О причинности в современной теории поля

Принцип каузальности имеет фундаментальное значение в науке как простейшая форма связи явлений. Особенно велико значение принципа причинности для физики, причем не только в общефилософском смысле; важнейшее значение имеет и та математическая форма, в которой выражается причинность. В современной физике математическая форма причинности основывается на двух физических идеях: идее однородного и изотропного пространства-времени Эйнштейна — Минковского и идее переноса взаимодействия физическими полями (электромагнитным полем, полем мезонным, нейтринным и т. п.).

Вместе с тем известно, что применение этих принципов к особо малым расстояниям и малым промежуткам времени приводит к физически нелепым выводам: энергия взаимодействия частиц на малых расстояниях и собственная энергия частиц оказываются бесконечно большими. Этот неудовлетворительный вывод возникает как в квантовой, так и в классической физике и, возможно, указывает на общее для обеих концепций происхождение трудностей^[1].

1. Причинность в классической физике

В классической физике распространение слабого (линейного) сигнала из мировой точки P₁ (x₁ t₁) в мировую точку Р₂ (x₂ t₂) определяется функцией Грина G, которая есть функция разности координат точек P₁ и Р₂:

x = x₁ — x₂, t = t₁ — t₂.

В этом выражается однородность пространства-времени. Требование изотропности пространства-времени приводит к тому, что функция Грина должна зависеть не просто от разностей х и t, но и от четырехмерного интервала s² = x² — t². Наконец, оказывается возможным ввести направление времени ε и направление по пространственному лучу η:ε = t/|t|±1, η = 0 для s² < 0 и η = x/|x| ±1, ε = 0 для s² > 0.

Итак, функцию Грина можно написать в виде

𝔊 = 𝔊 (s², ε, η). (1)

Эта функция является инвариантом преобразования Лоренца. Теперь дополнительно накладываются требования причинности: 1) сигнал не может распространяться со скоростью, превышающей скорость света; 2) сигнал распространяется только из прошлого в будущее. Эти требования приводят к дальнейшей специализации функции G.

(2)

Область пространства-времени, где функция Грина отлична от нуля. На рис. а заштрихована область пространства-времени, допустимая по обычной теории для распространения сигналов, исходящих из точки Р. На рис. б двойной штриховкой показана область возможной аномальной причинности (например, эллиптический тип уравнения поля).

На рисунке показана область пространства-времени, где функция G отлична от нуля. Заметим, что фурье-компонента от G (s², + 1,0), обозначенная нами через G (ω, k), зависит только от инварианта m² = ω² — k² (G (ω, k) = F ω² — k²)) и отлична от нуля лишь при m² > 0. Для m² < 0 мы получили бы функцию G (s², 0, +1), отличную от нуля в пространственно подобной области и, следовательно, приводящую к сигналам, распространяющимся со скоростью, большей скорости света.

Опыт показывает, что при больших х и t (асимптотически) волновое поле всегда допускает корпускулярное толкование, а это означает, что в бесконечности мы имеем набор волн с дискретными значениями величины

m² = m₁², m₂², . . . , m_s², . . . , ≥ 0^[2].

Фурье-компонента F (ω² — k²) имеет полюса при ω² = k + m_s², а функция G (s², + 1,0) — особенности вида σ(s²). В силу свойств интервала s² эта особенность перенесется и в область малых х, t (лишь бы s² = 0) и там приведет к нежелательным бесконечностям.

Таким образом, физически оправданные для больших х и t предположения об изотропности пространства и времени сами собой переносятся в область бесконечно малых x и t.

2. Причинность в квантовой физике

Квантовая теория, как это ни странно, во всех основных чертах сохраняет классическую концепцию причинности. Именно в квантовой теории распространение сигнала (или взаимодействия) также определяется функцией Грина D_c (s²) (которая также называется причинной функцией). Эта функция связывает квантовый переход в окрестности точки Р₁ с квантовым переходом в окрестности точки Р₂^[3].

В отличие от классической функции Грина эта функция не равна нулю и для s² > 0, однако лишь в масштабах (комптоновской длины волны частицы). Чтобы можно было зафиксировать факт испускания сигнала (кванта) с положительной энергией из окрестности точки P₁ и факт поглощения его в окрестности точки Р₂, эти «окрестности» должны быть достаточно большими. Именно в соответствии с соотношением неопределенности для кванта-сигнала с энергией и импульсом размеры окрестностей точек Р₁ и Р₂ должны быть по времени Т ≫ h/E, по пространству L ≫ h/p.

Далее, эти окрестности не должны перекрываться (расстояние между ними |x| ≫ L и промежуток времени |t| ≫ T). Как было показано Фирцем^[4], для точечных частиц при этих условиях свойства функции Dс (s²) обеспечивают чисто классическую причинную связь между окрестностями точек Р₁ и Р₂, т. е. связь, эквивалентную той, которую дает функция Грина (s², + 1,0). В условиях, когда приведенные выше неравенства не выполнены, соотношения неопределенностей вообще не позволяют судить о характере причинной связи (что произошло позже, что раньше). Отличие от нуля причинной функции Dc (х) в пространственной области приводит к существованию пространственных форм-факторов элементарных частиц F (q), где q — передаваемый частице импульс.

В соответствии с таким форм-фактором частице можно приписать жесткое пространственное распределение зарядов и токов типа р (x) = ∫ F (q)^eiqx d³ q.

Такое жесткое распределение допускает распространение сигнала от периферии частицы к ее центру с бесконечно большой скоростью. Однако в работе^[5] было показано, что и в этом случае соотношение неопределенностей не позволяет «уличить» частицу в распространении сигнала за скоростью, большей скорости света. Несмотря на отмеченное отличие причинной функции Грина D_c (s²) от классической функции Грина 𝔊 (s², + 1,0), ситуация с особенностями в квантовой теории остается по существу такой же, как и в классической теории, особенности функций распространения, естественные для больших х и t, неумолимо переносятся в области малых масштабов пространства и времени.

3. Некоторые возможные обобщения причинной связи

Характер особенностей функций распространения указывает на необходимость отказаться от перенесения макроскопических законов распространения сигналов (взаимодействий) в область особо малых масштабов пространства- времени и попытаться видоизменить их. Сказанное выше о значении соотношения неопределенностей позволяет рассчитывать на возможность примерения обычной формы макропричинности с иными формами микропричинности в малых пространственно-временных областях.

Рассмотрим теперь некоторые возможные обобщения теории.

Нелинейная теория. Функции Грина, обладающие описанными выше особенностями, связаны с распространением слабых полей, подчиняющихся линейным уравнениям.

Как впервые было отмечено Борном^[6], сильные поля могут подчиняться другим, нелинейным уравнениям. В этом случае скорость распространения сигнала V зависит от силы и формы сигнала^[7].

Действительно, характеристики нелинейного уравнения, вообще говоря, отличны от прямых dx/dt = ±с, характерных для линейной теории. Поэтому скорость нелинейного сигнала V оказывается функцией напряженности ǝφ/ǝx, ǝφ/ǝt:

. (3)

Как было показано в работе^[8], в некоторых вариантах нелинейной теории величина V может сделаться мнимой, а гиперболическое уравнение для поля превратится в уравнение эллиптического типа. Вдали от источника и приемника сигнала (вдали от частиц) поле будет по-прежнему подчиняться линейному уравнению, а функция Грина будет иметь обычные особенности типа δ (s²). Однако в окрестности частиц, где поля велики, характер особенностей будет изменяться. Например, в случае превращения уравнения в эллиптическое особенность функции Грина при х = 0, t = 0 будет иметь вид 1/R², где R² = х² + t².

Это возможное изменение типа уравнения поля вблизи частиц напоминает ситуацию на крыле самолета, летящего со скоростью, близкой к скорости звука: как известно, там, где местная скорость потока, обтекающего крыло, превышает скорость звука, эллиптический тип уравнения превращается в гиперболический.

На рисунке б (стр. 366) показана область, где причинность может стать аномальной. Нарушение релятивистской инвариантности вблизи x = 0, t = 0 является только кажущимся и обусловлено точкой пространства-времени (где расположен источник поля), выделенной тем, что именно в ее окрестности нелинейное поле само формирует среду для своего распространения.

Возможность изменения типа уравнении для распространения поля в окрестности частиц, а вместе с этим и возможность изменения формы причинной связи является очень увлекательной. Однако никому еще не удавалось найти квантовый аналог этой модели теории поля.

Остается также нерассмотренным вопрос об изменениях определения длины отрезка и промежутка времени, которые могут повлечь за собой нелинейность в распространении сигнала. Определения Эйнштейна, безусловно, предполагают линейность сигнала.

Изменение причинности для малых масштабов пространства-времени. Мы видели, что в однородном пространстве-времени нельзя изменить закон причинной связи в малом, не изменяя его в большом. Возможный путь изменения подсказывается идеями нелинейности, освещенными выше. Отступление от обычных закономерностей распространения сигнала наступает не всюду, а лишь около источников и приемников сигнала, иными словами там, где однородность пространства нарушена расположенной там частицей. Это указывает на возможность нарушения обычных законов распространения сигналов вблизи частиц^[9].

Математически эта возможность осуществляется благодаря появлению новых инвариантов помимо s², ε, η. Действительно, с частицей или с системой взаимодействующих частиц связан вектор полной энергии-импульса Р (Е, р), который коммутирует с относительными координатами и с другими внутренними динамическими переменными^[10]. Помимо инварианта I₁ = s² возникают новые инварианты, такие, как I₂ = Р² = — m² (где m — масса покоя всей системы), I₃ = (Р, s), и др. Это позволяет образовывать новые инвариантные комбинации, например:

R₂ = I₁ + I₃²/I², (4)

T² = I₃²/I², (4′)

которые в системе центра масс переходят в r² и t² соответственно и в дальнейшем трансформируются согласно (4) и(4′)^[11].

В силу этого функция Грина, связанная с системой частиц, может быть записана в виде

𝔊 = 𝔊 (I₁, I₂, I₃). (5)

Наличие инвариантов I₂ и I₃ позволяет изменить поведение 𝔊 вблизи r,t = 0.

Рисунок (стр. 366) может быть использован для иллюстрации поведения функции G, которая при R² < a² имеет эллиптическую структуру, а при R² > a² переходит в обычную функцию Грина с сингулярностями на конусе s² = 0.

Подобным же образом может быть изменена и причинная функция D_c (s²), если ее связывать не с вакуумом, а с частицами, помещенными в вакуум и имеющими относительную координату x = x₁ — x₂ и суммарный импульс p = p₁ + p₂.

D_c = D_c (I₁, I₂, I₃). (6)

Полная схема подобного типа еще не разработана, и остается неясным, какой модели теории поля она соответствует. В частности, не исследовано, будет ли соблюдаться унитарность матрицы рассеяния.

4. Изменение метрики физического вакуума

Другие возможности для изменения формы причинности могут быть связаны с идеей об изменении геометрии нашего пространства-времени для малых пространственно-временных областей.

Одна из этих возможностей заключается в флуктуациях метрического тензора g_μν, которые в принципе могут быть вызваны флуктуациями нулевой энергии вакуума. Такого рода флуктуации приведут к флуктуациям пространственно-временного интервала:

(7)

Следовательно, все функции, такие, как 𝔊 (s²), D_c (s²), окажутся «размытыми»^[12]. Однако эти флуктуации, если исключить бесконечности, оказываются существенными в областях пространства-времени порядка

где х — гравитационная постоянная. Эти масштабы кажутся слишком малыми, чтобы играть существенную роль в мире частиц. Введение другого масштаба для флуктуации вакуума l₀ означало бы введение новой физической гипотезы, следствия и внутренняя непротиворечивость которой еще далеко не исследованы.

5. «Квантование» пространства-времени

Старая идея «квантования», пространства-времени^[13] воскресала несколько раз^[14]. Современные тенденции в развитии этой идеи покоятся на предположении о неевклидовом характере метрики в пространстве импульсов^[15]. Именно интервал в пространстве импульсов p₁, p₂, p₃, p₄ полагается равным

dσ² = a_μνdp_μdp_ν, (8)

Радиус кривизны этого метрического пространства играет роль предельного, обрезающего импульса Р₀. Канонически сопряженные с этими импульсами координаты обычного пространства-времени x₁, x₂, x₃, x₄ оказываются при этом операторами, некоммутирующими между собой:

[x_μ, x_ν] = ib_μν. (9)

Теория строится таким образом, что для масштабов l ≫ h/P₀ она переходит в обычную теорию. Ясно, что в этой теории концепция обычной причинности оказывается непригодной (по крайней мере в областях пространства-времени (∼h/P₀). Действительно, нельзя говорить о распространении сигнала из точки Р₁ (х₁’, х₂’, х₃’, x₄’) в точку Р₂ (х₁’’, х₂’’, х₃’’, x₄’’), если сами координаты этих точек остаются неопределенными. В этой теории процесс распространения сигнала приобретает физический смысл лишь для достаточно больших /х_μ/, когда можно пренебречь правой частью в выражении (9). Для меньших масштабов взаимосвязь явлений математически может быть описана только посредством пространства-импульсов. Теория квантованного пространства-времени не получила еще вполне последовательного развития.

6. Заключение

Принятая в современной теории форма причинности вытекает из основных пространственно-временных представлений. Она заимствована из макроскопической физики и в силу характера особенностей функций Грина автоматически переносится в бесконечно малые масштабы. Это приводит к появлению расходимостей (бесконечностей) для ряда важнейших физических величин, связанных с элементарными частицами.

Мы рассмотрели в этой работе некоторые предварительные теоретические схемы, которые, сохраняя макроскопическую причинность, существенно видоизменяют причинность для малых масштабов пространства-времени. Мы не знаем, какая из этих схем ближе всего подводит нас к истине.

1. Подробнее о причинности в микромире см.: Д. И. Блохинцев. Принципиальные вопросы квантовой механики. М., 1966; его же. Пространство и время в микромире. М., 1970. ↑
2. В квантовой теории поля величина т определяет массу частицы, связанной с рассматриваемым полем. ↑
3. См. Н. Н. Боголюбов, Д. Б. Ширков. Введение в теорию квантованных полей. М., 1957, §17. ↑
4. См. М. Фирц. О значении каузальной функции D_c в квантовой теории поля. — «Новейшее развитие квантовой электродинамики». М., 1954, стр. 239. ↑
5. Д. И. Блохинцев. Препринт Объединенного института ядерных исследований (далее ОИЯИ). Дубна, 1962. ↑
6. См. В. Гайтлер. Квантовая теория излучения. М., 1956. ↑
7. См. «Доклады АН СССР», т. 32, 1952, стр. 669; D. I. Blohincev. The Non-linear Field Theory and the Theory of Relativity. —«Nuovo Cimento Supplemento», ser. X, vol. HI, 1956, N 4, p. 629. ↑
8. Д. И. Блохинцев, В. В. Орлов. О распространении сигналов в нелинейной электродинамике. — «Журнал экспериментальной и теоретической физики», т. 25, 1953, вып. 5(11), стр. 513. ↑
9. См. Д. И. Блохинцев. Релятивистски-инвариантное обобщение законов взаимодействия элементарных частиц. — «Ученые записки МГУ», вып. 77, физика, ки. 3, 1945, стр. 101; Д. И. Блохинцев. Замечания о возможном релятивистски-инвариантном обобщении понятия поля. — «Журнал экспериментальной и теоретической физики», т. 16, 1946, вып. 6, стр. 480. ↑
10. Ю. М. Широков. Релятивистская теория свободных трехмерно протяженных частиц. — «Журнал экспериментальной и теоретической физики», т. 22, 1952, вып. 5, стр. 539. ↑
11. D. I. Blohincev, V. S. Barašenkov, V. G. Grišin. Elastic Scattering and Intrinsic Structure of Elementary Parties. — «Nuovo Gimento», ser. X, voL 9, 1958, N 2, p. 249. ↑
12. S. Deser. General Relativity and the Divergence Problem in Quantum Field Theory. — «Reviews of Modern Physics», vol. 29, 1957, N 3, p. 417; D. I. Blohincev. ππ Interaction in Peripheral πN Collisions. — «Nuovo Cimento», ser. X, vol. 18, 1960, N 1, p. 193. ↑
13. V. Ambarzumian and D. Iwanenko. Zur Frage nach Vermeindung det unendlichen Selbstrükwirkung des Electrons. — «Zeitschrift für Physik», Bd. 64, 1930, S. 563. ↑
14. N. S. Snyder. Quantizet Space-Time. — «The Physical Review», vol. 71, 1947, N 1, p. 38. ↑
15. См. В. Г. Кадышевcкий. К теории квантованного пространства-времени. — «Журнал экспериментальной и теоретической физики», т. 41, 1961, вып. 6 (12), стр. 1885; его же. Модель скалярной теории поля в квантованном пространстве-времени. Дубна, 1962. ↑