Методы современной теоретической физики

Физика изучает общие количественные закономерности материального мира. Для современной физики характерен очень большой диапазон исследования: от элементарных частиц до галактик. Естественно, что на разных масштабах этого диапазона физике приходится иметь дело с совершенно разного рода явлениями: они далеко не всегда могут быть описаны в терминах привычных для нас наглядных представлений, взятых из опыта нашей повседневной жизни.

Общий метод физики таков же, как и у всех естественных наук: сочетание опыта, расчета и теоретического обобщения. Под опытом здесь приходится понимать не только и не столько повседневный жизненный опыт, сколько специально подготовленный и поставленный эксперимент, методика и техника которого разрослась в сложную науку. Расчет ведется с использованием как аналитических методов математики, так и вычислительных машин. Конечные результаты исследования — не только, предвычисление явлений природы и управление ими, но и формирование новых физических понятий.

Именно эта сторона физического исследования имеет особенно важное философское значение. На основе конкретных физических понятий формируются более общие понятия и методы, значение которых в ряде случаев может выйти за рамки физики как конкретной науки. Сюда относятся прежде всего: понятие инвариантности по отношению к выбору системы отсчета; использование математических и физических моделей и принципиальное значение приближенных методов. На этих вопросах мы подробно и остановимся.

Определения как предмета, так и метода современной физики нельзя понимать вымысле формальной логики — здесь неизбежно обращение к диалектике с ее всесторонней универсальной гибкостью понятий^[1]. При этом необходимо учитывать как/Диалектику общего и частного, так и диалектику количества и качества. Это особенно ясно видно на примере разграничения физики и химии. Химия отличается от физики тем, что она ищет прежде всего качественные различия между частными видами вещества. Но исходя из качественного и частного, химия приходит и к общим количественным закономерностям (закон кратных отношений и т. п.). С другой стороны, ее результаты оказываются общими еще и в том смысле, что они лежат в основе ряда частных наук об отдельных частях материального мира, таких, как биохимия, геохимия, кристаллохимия, космохимия. Физика исходит из общих количественных законов, но приходит и к ряду качественных выводов (например, различие между частицами и античастицами) и к великому множеству частных результатов. Можно было бы сказать, что физика ищет частное и качественное в общем и количественном, а химия — наоборот, но эти определения становятся уже чрезмерно гибкими, так что ими трудно было бы практически пользоваться.

1. Три уровня познания физической реальности

Один из виднейших физиков-теоретиков нашего времени, Е. Вигнер, в лекции, прочитанной по случаю вручения ему Нобелевской премии^[2], сформулировал концепцию, имеющую важное физическое значение. Первый уровень познания в физике (как и во всякой науке) — установление отдельных фактов (в теоретической физике факты, привязанные к определенной системе отсчета, принято называть событиями). Факты (события) являются исходными частными данными науки. Их обобщение позволяет вывести общие физические законы (второй уровень познания). По формулировке Вигнера: «законы природы позволяют нам предсказывать события на основании знания других событий», или, короче говоря, устанавливают корреляции между событиями. В старой физике отдельные законы природы казались совершенно самостоятельными. Величайшее методологическое достижение новой физики заключается в том, что она научилась дальнейшим обобщением физических законов получать еще более общие принципы инвариантности. Эти принципы, по выражению Вигнера, «должны давать нам возможность устанавливать новые корреляции между событиями на основании знания уже установленных корреляций». Иными словами, принципы инвариантности находятся в таком же отношении к законам физики, в каком последние — к частным фактам (событиям). Поэтому Вигнер и называет их «сверхпринципами» (третий уровень познания в физике). Он особо подчеркивает, что «принципы инвариантности служат пробным камнем для проверки истинности возможных законов природы». Но еще важнее их эвристическое значение: они позволяют находить новые, совершенно неожиданные физические законы.

2. Инвариантность — фундаментальный принцип современной теоретической физики

Понятие инвариантности играет очень большую роль в современной физике. Величайшая победа физической мысли — теория Эйнштейна — могла бы по существу называться не теорией относительности, а теорией инвариантности. Инвариантность представляет один из конкретных физических аспектов такой глубокой философской проблемы, как соотношение между относительной и абсолютной истиной. Вопрос ставится так: является ли некоторое утверждение справедливым лишь при определенных условиях? Специфика физики как количественной науки проявляется в том, что рассматриваемые утверждения касаются величин, которые могут быть выражены числами. Значение такого числа может, вообще говоря, зависеть от выбранной системы отсчета. Если справедливость -количественного утверждения не зависит от системы отсчета, то такое утверждение называется инвариантным. Поясним понятие инвариантности на ряде примеров, начиная с самых простых.

Теория подобия. Если физическая величина выражается одним числом (такие величины называются скалярными), то системой отсчета для нее становится просто система единиц измерения. Инвариантность для скалярных величин сводится к независимости от системы единиц. Представим себе, что у некоего человека рост 172 см, а вес 86 кг. Сделаем утверждение, что вес у него вдвое меньше роста. Ясно, что это утверждение не инвариантно. Оно справедливо только в системе единиц, где длина измеряется в сантиметрах, а вес в килограммах. Если измерять рост в метрах, а вес в граммах, то вес окажется гораздо больше роста и т. д. Физик скажет, что мы сделали явную ошибку: сравнивали величины разной размерности. Однако есть гораздо более тонкие примеры, где приходится сталкиваться по существу с той же проблемой, и они сыграли свою роль в истории науки.

Более ста лет назад два французских исследователя Пуазейль и Дарси изучали течение жидкостей и пришли к совершенно разным результатам. Пуазейль в лаборатории прогонял жидкость через тонкие капиллярные трубки и нашел, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости. Практик — инженер Дарси в своей знаменитой работе «Общественные фонтаны города Дижона» показал, что в трубах большого диаметра сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости. Считалось, что закон Дарси справедлив при большом, а Пуазейля — при малом диаметре трубы. Но ясно, что это утверждение не инвариантно относительно выбора системы единиц. Чтобы придать инвариантный смысл понятиям «большого» и «малого» диаметра, нужно выяснить, что является естественной единицей длины для рассматриваемой задачи. Это сделал англичанин Рейнолдс; из его опытов стало ясно, что естественная единица длины зависит от вязкости жидкости и от скорости течения: она получается делением кинематической вязкости на скорость течения. Рейнолдс выразил этот результат так: если умножить диаметр трубы на скорость потока и разделить на кинематическую вязкость жидкости, то получится безразмерное число, значение которого не зависит от выбора системы единиц; его назвали числом (или критерием) Рейнолдса. Если оно велико в сравнении с определенным критическим значением, то течение подчиняется закону Дарси, если мало — то закону Пуазейля. Говоря о малом или большом числе Рейнолдса, мы делаем уже инвариантное утверждение.

Отсюда пошла важная отрасль современной физики — теория подобия. Она позволяет обобщить результаты экспериментов, представив их в виде зависимостей между безразмерными величинами и записав тем самым эти зависимости в инвариантном виде. Так находят, например, законы передачи тепла и вещества в турбулентном потоке, т. е. при беспорядочном, завихренном течении жидкости или газа. Но и при математическом решении задачи физик всегда предпочитает искать зависимости между безразмерными величинами. Теория подобия и тесно связанный с ней метод размерности позволяют в ряде случаев находить простые аналитические (автомодельные) решения сложных задач, в частности сводить трудную задачу интегрирования уравнений в частных производных к более простому решению обыкновенного дифференциального уравнения^[3].

Всякое соотношение, имеющее физический смысл, по существу инвариантно к изменению системы единиц, т. е. не меняет при этом своего физического содержания. Но если соотношение включает размерные величины, то при переходе к новой системе единиц изменятся значения численных коэффициентов. Если же преобразовать величины к безразмерному виду, то всякое физическое соотношение станет тождественно инвариантным к изменению системы единиц, т. е. не будет менять при этом не только содержание, но и форму (включая значения численных коэффициентов). Именно по этой причине физические зависимости предпочтительно записывать через безразмерные величины. Явления, характеризующиеся одинаковыми значениями всех безразмерных величин, подобны между собой — отсюда и название «теория подобия». Изучив некое явление на модели в удобных для эксперимента условиях, физик может мгновенно перенести результаты на явления, протекающие совсем в других масштабах, но при тех же значениях безразмерных величин.

Таким образом, теория подобия является основой метода экспериментального моделирования.

Метрическая инвариантность. Все изложенные важные следствия вытекают из одного общего постулата: законы природы инвариантны по отношению к выбору системы единиц. Его часто называют постулатом подобия. Но мы, чтобы подчеркнуть связь с более общими понятиями, будем называть его постулатом метрической инвариантности. Как видим, теория подобия есть теория инвариантности физических соотношений к выбору системы единиц измерения, иными словами — теория метрической инвариантности.

Постулат метрической инвариантности имеет существенное гносеологическое значение. Выбором системы единиц измерения человек вносит известный произвол в форму выражения количественных закономерностей природы, существующих в объективном мире. Постулат метрической инвариантности позволяет в этой субъективной форме описания явлений природы обнаружить объективное содержание. Этот постулат выражает равноправие всех возможных систем единиц измерения.

Произвольность выбора системы единиц кажется в наше время само собой разумеющейся. Но в истории научных заблуждений известен пример, когда даже это очевидное положение пытались оспорить. В середине XIX в. известный английский астроном Чарльз Пиацци Смит провел измерения большой египетской пирамиды и заявил, что все ее размеры являются целыми кратными от новой единицы длины, которую он назвал «пирамидный дюйм». Смит разработал систему единиц, основанную на пирамидном дюйме, и утверждал, что в ней все явления природы описываются целыми числами. Он приписывал пирамидному дюйму «божественное происхождение» и считал, что близкий к нему английский дюйм был вначале равен пирамидному и лишь впоследствии был по небрежности искажен^[4]. Нам трудно представить себе, как можно серьезно высказывать такие мысли, но Смит имел группу активных сторонников, которая даже внесла в парламент предложение о замене английских мер пирамидными. Вот поучительный пример, показывающий, как отказ от постулата метрической инвариантности может привести к печальным последствиям.

Геометрическая инвариантность. Мы рассмотрели простейший вид инвариантности, связанный с выбором системы единиц, измерения. Если же рассматриваемые величины выражают положение событий, т. е. расстояния между ними в пространстве и времени, то возникают гораздо ‘более сложные и тонкие требования геометрической инвариантности, имеющие очень большое значение для современной физики: из их анализа выросла теория относительности.

Расстояния — не скалярные, а векторные величины, т. е. определены не только по величине, но и по направлению. Такая величина задается уже не числом, а набором чисел, и системой отсчета для нее становится система координат. По отношению к обычному трехмерному пространству геометрическая инвариантность имеет самый элементарный смысл. Физические утверждения не должны меняться ни при смещении системы координат, ни при ее повороте. Эти требования являются выражением однородности и изотропности пространства^[5].

Специальная теория относительности Эйнштейна может рассматриваться как обобщение геометрической инвариантности на четырехмерное пространство — время. В основе ее лежит общий постулат, имеющий существенное гносеологическое значение: всякое утверждение, имеющее физический смысл, может быть выражено в форме, инвариантной иго отношению к выбору системы координат в пространстве и времени. По формулировке и гносеологическому значению геометрический постулат вполне аналогичен метрическому. Выбор системы координат вносит в формулировку физических утверждений элемент произвола. Постулат геометрической инвариантности позволяет этот произвол устранить. Но по конкретному физическому содержанию геометрическая инвариантность гораздо глубже и богаче метрической. Сделанные из нее Эйнштейном выводы революционизировали всю физику. Они привели к созданию специальной теории относительности, которую правильнее было бы назвать теорией геометрической инвариантности.

Для создания теории относительности большое значение имел критический анализ инвариантности самых обычных утверждений. Поясним это на простом примере. Пусть двое людей встретились в сквере у Большого театра и условились на следующий день встретиться «там же». Если мы скажем, что следующая встреча произойдет на том же месте, то будет ли это утверждение инвариантным? Очевидно, нет. Оно справедливо лишь в системе отсчета, связанной с Землей. Но ведь сама Земля, вращаясь вокруг Солнца, прошла за сутки около трех миллионов километров. В системе координат, связанной с. Солнцем, расстояние между местом первой и второй встречи выразится этой громадной величиной. А ведь Солнце вращается вокруг центра Галактики, сама Галактика тоже движется в пространстве и т. д. С общей физической точки зрения нет никаких оснований предпочесть одну или другую систему отсчета. Как видно, познание космоса сделало ясным, что совпадение в пространстве двух событий, не совпадающих по времени, не может считаться инвариантным. Эксперимент Майкельсона заставил принять и сопряженное утверждение: два события, не совпадающие в пространстве, совпадают во времени только в соответствующим образом определенной системе отсчета. Нам гораздо труднее представить себе зависимость от системы отсчета во времени, чем в пространстве, так как мы привыкли рассматривать время как скалярную величину. Но оказалось, что время —одна из составляющих четырехмерного вектора. Поэтому отсчет времени, так же как и каждой из пространственных координат, зависит от принятой четырехмерной координатной системы и меняется при ее вращении. Мы не можем здесь подробнее останавливаться на этих, уже не методологических, а физических вопросах.

Главное значение теории Эйнштейна не столько в том, что она сделала относительными (т. е. не инвариантными) некоторые понятия (например, одновременность событий в разных точках пространства), сколько в том, что она сделала инвариантными (т. е. в некотором смысле абсолютными) такие физические величины, как скорость света, полная энергия покоя и т. п. Важно подчеркнуть именно эту позитивную сторону теории — потому ее и называют теорией инвариантности.

Из всего сказанного о понятии инвариантности явствует его большая методологическая ценность, заключающаяся в гои, что инвариантность позволяет отделить внутренние свойства, реально присущие исследуемому объекту, от внешней формы выражения этих свойств, связанной с выбранной системой отсчета. Равноправие всех возможных систем отсчета делает очевидным объективный (т. е. независимый от разума с маленькой или большой буквы) характер физических закономерностей, форма которых выражена в той или иной системе отсчета. Развитие физики и материалистической философии отвергло точку зрения Ньютона, который считал принятую им систему отсчета — «абсолютные, истинные, математические» пространство и время—творением бога; отвергло оно и концепцию Канта, который рассматривал пространство и время как априорные формы созерцания, отказывая им в объективном существовании.

Физические законы инвариантны относительно выбора той или другой возможной системы отсчета (хотя сам процесс измерения требует определенного ее выбора), и выбор наблюдателем той или другой системы отсчета меньше всего означает, что законы природы реально носят субъективный характер. Выбранная наблюдателем система координат в пространстве и времени может быть та или другая, но через нее он познает свойства объективно реального (пространства и времени.

3. Критика и обобщение понятия инвариантности

Использование понятия инвариантности при построении специальной и общей теории относительности основывалось на гениальной физической интуиции Эйнштейна. Впоследствии такое интуитивное понимание инвариантности было подвергнуто критике, которая, как и всегда, способствовала более строгому анализу и обоснованию метода. С критикой интуитивного понимания инвариантности и системы отсчета выступил в ряде работ В. А. Фок^[6]. Хотя его точка зрения и не является общепризнанной, она стимулировала дальнейшее более глубокое исследование вопроса в работах Е. Вигнера и A. Траутмана.

Динамическая инвариантность. В ходе развития физики XX в. много раз вставал вопрос, являются ли те или иные физические закономерности инвариантными к любому преобразованию системы отсчета или только к некоторым классам таких преобразований. Так, например, Эйнштейн первоначально сформулировал свою теорию относительности так, что ее законы сохраняли свой вид во всякой инерциальной системе отсчета, но не в системах, движущихся с ускорением. Этот вариант теории Эйнштейн назвал специальной теорией относительности (СТО). В ней инвариантность была ограничена классом инерциальных систем. Инерциальными здесь называются системы отсчета, не имеющие ускорения. В дальнейшем Эйнштейн построил общую теорию относительности (ОТО), исходя из требования общей инвариантности по отношению ко всем возможным системам отсчета, в том числе и движущимся ускоренно. B. А. Фок^[7] отметил, что в СТО инвариантность связана с однородностью пространства^[8]. В этом смысле ОТО даже менее инвариантна, чем СТО. Ведь галилеево пространство СТО однородно в целом, в то время как искривленное пространство ОТО однородно только в бесконечно малом. На этом основании В. А. Фок возражает против самого термина «общая относительность». Е. Вигнер в уже цитировавшейся работе показал, что вопрос связан с существованием двух различных типов инвариантности. Геометрическая инвариантность выражает конкретные свойства пространства: его однородность и изотропность; она является основой СТО. Но существует и динамическая инвариантность, не имеющая прямого отношения к этим свойствам пространства. Одним из ее проявлений служит ОТО. В. А. Фок подверг критике также и концепцию Эйнштейна о равноправности всех систем отсчета в ОТО. Вопрос этот до сих пор остается предметом дискуссии, и мы не можем претендовать на окончательное решение. Ограничимся некоторыми относящимися сюда соображениями. Равноправность инерциальных и ускоренных систем связана непосредственно с принципом эквивалентности ускорений и гравитационных полей. Согласно этому принципу, в ускоренно движущихся системах отсчета возникают гравитационные толя, распространяющиеся на все пространство. Если рассматривать ограниченную систему тел в бесконечном пустом пространстве, то можно выделить систему отсчета, в которой гравитационное поле на больших расстояниях от тел исчезает. Такую систему В. А. Фок называет гармонической и считает ее привилегированной системой отсчета. Однако нет никаких оснований ожидать в реальной Вселенной наличия «пустых мест», где не действуют гравитационные поля. Все известные космические тела совершают ускоренные, в частности вращательные, движения. Таким образом, вопрос о равноправии систем отсчета в реальной Вселенной перестает быть общим методологическим и становится конкретным космологическим вопросом.

Появление в неинерциальных системах дополнительных гравитационных полей имеет близкую аналогию в электродинамике. Если заряженная частица движется в магнитном поле, то на нее действует сила Лоренца, пропорциональная векторному произведению скорости частицы на напряженность магнитного поля. Если перейти к другой (даже и инерциальной) системе отсчета, то скорость, а с ней и лоренцова сила, изменится. Казалось бы, инвариантность нарушается даже в классе инерциальных систем. Но в действительности одновременно возникает электрическое поле индукции, так что полная сила, действующая на частицу, остается неизменной. В этом и заключается инвариантность. В ОТО скорость заменяется ускорением, магнитное поле — общими свойствами пространства, а электрическое поле индукции — дополнительным гравитационным полем, которое для ясности полезно было бы также называть индукционным.

Таким образом, кажущиеся ограничения инвариантности возникают оттого, что недостаточно строго определено понятие системы отсчета. Под системой отсчета в широком смысле надлежит понимать все, что внесено наблюдателем для описания исследуемых явлений. Скорости движений, напряженности и потенциалы электрических и гравитационных полей относятся к способу описания и могут меняться при изменении системы отсчета. Инвариантным является только физическое содержание явлений.

Дальнейший шаг к строгому обоснованию понятая инвариантности сделал А. Траутман^[9]. Он разделяет все величины, фигурирующие в любой физической теории, на динамические переменные, удовлетворяющие уравнениям теории, и абсолютные величины, заданные извне. Введение того или иного принципа инвариантности должно, согласно Траутману, уменьшать число абсолютных величин. Одни принципы инвариантности устраняют некоторые абсолютные величины вообще из теории. Так обстоит дело в ОТО, устранившей из рассмотрения абсолютное время и эвклидову метрику. Другие же принципы инвариантности не уменьшают общего числа величин, входящих в теорию, но превращают некоторые абсолютные величины в динамические переменные. Именно так обстоит дело с ОТО, которая превращает компоненты метрического тензора, или коэффициенты связности пространства — времени, из абсолютных величин в динамические переменные. Физическая теория является тем более инвариантной и тем более совершенной, чем меньшее число абсолютных величин должно быть задано для ее формулировки. С этой точки зрения ОТО оказывается в высшей степени инвариантной теорией, поскольку в ней вообще не осталось абсолютных величин, связанных с пространством — временем.

Интерпретация Траутмана согласуется с интуитивным пониманием инвариантности, если принять, что абсолютные величины связаны с системой отсчета. Метрическая инвариантность устраняет из теории абсолютные значения всех размерных величин, связанные с системой единиц измерения, геометрическая — абсолютные значения расстояний в пространстве и времени, зависящие от системы координат.

4. Градиентная (калибровочная) инвариантность

Динамическая инвариантность требует расширения понятия системы отсчета. К системам отсчета могут относиться не только координатные системы, но и различные вспомогательные построения, вводимые для описания физических явлений. Особенно важную роль они играют в электродинамике. Для описания электромагнитных полей вводятся скалярный и векторный потенциалы, образующие нечто вроде вспомогательной системы отсчета. Уже из элементарных соображений ясно, что физическое значение имеют только разности потенциалов, а не их абсолютные значения. Отсюда следует, что все физические утверждения в электростатике должны быть инвариантны по отношению к выбору нуля скалярного потенциала. При переходе к электродинамике возникает необходимость в системе скалярного и векторного потенциалов, удовлетворяющих более сложным условиям инвариантности. В электродинамике доказывается, что к векторному потенциалу можно добавить градиент произвольной скалярной величины. Если при этом из скалярного потенциала вычесть производную той же величины по времени, деленную на скорость света, то любые физические утверждения останутся инвариантными. Указанные преобразования потенциалов принимают еще более простой вид в формулировке четырехмерного пространства— времени теории относительности. В этой формулировке к четырехмерному потенциалу может быть добавлен четырехмерный градиент произвольной скалярной величины. В нерелятивистской теории такие преобразования называют калибровочными; с появлением теории относительности им дали физически более ясное название градиентных преобразований. Соответствующий вид динамической инвариантности носит название градиентной или калибровочной инвариантности. В квантовой теории градиентная инвариантность получает более глубокий смысл: при градиентном преобразовании потенциалов меняются одновременно и фазовые множители у всех волновых функций. При этом оказывается, что из градиентной инвариантности непосредственно следует один из важнейших законов физики: закон сохранения электрического заряда.

5. Дальнейшие применения инвариантности

Инвариантность и бесконечность. В свете понятия инвариантности по-новому могут быть поставлены вопросы конечности или бесконечности Вселенной. Расчеты процессов гравитационного коллапса на основе ОТО показывают, что самое понятие бесконечного времени не является инвариантным: процесс, который в одной системе отсчета длится бесконечно долго, в другой заканчивается за вполне определенное конечное время. Отсюда можно сделать вывод, что и время существования Вселенной в целом может быть конечным или бесконечным в зависимости от системы отсчета. Есть все основания полагать, что вопрос о конечности или бесконечности Вселенной в пространстве и времени нельзя решать, не учитывая результатов анализа проблемы инвариантности.

Инвариантность и симметрия. Все предыдущее касалось инвариантности по отношению к перемещению и повороту системы отсчета. В дальнейшем был поставлен вопрос, должны ли быть физические законы инвариантны также и по отношению к зеркальному отражению, т. е. к переходу от правой к левой системе координат и обратно. Этот вопрос оказался очень сложным. Он и по сей день стоит в центре внимания современной физики.

Понятие инвариантности по отношению к зеркальному отражению совпадает с понятием симметрии. Это легче всего понять на простом примере зеркального письма. Обычный текст нельзя прямо прочесть в зеркале. Это объясняется тем, что буквы, слова и текст в целом несимметричны. Но среди букв нашего алфавита есть несколько симметричных. Таковы, например: о, н, ф. Если написать печатными буквами слово «топот», легко убедиться, что оно прямо читается в зеркале, т. е. инвариантно по отношению к зеркальному отражению. Очевидно, причина в том, что это — симметричное слово, написанное симметричными буквами. Если речь идет об отражении, то слово «инвариантность» можно заменять словом «симметрия», как обычно и поступают.

С точки зрения системы отсчета зеркальное отражение есть перемена знака одной из координат. Это позволяет обобщить понятие симметрии или зеркальной инвариантности (физики называют ее также четностью).

Можно включить в понятие симметрии изменение направления течения времени, а также изменение знаков электрических и других зарядов. Тем самым обобщается и понятие системы отсчета. Так, принимая определенное правило знаков для зарядов, т. е. именуя один из них положительным, другой — отрицательным, мы тем самым фиксируем определенную систему отсчета, как говорят, в зарядовом пространстве. Ясно, что от того, какой из зарядов мы назовем положительным и какой отрицательным, ничто измениться не может. В общем смысле зарядовая инвариантность обязана соблюдаться безусловно. Более детальные свойства инвариантности по отношению к преобразованиям симметрии могут быть установлены только экспериментально. В этом заключается одна из центральных проблем современной физики элементарных частиц.

Философское значение этой проблемы в том, что ее решение позволит отделить в наших физических представлениях подлинные свойства объекта от свойств системы отсчета. Уже из повседневного опыта ясно, что знак времени есть его объективное свойство, в то время как знак пространственной координаты есть свойство системы отсчета. Многие физики полагали, что необратимость времени должна проявляться только в вероятностных процессах, а законы элементарных процессов должны быть инвариантны по отношению к перемене знака времени. Но подобная частная инвариантность является всего лишь изящной гипотезой. Никакого принципиального значения она не имеет. На самом деле последние тонкие эксперименты по физике элементарных частиц поставили эту гипотезу под сомнение. Однако никаких принципиальных трудностей от этого не возникло.

Строго доказана лишь одна фундаментальная теорема о зеркальной инвариантности. Эта СРТ-теорема гласит, что физические законы должны тождественно сохраняться при одновременном изменении знаков пространственной координаты, всех зарядов и времени. Качественный смысл этой теоремы пока не вполне выяснен. Возможно, что он связан с произвольностью выбора знака заряда.

Последние достижения физики элементарных частиц связаны с дальнейшим обобщением понятия симметрии. Ищутся соотношения, инвариантные уже не только к простой симметрии отражения, но и к более сложным преобразованиям симметрии, которые формулируются с помощью математической теории групп. Именно таким методом удалось построить систематику элементарных частиц и найти закономерности в их массах.

Инвариантность и законы сохранения. Диалектический характер методологии современной физики с особенной яркостью проявляется в соотношении между физическими законами и принципами инвариантности. Выше мы говорили о предложенной Вигнером схеме, в которой принципы инвариантности считаются высшим уровнем физического познания в сравнении с законами природы. Однако развитие теоретической физики показало, что существует целый класс физических законов, каждый из которых непосредственно следует из одного из общих принципов инвариантности. Речь идет об основных законах сохранения^[10]. Инвариантность по отношению к смещению системы отсчета во времени дает закон сохранения энергии, к смещению в пространстве — закон сохранения импульса (количества движения), к повороту в пространстве — закон сохранения вращательного момента (момента количества движения). Градиентная (калибровочная) инвариантность приводит к закону сохранения электрического заряда. С точки зрения логической стройности теории представляется естественным, чтобы и законы сохранения числа барионов и лептонов выводились из соответствующих принципов инвариантности. Однако попытки ввести с этой целью аналоги градиентной инвариантности для сильных и слабых взаимодействий пока к решающему успеху не привели.

Связь законов сохранения с принципами инвариантности дает рациональное объяснение тому особому положению, которое они занимают в общем ряду физических законов. Давно стало ясным, что законы сохранения отличаются исключительной фундаментальностью. Естественно искать их корень в общих принципах философского характера. Для механического материализма были характерны такие формулировки, как «масса есть мера количества материи», после чего закон сохранения массы объявлялся прямым следствием неуничтожимости материи. По существу подобные взгляды мало отличались от оствальдовского энергетизма, в котором материя отождествлялась с энергией. В обоих случаях ошибка заключалась в метафизическом смешении понятия материи как субстанции с физическими величинами (масса, энергия), характеризующими ее конкретные количественные свойства. Связь инвариантности с законами сохранения позволяет дать диалектическое истолкование их фундаментального значения. Они оказываются проявлением общих принципов инвариантности, связанных либо с фундаментальными геометрическими свойствами пространства — времени (однородность и изотропность в бесконечно малом), либо со свойствами основных физических взаимодействий (градиентная инвариантность потенциалов).

6. Метод моделей. Математизация физики

Математические модели. Постигая новые явления природы, переходя к небывало малым и большим масштабам в пространстве и времени, физика должна создавать новые понятия. Но понятия не могут строиться из ничего. Для понимания нового необходимо исходить из аналогий с уже известным. В прошлом для этой цели широко использовался метод наглядных аналогий или моделей. Так, атом мыслили вначале как маленький кусочек вещества, неделимый, но сохраняющий все прочие привычные свойства. Позже атом представляли себе как подобие планетной системы, где электроны вращаются по определенным орбитам. Однако опыт и расчет показали то, чего и следовало ожидать. Явления, происходящие в новых масштабах, потребовали для своего описания принципиально новых понятий, не имеющих наглядной аналогии в нашем повседневном опыте. Физика, как наука количественная, стала брать модели для этих понятий из привычного ей математического аппарата, а в дальнейшем — и из «чистой» математики. Этот путь оказался очень плодотворным, и на нем были достигнуты большие успехи. В очень многих случаях в выборе надлежащих математических моделей большую помощь оказали соображения инвариантности.

Так, для построения теории пространства, времени и тяготения Эйнштейн воспользовался готовым математическим аппаратом тензорного анализа, выведенным именно из соображений инвариантности. Основными физическими понятиями ОТО являются фундаментальный метрический тензор и тензор энергии-импульса. Нередко один и тот же физический объект может быть описан различными равноправными математическими моделями, взятыми из разных областей математики. Так, в данном случае аналитическому понятию математического тензора эквивалентно геометрическое понятие кривизны четырехмерного пространства — времени. Наряду с аналитическим аппаратом тензорного исчисления для описания тех же явлений используется и аппарат неэвклидовой геометрии Лобачевского — Больяи — Римана, созданной за много десятилетий до этого.

Основные понятия квантовой механики строятся на базе математической теории собственных чисел и собственных функций. Эта теория была разработана для решения дифференциальных и интегральных уравнений в граничных условиях. Во многих случаях решение оказывается возможным только для определенного набора значений коэффициентов уравнения. Эти значения называются собственными числами, а соответствующие им решения — собственными функциями. Замечательнейшее экспериментальное открытие современной квантовой физики состояло в том, что многие физические величины (например, энергия атома) могут принимать только дискретные (квантованные) значения. Оказалось, что эти дискретные значения соответствуют собственным числам уравнений, которым подчиняются волновые функции. Так началось создание современной квантовой механики.

Роль готового математического аппарата в развитии ряда разделов современной физики подробно рассмотрел К. И. Щелкин^[11]. То, что понятия «чистой» математики оказываются пригодными для описания широкого круга вновь открываемых явлений природы, имеет глубокий философский смысл. Это означает, что человеческий интеллект, будучи продуктом развития общества, одновременно является произведением природы и сам действует по ее законам, даже и создавая такие творения «чистого разума», как абстрактная математика. Эту мысль очень изящно выразил Джинс: «Мы можем быть уверены, что матрицы и тензоры с их отвратительной сложностью и все головоломки, которые мы вынуждены измышлять, приходят к нам от внешнего мира»^[12].

Мы не можем, однако, быть уверенными, что так обстоит дело со всеми разделами математики. Некоторые из них, как, например, теория чисел, не обогатили пока физическую картину мира новыми понятиями, и нельзя определенно утверждать, что содержание этих разделов отражает глубокие закономерности природы.

Методы теории групп. Прекрасным примером диалектики количества и качества может служить применение к физике такого своеобразного раздела математики, как теория групп. В математике — науке по определению количественной — этот раздел является наиболее качественным. Абстрактная теория групп изучает совокупности произвольных элементов, на которых заданы определенные операции. Элементами группы могут быть, в частности, и преобразования — например, связанные с изменением системы отсчета. Именно поэтому теория групп представляет собой самый общий математический аппарат для исследования проблем инвариантности. Исследуя качественные по своему существу свойства преобразований, теория групп выражает их на количественном языке: с помощью представлений, которые выражаются в виде численных таблиц (матриц) и математических выражений, которые так и называются инвариантами. Каждый постулат инвариантности можно определить как инвариантность по отношению к определенной группе преобразований: для геометрической инвариантности в трехмерном пространстве это — группа Галилея, в четырехмерном пространстве— времени — группа Лоренца и т. д.

Физические модели. Если одна и та же математическая модель описывает различные физические явления, то каждое из этих явлений может служить моделью для другого. Примером может быть волновая функция в квантовой механике. В физике хорошо известен ряд процессов распространения волн: звуковые, электромагнитные волны и т. д. Если волновой процесс возбуждается в ограниченном пространстве, то в результате отражения от границ в нем возникают стоячие волны. Период колебания определяется при этом условием, что от границы до границы должно уложиться целое число длин волн. Такая замкнутая колебательная система называется резонатором и имеет большое значение в радиотехнике сверхвысоких частот.

Собственные частоты резонатора соответствуют собственным числам волнового уравнения, так же как и уровни энергии атома. В этом смысле можно сказать, что резонатор является моделью атома и что уровни энергии атома подобны стоячим волнам (отсюда и название «волновая функция»).

Лежащую в основе ОТО модель искривленного пространства— времени можно также рассматривать как обобщенную физическую модель. Двухмерное искривленное пространство легко осуществить: это — поверхность мыльного пузыря или резинового мяча. Свойства этой модели до известной степени могут служить аналогией свойств искривленного четырехмерного пространства— времени ОТО. Конечно, аналогия здесь уже далеко не точная.

Использование физических моделей позволяет сообщить представлениям современной физики некоторый элемент наглядности. Но, конечно, понятия, отражающие то, что происходит в непривычных для нас масштабах, далеко не всегда могут представляться нам наглядными. Чтобы освоиться с этими понятиями — нужно к ним привыкнуть.

Математические мифы. В истории науки известны случаи построения таких математических и даже физических моделей, которые, казалось, правильно описывали количественные закономерности природы, но впоследствии оказались неверными. Классический пример — модель планетной системы Птолемея с ее «хрустальными сферами». Любопытно, что Кеплер, не удовлетворившись открытыми им законами движения планет, пытался объяснить и размеры их орбит математической моделью, составленной из правильных многогранников^[13]. Французский исследователь Ж. Маритэн^[14] считает нужным специально предостеречь физиков от создания подобных «математических мифов». Приходится, однако, отметить, что приводимые им конкретные примеры малоубедительны. Так, он считает математическим мифом калорию — единицу количества тепла, поскольку в современной физике теплота как субстанция не фигурирует. Но ведь на самом деле калория — первая из известных науке единиц энергии, сохранившая (в несколько другой интерпретации) важное значение в современной физике. Еще менее убедительно выглядит утверждение, что во времена Дальтона говорить о реальности атомов значило создавать «математический миф». Если обратиться к фактам истории науки, то придется сделать вывод, что математические мифы встречаются в ней несравненно реже, чем плодотворные математические модели и что в ходе исторического развития вероятность появления математических мифов неуклонно падает.

7. Принципиальное значение приближенных методов. Приближенная инвариантность

В современной физике широко используются приближенные методы, в особенности для рассмотрения предельных случаев, когда некоторыми величинами можно пренебречь. Приближенные методы помогают найти решение задачи в тех случаях, когда точный расчет связан с большими математическими трудностями. Однако этим отнюдь не исчерпывается их значение. Дело в том, что очень многие важные физические понятия сами по себе являются приближенными и принципиально не могут быть получены из точной теории. Таким образом, приближенная теория оказывается значительно богаче физическим содержанием, чем точная. Простейший и очень общий пример — понятие стационарного состояния. В очень многих случаях состояние физической системы медленно меняется со временем. Если этим изменением пренебречь, то возникает целый ряд приближенных, но весьма плодотворных физических понятий, характерных для стационарных состояний.

Возьмем два конкретных примера, один из классической, другой из квантовой физики. Первый относится к такому простому понятию, как взрыв. По совершенно точной теории во всяком взрывчатом веществе в любых условиях протекают те же химические реакции, что и при взрыве, только скорость их невообразимо мала. Можно рассчитать, что если держать взрывчатое вещество без поджигания и на холоде миллионы лет, то результатом будут те же превращения вещества, что и при взрыве. Но не только практически, а и принципиально чрезвычайно важно, что при взрыве эти процессы протекают быстрым самоускоряющимся образом, а вне области взрыва — крайне медленно. Для того чтобы выявить эти различия, строится приближенная теория, в которой пренебрегают некоторыми малыми величинами. В этом приближении состояние вне области взрыва описывается как стационарное. Только после этого такие понятия, как взрыв, воспламенение, распространение пламени, получают строгое количественное определение. Только в этом приближении возникает вообще теория горения, в то время как общая и формально точная теория неизотермического протекания химических реакций гораздо беднее физическим содержанием. Второй пример касается энергии атома в квантовой теории. В точной теории стационарным является только низшее из всех возможных состояний атома. Возбужденные состояния, строго говоря, нестационарны, и по точному смыслу законов квантовой теории для них энергия вообще не имеет определенного значения. Вся теория возбужденных состояний и спектральных линий строится в приближении, в котором пренебрегают этой нестационарностью.

Наиболее общая и точная физическая теория — самая бедная по конкретному содержанию. В ней нельзя дать ответ на великое множество вопросов. Лишь вводя различные приближения — полагая скорость света бесконечно большой, квантовую постоянную — бесконечно малой, — можно обогатить теорию множеством физических понятий. Этот дедуктивный путь построения физической теории (обратный индуктивному историческому) подробно разобрал В. А. Фок в своей замечательной работе^[15]. Он исходит из квантовой электродинамики, как общей теории, наиболее свободной от приближенных допущений. Эта теория оперирует только весьма расплывчатыми и малосодержательными объектами — квантовыми полями. В ней не имеет точного смысла даже и такое фундаментальное понятие, как число частиц в физической системе, так как оно непрерывно меняется из-за процессов образования и аннигиляции пар. Только если пренебречь взаимодействием между частицами и излучением, приобретает строгий смысл понятие о механической системе (например, атоме), ее массе, заряде и стационарных состояниях (уровнях энергии). Математически указанное приближение эквивалентно пренебрежению малой безразмерной величиной 1/137 (постоянная тонкой структуры) и ее высшими степенями. Однако оно позволяет определить уровни энергии только для системы в целом. Понятие о состояниях отдельных электронов возникает лишь после введения следующего приближения — метода самосогласованного поля (Хартри — Фока). Приближенные методы теории возмущений позволяют ввести понятия спиновых инвариантов и химической валентности. Далее следует квазиклассическое приближение (метод Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна), приводящее к правилам квантования. Последним звеном в этой цепи является приближение классической механики, в котором возникают понятия траектории частицы, определенных значений всех физических величин, механической причинности, объективного описания детального хода физических процессов. Другая линия приближений — переход к нерелятивистской теории — приводит к таким понятиям, как раздельность пространства и времени и абсолютная одновременность. Исторический ход развития науки шел в обратном направлении — от приближенных теорий к точным и требовал отказа от старых привычных понятий, что психологически всегда труднее, чем простое усвоение новых.

Новейшее развитие физики элементарных частиц связано с сочетанием двух мощнейших методологических направлений: приближенных методов и идеи инвариантности. Исходная идея приближенной инвариантности очень проста, хотя развитие ее и привело к тончайшим достижениям современной физической мысли. Если в одной и той же системе проявляются взаимодействия разной силы, то при учете только самого сильного из них состояние системы окажется приближенно инвариантным к изменению параметров, влияющих на более слабые взаимодействия. Важнейший пример — пренебрежение электростатическим (кулоновским) или электромагнитным взаимодействием при наличии сильного (ядерного) взаимодействия. Протон и нейтрон рассматриваются тогда как два зарядовых состояния одной частицы — нуклона. Атомные ядра с одинаковым полным числом нуклонов (изобары) должны в этом приближении обладать одинаковыми свойствами, что следовало бы называть изобарической, но по традиции называют изотопической инвариантностью. Слабое влияние электрических сил приводит к небольшим различиям в свойствах таких ядер, образующих изотопический (правильнее изобарический) мультиплет. По аналогии со спектроскопией атома компонентам этого мультиплета приписывают разные значения изотопического (правильнее изобарического) спина. Дальнейшее обобщение этих идей привело к классификации элементарных частиц — одному из высших достижений современной физики.

8. Роль вычислительных машин

В наш век кибернетики методология всех областей знания испытывает революционные изменения под влиянием столь мощных орудий численного счета, какими являются электронные быстродействующие вычислительные машины.

Новые методы вычислительной математики вторглись и в область теоретической физики.

Появился новый термин «вычислительный эксперимент». Самые сложные процессы стали доступны прямому математическому моделированию. Уравнения, которые «не интегрируются», интегралы, которые «не берутся», никого более не пугают. Особенно важное принципиальное значение имеет возможность вычислительного моделирования вероятностных процессов посредством метода статистических испытаний (или, как его любят называть, «метода Монте-Карло»).

Необходимо, однако, трезво оценивать роль и возможности вычислительных машин, не впадая в преувеличения, которые иногда допускаются в этом вопросе. Приходится встречаться с утверждениями, что раз машина может точно решить любое уравнение, то якобы исчезает надобность в приближенных методах. Мы только что видели, сколь беспочвенна подобная точка зрения.

Точное численное решение конкретного варианта задачи может иногда удовлетворить инженера, но никогда — ученого. Численный расчет описывает отдельные конкретные случаи, но никогда не дает полной картины явлений. Появление быстродействующих вычислительных машин резко повышает роль и значение теории подобия, которая становится средством обобщения не только экспериментальных данных, но и результатов численных расчетов. Но и приближенные аналитические методы полностью сохраняют свое значение, их мощь только возрастает от сочетания с численными методами. Вычислительная машина очень часто дает численные коэффициенты или поправочные члены к формулам, которые без нее были бы бесплодными. И наконец — и эго самое важное, — как мы видели, приближенные методы не только дают численные ответы, но и формируют новые физические понятия, к чему машина уж никак не способна.

9. Диалектика общего и частного в методологии теоретической физики

Рассмотренные в настоящей статье методы являются частными по отношению к общим методам естественных наук. В то же время для самой физики это общие методы. По отношению к ним частными оказываются методы специальных разделов теоретической физики: классической механики, гидродинамики, термодинамики, статистической физики, физической кинетики, квантовой механики, классической и квантовой теории поля. В то же время каждый из них применим не только в частной области, для которой он был разработан, но приобретает и общее значение, как метод подхода к любым задачам физики. Так, метод феноменологической термодинамики, заключающийся в выводе всевозможных следствий из наименьшего числа фундаментальных принципов, дает важные результаты в применении к атомному ядру. Методы классической механики, разработанные для макроскопических тел, позволяют в разумном приближении рассчитывать траектории движения молекул или атомов в газе и даже элементарных частиц в ускорителях. Статистическая физика, разработанная как теоретическая основа молекулярной физики, находит себе применение как в теории электрического тока, так и в теории излучения. Множественное рождение элементарных частиц при столкновениях высокой энергии рассчитывается на основе статистических и даже термодинамических методов. Поучительный пример взаимопроникновения различных частных методов представляет теория диффузии (молекулярного перемешивания). В принципе она должна относиться к физической кинетике, но строгие методы этой дисциплины дают решения только для идеальных газов и притом в весьма сложном виде. Общее описание всех случаев диффузии дает феноменологическая теория, основанная на термодинамике необратимых процессов, но ее результаты имеют слишком абстрактный характер. Наиболее конкретное описание важнейших процессов диффузии получается приближенным методом многокомпонентной гидродинамики, рассматривающей процесс перемешивания как течение каждого компонента смеси относительно остальных, тормозящееся силами взаимного трения. Наконец, при низких температурах, когда квантово-механические длины волн сравниваются с длинами свободного пробега, диффузия описывается квантовым кинетическим уравнением, основанным на сочетании квантовой механики и физической кинетики.

10. Физика и общее мировоззрение

Роль физики в развитии наших представлений об общей картине мира общеизвестна и очевидна. Всем ясна и ее практическая роль в обеспечении власти человека над природой. Но не всегда правильно оценивается значение самих физических методов для общего мировоззрения и прежде всего для теории познания (гносеологии). Как видно из сказанного выше, современная физика на основе беспристрастного изучения природы выработала мощные методы научного анализа, которые могут иметь ценность и далеко за пределами сферы их прямого назначения. В этих методах, независимо от воли их творцов, стихийно проявляется материалистическая диалектика.

Понятие инвариантности позволяет отделить объективное содержание законов природы от произвольной, субъективной формы их выражения. Математические модели помогают формировать и усваивать новые непривычные понятия, далекие от повседневного опыта обыденной жизни. Соотношение между точными и приближенными методами, между аналитическими и численными расчетами помогает понять диалектику научного познания.

Методы современной физики учат нас отказаться от наивных представлений, что всякое знание должно быть наглядным, что точное знание всегда лучше приближенного, что абсолютное всегда ценнее относительного, что часть всегда должна быть проще целого и т. д. Во всем этом ярко проявляется диалектический характер современного научного мышления.

1. В. И. Ленин. Полное собрание сочинений, т. 29, стр. 98—99. ↑
2. Е. Вигнер. События, законы природы, принципы инвариантности. «УФН», т. 85, 1965, стр. 727. ↑
3. Л. И. Седов. Методы подобия и размерности в механике. М., 1957. ↑
4. С. Р. Smyth. Life and work at the great pyramid. London, 1867. ↑
5. В общей теории относительности пространство в целом перестает быть однородным, но однородность сохраняется в бесконечно малом, что достаточно для инвариантности. ↑
6. См., например: В. А. Фок. Принципы механики Галилея и теория Эйнштейна. «УФН», т. 83, вып. 4, 1964, стр. 578. ↑
7. В. А. Фок. Теория пространства, времени и тяготения. М., 1955. ↑
8. Под пространством здесь понимается пространство — время, а однородность в общем понимании включает и изотропность. ↑
9. А. Траутман. Общая теория относительности. «УФН», т. 89, вып. 1, 1966, стр. 9. ↑
10. Е. Вигнер. Симметрия и законы сохранения. «УФН», т. 83, 1964, стр. 732. ↑
11. К. И. Щелкин. Математика и физика. «Природа», 1966, № 1, стр. 1. ↑
12. Цит. по кн.: U. Filippi. Matiére, rayonnement, énergie. Paris, 1966, p. 13. ↑
13. Дж. Дайсон. Математика и физика. «УФН», т. 85, 1965, стр. 351. ↑
14. U. Filippi. Matiére, rayonnement, énergie, Paris, 1966. ↑
15. В. А. Фок. О принципиальном значении приближенных методов в теоретической физике. «УФН», т. 16, 1936, стр. 1070. ↑