостей симметрии), было уже сказано. Для преломленного куба очевидны индексы hkk при большом h и малых k (722), но те же индексы hkk характеризуют и пирамидальный тетраэдр, с оговоркой, что в этом случае одинаковые k относительно близки к h (755). Из рис. 7 видно, что пирамидальный тетраэдр (тригонтритетраэдр) по мере увеличения крутизны скатов переходит в преломленный куб (тригондигексаэдр), становится совсем уже неузнаваемым как тетраэдр, и далее, в результате слияния двух смежных (по преломляющему ребру куба) максимально крутых граней, преломленный куб выпрямляется и превращается в идеальный куб.

Выше мы говорили о том, что куб характерно появляется во всех пяти классах кубической системы. Но в то время как в трех классах этой системы (m3m, 432, m3) это наиболее естественная, «очевидная» простая форма, в двух классах (43’m, 23) он становится производной, позже возникающей формой, играя роль, подобную ромбододекаэдру. Он появляется, когда первоначальный тетраэдр начинает освобождаться от примесей, покрываясь пирамидами, и если это освобождение происходит очень быстро, то у общего ребра грани смежных пирамид сливаются в единую грань и возникает «производный» куб. Как и при описании аналогичного процесса возникновения ромбододекаэдра, приходится сказать, что подобное энергичное выделение мешающих факторов обычно продолжается недолго, и в соответствии с этим в тетраэдрических классах основная функция куба — притуплять ребра (их как раз шесть) основного тетраэдра (рис. 8).

Таким образом, 22 выведенным формам кубической системы с «естественными» названиями соответствует меньшее число форм, дифференцируемых с «абстрактной» точки зрения, а именно пятнадцать, которым в современных советских учебниках присвоены следующие не очень систематизированные названия: 1) куб; 2) октаэдр; 3) тетраэдр; 4) ромбододекаэдр; 5) гексоктаэдр; 6) тригонтетрагексаэдр; 7) тригонтриоктаэдр; 8) тригонтритетраэдр; 9) тетрагонтриоктаэдр; 10) тетрагонтритетраэдр; И) гексатетраэдр; 12) пентагондодекаэдр; 13) дидодекаэдр; 14) пентагонтриоктаэдр; 15) пентагонтритетраэдр.

Как видим, весьма обижен куб-гексаэдр, и из кубов с четырехскатными крышами представлен лишь тригонтетрагексаэдр, все другие усложненные гексаэдры отсутствуют. Ключ к раскрытию недоразумений лежит в отмеченном переходе тригонтритетраэдра (hkk) при достаточной крутизне пирамид в куб (100). Обратно, сломанный куб — тригондигексаэдр по мере увеличения наклона своей двускатной крыши переходит непрерывно в тетраэдр. Промежуточные формы, когда они близки к тетраэдру, должны быть названы тригонтритетраэдрами; когда они близки к кубу — тригондигексаэдрами. Цитированная классическая терминология оба случая называет тригонтритетраэдром, хотя даже крупных специалистов легко «поймать» на неумении распознать эту форму, когда она близка к кубу, и даже увидеть в ней четыре тройные оси.

Как показывает рис. 3, кроме только что отмеченных непрерывных переходов: 1) тригонтритетраэдр (пирамидальный тетраэдр)→тригондигексаэдр (преломленный куб), 2) тетрагонтетрагексаэдр→тетрагонтриоктаэдр, нужно иметь в виду и следующие: 3) пентагонтетрагексаэдр→пентагонтриоктаэдр, 4) октогексаэдр-дитетрагексаэдр→гексоктаэдр-дитриоктаэдр, 5) тригондидитетраэдр-гексатетраэдр→тригондитритетраэдр и 6) пентагондигексаэдр→пентагонтритетраэдр. В кристаллографии выбраны только вторые имена, которые совершенно не отражают форму, более близкую к другой основной форме.

«Абстрактное» тождество форм, точнее непрерывный переход между ними, легко устанавливается типом индексов hkl. Если тройки однотипны, то форма должна иметь одно общее название и два частных. Общие названия давно созданы в номенклатуре Грота — Федорова; их следует восстановить, и тогда детализированная номенклатура будет выглядеть так:

I. Старший кубический класс — «голоэдрия» — О_h = mЗm:

1) hkl — 48-гранник: а) если он более близок к кубу, то это будет октогексаэдр, или, подробнее, дитетрагексаэдр; б) лишь форму, более близкую к октаэдру, можно признать фигурирующим в только что приведенной номенклатуре гексоктаэдром, точнее, дитриоктаэдром. Так как символ куба 100, а октаэдра 111, то, очевидно, тройка индексов hkl, в которой один индекс значительно больше двух других (721), будет октогексаэдром, если же тройка hkl составлена близкими числами (765), то мы имеем гексоктаэдр. Выше отмечены и более тонкие различия, вытекающие из существования крыш двух генераций;

2) hk0 — тригонтетрагексаэдр (простейший пирамидальный куб);

3) hhk— тригонтриоктаэдр (простейший пирамидальный октаэдр);

4) hkk: а) тетрагонтетрагексаэдр (711); б) тетрагонтриоктаэдр (766);

5) 110 — ромбододекаэдр;

6) 100 — куб-гексаэдр;

7) 111 — октаэдр.

II. Энантиоморфная гемиэдрия O = 432:

8) hkl: а) пентатонтриоктаэдр (765); б) пентагонтетрагексаэдр (721).

III. Гемиэдрия T_h = mЗ:

9) hkl: а) тетрагондидигексаэдр (721); б) тетрагонтриоктаэдр (765) (в обоих случаях скаты без линии симметрии);

10) hk0 — пентагондигексаэдр (пентагондодекаэдр) (скаты — симметричные пятиугольники).

IV. Гемиэдрия T_d = 43′m:

11) hkl: а) гексатетраэдр-дитритетраэдр (765); б) тригондидигексаэдр (721);

12) hkk: а) тригонтритетраэдр (766); б) тригондигексаэдр (711);

13) hhk — тетрагонтритетраэдр;

14) 111 — тетраэдр.

V. Тетартоэдрия T = 23:

15) hkl: а) пентагонтритетраэдр; б) пентатондигексаэдр (в обоих случаях скаты — асимметричные пятиугольники).

В результате мы получили все 22 «естественно» выведенные формы.

В кристаллографической номенклатуре последнего времени (с 1923 г.) предпочтены названия с октаэдром и с тетраэдром и почти целиком опущены гексаэдры. Это может быть оправдано, конечно, более часто встречающимися в природе формами, близкими к октаэдру, но совершенно недопустимо в предвидении многочисленных новых объектов, особенно синтетических. Простой вывод отсюда, что все формы с возможностью двух чисто геометрических названий получают — это и было сделано в классической кристаллографии — нейтральное название, которое нужно ставить первым, и за ним хотя бы в скобках должно следовать рациональное, детализированное.

1) Так как ухо плохо чувствует разницу между гексоктаэдром и октагексаэдром (если эти названия не уточнены до дитриоктаэдра и дитетрагексаэдра), то проще называть эту самую общую форму 48-гранником.

2) Частную форму hkk с двумя разновидностями (тетрагонтриоктаэдром и тетрагонтетрагексаэдром) из-за характеризующих ее симметричных тетрагонов — «дидельт» удобно называть 24-гранным дельтоэдром или (минералогическое название) лейцитоэдром. 511 — опишется как тетрагонтетрагексаэдр, тогда как 544 будет тетрагонтриоктаэдром.

3) Для общей формы энантиоморфного класса O = 432 две разности (пентагонтриоктаэдр и пентагонтетрагексаэдр) давно уже объединены в классическое название гироэдр-осевик, говорящее о том, что в этой форме налицо максимальное число осей при полном отсутствии плоскостей симметрии.

4) Точно так же для общей формы hkl младшего кубического класса Т = 23 классический термин тетартоэдр (четвертник) объединяет более близкий к тетраэдру пентагонтритетраэдр и тяготеющий к кубу пентагондигексаэдр (544 и 511).

Плохо обстоит дело с тетраэдрической гемиэдрией T_d = 43′m, где возможность преобладания форм, близких к кубу, просто не учитывалась и потому отсутствует достаточно нейтральное название для гермафродитных форм, промежуточных между тетраэдром и кубом (с тетраэдрической симметрией). Мы позволяем себе ввести следующие изменения:

5) Теперешний пирамидальный тетраэдр (тригонтритетраэдр) получает название 18 (= 12 + 6)-реберный куботетраэдр, который через собственно пирамидальный тетраэдр (тригонтритетраэдр) с потерей 12 ребер превращается в «чистый» тетраэдр. При потере 6 ребер 18-реберный куботетраэдр через тригондигексаэдр («преломленный» по диагоналям граней куб) становится «чистым» кубом. Комбинацию, в которой участвуют только две крайние «чистые» формы («чистый» куботетраэдр), считаем тетраэдром, который притуплен по ребрам гранями куба в результате процесса самоочищения.

6) Общая форма hkl класса 43’m, сейчас именуемая гексатетраэдром (дитригексаэдром), может так называться лишь при близости трех индексов. Если один из них значительно больше двух других, форма близка к кубу и становится тригондидигексаэдром — дважды (по каждой грани) преломленным кубом. В соответствии с этим обобщающим названием может быть 36 ( = 24 + 12)-реберный куботетраэдр, который при исчезновении 24 ребер (и попарном сопряжении 12 остальных) через дитритетраэдр приходит к тетраэдру, при ликвидаций 12 ребер (и попарном сопряжении 24 остальных) — через тригондидигексаэдр к кубу.

7) Не лучше обстоит дело и со старшей «общей» формой класса пирита m3. Здесь, в противоположность тому, что имело место в большинстве разобранных случаев, преимущество отдается кубу и полностью ущемлены права октаэдра. Существующее общее название (дидодекаэдр или преломленный пентагондодекаэдр) исходит из пиритоэдра — пентагондигексаэдра и учитывает только возможность разлома граней последнего с образованием тетрагондидигексаэдра (с асимметричными четырехугольниками).

Мы не разбираем здесь более сложного перехода этого тетрагондидигексаэдра (дидодекаэдра) в (асимметричный) тетрагонтриоктаэдр и провизорно хотели бы их обобщить в 48-реберный (24 + 24) асимметричный кубооктаэдр, со всегдашней опасностью смешения с абсолютно несходными и совершенно симметричными двумя родами кубооктаэдров, наиболее часто фигурирующими в кристаллохимии: 24-реберным кубооктаэдром Архимеда (8 треугольных граней и 6 квадратных) и 36-реберным кубооктаэдром кельвиновским (федоровским параллелоэдром) с 7 шестиугольными гранями и 6 квадратными.

В свете представлений о специфической роли граней ромбододекаэдра и куба в качестве притупляющих ребра основных форм — октаэдра (куба) и тетраэдра любопытно рассмотреть аналогичную роль 24-гранного дельтоэдра (лейцитоэдра—тетрагонтриоктаэдра или тетрагонтетрагексаэдра). Эта фигура плохо «смотрится» как на рис. ЗА, б, так и на рис. ЗБ, б. Непонятно, зачем при появлении крыши 1-й генерации нужно ломать ребро куба или октаэдра. Как то хорошо видно на многочисленных минералогических примерах, наиболее естественные крыши для куба и октаэдра это грани пирамидального куба и пирамидального октаэдра (галенит). На них могут возникать крыши 2-й генерации, и, как выше указано, тем самым создаются дитетрагексаэдры или дитриоктаэдры — 48-гранники. Но когда образование 2-й генерации крыш происходит очень быстро, со слиянием граней на смежных скатах 1-й генерации, то мы получаем грани 24-гранного дельтоэдра — тетрагонтетрагексаэдра, если срезаются (притупляются) ребра пирамидальных кубов, и тетрагонтриоктаэдра, если притупляются ребра пирамидальных октаэдров (рис. 9).

Эта притупляющая функция, можно считать, особенно характерна для лейцитоэдра, и еще более эффектно она проявляется на гранатах. При достаточно пестром составе не удивительно, что их основной формой служит ромбододекаэдр с его 24 ребрами («гранатоэдр»). Если на гранях ромбододекаэдра также нарастают крыши 2-й генерации — ромбические пирамиды, то при полном их развитии мы получаем 48-гранник (еще одна разновидность — пирамидальный ромбододекаэдр). Если крыши 2-й генерации растут столь быстро, что смежные (по ребру ромбододекаэдра) грани крыши сливаются воедино, то мы имеем 24-гранный дельтоэдр—лейцитоэдр. Если происходившее сначала бурно освобождение ромбододекаэдра от примесей быстро закончилось, вновь появляются грани ромбододекаэдра, «притупленного» по всем ребрам гранями дельтоэдра, — и эта комбинация кубических форм наиболее часта у гранатов (рис. 10).

Такова же функция 12-гранного дельтоэдра — тетрагонтритетраэдра в отношении пирамидального тетраэдра. Здесь, правда, положение более трудно, поскольку этот дельтоэдр непосредственно притупляет лишь 12 из 18 ребер пирамидального тетраэдра, остальные 6 могут быть притуплены лишь гранями куба.

* * *

За последние 20 лет получила развитие «онтогения минералов» (Г. Г. Леммлейн, Д. П. Григорьев), которая строит историю развития минералогической особи — индивидуального минерала по особенностям его морфологии, внешней и внутренней. Грубо говоря, каждый раз получается нечто вроде гимназических сочинений старого времени: «История школьной скамьи, рассказанная ею самой». Содержание настоящей статьи — еще одна глава новой науки, в которой история кристалла восстанавливается по чередованию и большему или меньшему развитию его граней.

Удивительным и в то же время понятным образом в этой главе самым легким параграфом оказывается наиболее богатая формами кубическая симметрия. Однако она и здесь исчерпана не до конца {лишь мельком в тексте указаны «производные» от третьей «постоянной» формы в кубической симметрии — ромбододекаэдра (НО)], и также ясно, что в дальнейшем развитии центр тяжести должен сместиться в более обильно представленные средние и низшие кристаллографические системы.

1. По завещанию великого немецкого математика Гаусса, его надгробный памятник покоится на пьедестале — правильном 17-угольнике. ↑
2. В этот момент выступает основной закон классической кристаллографии, оправдывающий ее стремление начинать кристаллографию со «случайных» форм. Наклоны крыш не произвольны, но соответствующие тангенсы относятся друг к другу как малые рациональные числа 2, 3, 4, 5 (закон Гаюи, предвосхищающий знаменитый закон Дальтона в химии). ↑
3. Нельзя не отметить, что этот принцип очищения внутренних слоев растущего монокристалла от примесей путем их выноса в наружные области составляет сущность получения особо чистых металлов путем «зонной плавки». ↑
4. В последнем случае мы сначала видим только несимметричный четырехугольник. Но так как через вершину куба проходит ось 3-го порядка, то все ребра, сходящиеся в каждой вершине, должны быть одинаково сломанными. Это отмечается точкой на ребре, которая (сломанное ребро) и превращает четырехугольник в пятиугольник. ↑
5. В которых простейшее слово «куб» в дань традиции названо «гексаэдром»; тетрагексаэдр — куб, на каждой грани которого наросла четырехскатная крыша. ↑
6. Одно из садистических удовольствий автора — показать опытному кристаллографу модель, соответствующую рис. ЗА, г, и иногда не получить ответа вовсе, а иногда после продолжительного анализа — «да это же пентагонтриоктаэдр!». ↑
7. В которых равны друг другу только пары ребер, связанных тройной осью, тогда как в симметричном тетрагонтриоктаэдре равны друг другу по две пары ребер. ↑