О материалистической сущности теории относительности

Введение

Материалистическое толкование теории относительности как физического учения о свойствах пространства и времени нельзя считать завершенным. Прежде всего следует отметить ошибочные попытки в этом направлении в работах некоторых наших физиков и философов.

Принцип относительности трактовался не как физический закон, а как положение идеалистической философии релятивизма, отрицающей, как известно, объективное содержание законов природы, открываемых наукой.

Делались попытки трактовать релятивистские изменения длины и времени как математические фикции. Утверждалось даже, что признание объективно реальными релятивистских изменений длины и времени, вытекающих из преобразований Лоренца, противоречит не только диалектическому материализму, но даже и материализму вообще. Таким образом, например, предлагалось признать математической фикцией вытекающее из преобразований Лоренца и наблюдаемое в опыте красное смещение линий в спектре движущихся атомов водорода, обусловленное замедлением временного ритма колебаний в атоме. Делалась попытка истолковать инерциальную систему отсчета не как систему координат, связанную с материальным телом, а как чисто математическое воображаемое построение.

Такого рода толкования теории относительности были в действительности далекими от материализма и правильного научного понимания физического содержания теории, что было хорошо показано в ряде статей В. А. Фока и А. Д. Александрова^[1].

Работы этих авторов были существенным шагом вперед в утверждении правильного понимания теории относительности как физического учения о пространстве и времени, отражающего объективную реальность природы. К сожалению, в этих исследованиях недооценивается значение общего принципа относительности как закона природы и все физическое содержание общей теории относительности сводится лишь к новому закону всемирного тяготения А. Эйнштейна, что, в сущности, равносильно отрицанию объективной реальности полей инерциальных сил. В связи с этим приписывается, с одной стороны, особо большое Принципиальное значение нековариантным (т. е. не удовлетворяющим общему принципу относительности), дополнительным к закону тяготения уравнениям, выделяющим особые «гармонические» системы координат, которые в противоречии с общим принципов относительности считаются преимущественными, и, с другой стороны, отрицается большое значение принципа эквивалентности полей инерциальных и гравитационных сил.

Дискуссия по воззрениям В. Фока, нашедшая отражение и в печати^[2], а также научная конференция физико-математического отделения АН СССР в декабре 1955 г., посвященная 50-летию теории относительности^[3], показали, что в понимании физического и философского содержания частной теории относительности среди наших физиков нет каких-либо существенных разногласий. Это находит свое отражение также и в научно-исследовательских работах, посвященных разнообразным применениям частной теории относительности, особенно в квантовой теории частиц и полей.

Однако физическое содержание общей теории относительности и особенно области ее применимости понимаются по-разному. Выше уже отмечалось особое толкование В. Фока.

Допустимость в общей теории относительности весьма широкого класса любых преобразований координат, в том числе и не соответствующих переходам от одних тел отсчета к другим, находящимся в состоянии относительного движения, истолковывается иногда как отсутствие в общем принципе относительности какого-либо физического содержания.

До настоящего времени почти не обращалось внимания на весьма трудные проблемы, которые возникают в связи с наличием в уравнениях тяготения четырех дифференциальных тождеств с проистекающей отсюда неопределенностью выводов теории о свойствах пространства и времени (или полей тяготения) в данной системе материальных тел. Эта неопределенность обычно устраняется введением в дополнение к уравнениям тяготения нековариантных или ковариантных уравнений, называемых координатными условиями, на выбор которых в теории, в ее существующем виде, не налагается каких-либо ограничений. Между тем разные координатные условия, вообще говоря, могут приводить к разным физическим следствиям.

Наконец, большинство физиков считает, что общая теория относительности имеет значение лишь для проблем астрономии и космологии и что отклонения свойств пространства и времени от галилеевских малы в процессах, связанных с движениями и превращениями элементарных частиц. Такой взгляд, по-видимому, нуждается в серьезном пересмотре и, во всяком случае, в самом внимательном обсуждении, так как представления о малости эффектов общей теории относительности в процессах с элементарными частицами основывается на соображениях, которые могут быть подвергнуты серьезной критике.

Физические и философские проблемы теории относительности тесно переплетаются между собой. Выяснение материалистической сущности теории относительности, а следовательно, установление ее содержания, отражающего объективную реальность природы, весьма важно с точки зрения дальнейшего совершенствования и развития теории и плодотворных ее применений, перспективы которых даже и сейчас с трудом поддаются обозрению.

1. История возникновения и развития теории относительности

На ранней стадии существования теории относительности противники ее пытались изобразить ее каким-то «модным» временным течением в физике, своего рода «футуризмом» в науке. В действительности, теория относительности, существующая уже более 50 лет, имеет глубокие корни, заложенные в предыдущих открытиях в области математики, физики, механики и астрономии, и поэтому для понимания этой теории необходимо знакомство, хотя бы краткое, с историей ее возникновения и развития.

Теория относительности возникла в начале XX в. в результате развития электродинамики (оптики) движущихся тел, в частности электронной теории. Она привела к глубокому преобразованию представлений о пространстве, времени и движении, господствовавших в физике со времен Ньютона.

Ньютоновы понятия пространства, времени и движения выражены Ньютоном в определениях, сформулированных в его «Математических началах натуральной философии»:

«1. Абсолютное, истинное математическое время само по себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью.

2. Абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным».

Таким образом, по Ньютону, пространство и время не являются формами существования материи, а существуют независимо от материи, вне всякой связи с ней, как пустые «вместилища» вещей и событий.

Далее Ньютон вводит понятие абсолютного движения в отношении абсолютного пустого пространства. Последнее рассматривается как некоторое нематериальное тело отсчета, в отношении которого совершаются движения.

Ньютоновы представления о пространстве, времени и движении, будучи метафизическими, хотя и односторонне, все же обобщали практический опыт его времени. Они находились в соответствии и с его воззрениями на материю, согласно которым последняя состоит из неизменных «абсолютно твердых» атомов, разделенных пустотой.

Идея Ньютона о несвязанности между собой пространственных и временных величин была еще до него неясно сформулирована Г. Галилеем, что нашло свое выражение в так называемых «преобразованиях Галилея». Как известно, эти преобразования связывают между собой пространственные и временные координаты одного и того же явления в двух инерциальных системах отсчета (х, у, z, t) и (х’, у’, z’, t’), движущихся друг относительно друга со скоростью v. Для частного случая движения одной системы отсчета в отношении другой вдоль оси х их можно написать в виде:

х’ = х — vt, у’ = у, z’ = z, t’ = t. (1)

При галилеевских преобразованиях остаются неизменными как пространственные расстояния, так и промежутки времени между любыми двумя событиями. Следовательно, в этих преобразованиях находит выражение сформулированное выше положение о независимости размеров тел и длительности происходящих в них процессов друг от друга и от состояния их движения. Как будет выяснено в дальнейшем, галилеевы преобразования применимы лишь к движениям тел со скоростями малыми по сравнению со скоростью света.

Однако это не означает, что ньютоновы представления о пространстве и времени как «пустых вместилищах» вещей и событий нашли применение в науке. В действительности, представление об абсолютном движении лишено какого-либо конкретного физического содержания, поскольку движение тела по отношению к «абсолютному пространству» ни в чем не проявляется. Так же метафизично и несостоятельно определение времени не как общего свойства длительности материальных процессов, а как длительности самой по себе, текущей независимо от материи и от процессов, в ней совершающихся.

Естественно, что ньютоновские определения абсолютного пространства и времени, как самостоятельных сущностей, не находили и не могли найти какого-либо конкретного применения в науке. Вместо метафизического ньютоновского времени в науке и практике пользовались реальным астрономическим временем, определяемым числом циклов какого-либо периодического материального процесса,— числом оборотов Земли вокруг оси, обращений Земли вокруг Солнца и т. п. Вместо системы отсчета, связанной с пустым неподвижным абсолютным пространством, в механике Ньютона всегда пользовались системами отсчета, которые связаны с материальными телами и которые с тем или иным приближением можно считать инерциальными: Земля, Солнце, скопления звезд и т. п.

Еще до работ Ньютона по механике Г. Галилей формулировал принцип относительности в виде положения об одинаковости законов механических явлений во всех инерциальных системах отсчета, что дало возможность при всех применениях механики относить движения именно к такого рода системам отсчета. Таким образом, наука с ее практическими применениями фактически всегда имела дело с движениями относительными, а не абсолютными.

Тем не менее ньютоновы понятия абсолютного пространства и времени нашли почти всеобщее распространение и признание. В XVIII в. Кант даже объявил их «самоочевидными», «априорными» понятиями, которые не могут быть подтверждены или опровергнуты опытом и существуют в сознании до опыта. Идеалистический характер учения Канта о пространстве и времени, конечно, очевиден.

Любопытно, однако, что XIX в. внес неожиданно в ньютоновское понятие метафизического «пустого пространства» некоторое, хотя и гипотетическое, но все же конкретное физическое содержание. Фарадей и Максвелл в учении об электричестве и в магнетизме ввели представление о некоторой универсальной мировой среде — эфире, смещениями и натяжениями в которой пытались объяснить электромагнитные (оптические) явления. Считалось, что эфир заполняет пустое пространство между частицами материи. Поэтому казалось возможным ньютоновское определение абсолютного движения в отношении пустого пространства рассматривать-как движение в отношении эфира — этой универсальной системы отсчета. Таким образом, понятие абсолютного движения приобрело в XIX в. хотя и гипотетический, но все же конкретный физический смысл.

Система отсчета, связанная с эфиром, должна быть особой, преимущественной по сравнению со всеми другими, связанными с телами, движущимися в отношении эфира, к числу которых принадлежит и Земля. По этой причине на Земле в ряде электродинамических (оптических) явлений должны были бы проявляться эффекты, вызванные движением Земли сквозь эфир. Так, например, свет, рассматриваемый как поток электромагнитных волн в эфире, должен был бы распространяться с разной скоростью в разных направлениях по отношению направления движения Земли, что приводило бы к смещению интерференционных полос, образованных двумя взаимно перпендикулярными пучками света, во вращающемся интерферометре. Попытки наблюдения такого смещения интерференционных полос и были осуществлены в опыте Майкельсона самим Майкельсоном и другими учеными.

Важно подчеркнуть, что в опыте Майкельсона, как и в ряде других опытов, произведенных в конце прошлого и в начале XX в., принципиально можно было измерить лишь квадрат отношения скорости Земли к скорости света, равный приблизительно 10^-8 (так называемый «эффект второго порядка»).

Однако все попытки обнаружить подобного рода эффекты экспериментальным путем как в опытах Майкельсона, так и в электродинамических опытах Троутона и Нобля и других — хотя их величина в принципе была доступна измерению — не привели к положительным результатам. Эти опыты не обнаружили существования какой-либо преимущественной системы отсчета, движение в отношении которой можно было бы назвать абсолютным. Оказалось, что на Земле, которую можно с достаточно хорошим приближением считать одной из инерциальных систем отсчета, все происходит так, как если бы она покоилась относительно гипотетического эфира.

Понятие абсолютного движения окончательно потеряло конкретное физическое содержание. Выяснилось, что реально существуют только относительные движения тел в отношении других материальных систем. По этой причине новое физическое учение о пространстве, времени и движении и получило название теории относительности.

Таким образом, развитие электродинамики (оптики), особенно электродинамики движущихся тел, привело к распространению принципа относительности с механических явлений на все другие физические процессы.

Опыты по электродинамике движущихся тел привели к установлению еще одного весьма важного факта — одинаковости скорости распространения света во всех инерциальных системах отсчета. Этот факт также вытекал из опыта Майкельсона, в котором сравнивались скорости распространения света по направлению движения Земли и в перпендикулярном к нему направлении. Измерения производились в разных положениях Земли на орбите, соответствующих отличающимся друг от друга инерциальным системам координат, как с земными источниками света, так и с источниками, не находящимися на Земле.

Сначала делались попытки распространить принцип относительности на электромагнитные (оптические) явления непосредственно в форме Галилея. Г. Герц предполагал, что справедливость законов электромагнитого поля (уравнений Максвелла) в любых инерциальных системах отсчета физически обусловлена тем, что гипотетическая среда (эфир), в которой совершаются электромагнитные процессы, увлекается движущимися заряженными телами подобно воздуху в закрытом движущемся вагоне. При этом Герц принимал, что уравнения Максвелла ковариантны относительно преобразований Галилея. Гипотеза Герца не выдержала экспериментальной проверки; она оказалась в противоречии с рядом опытов — опытом Физо с увлечением света движущейся водой, опытом Рентгена (повторенным А. А. Эйхенвальдом) с вращающимся диэлектриком и др.

Вследствие этого гипотеза Герца об увлечении эфира движущимися телами была отвергнута, уступив место гипотезе Л. Лоренца о неподвижном эфире, не увлекаемым движущимися телами. Согласно концепции Лоренца, движущееся тело как бы пронизывается эфиром, а поскольку электромагнитные явления происходят, По Лоренцу, в неподвижном эфире, течение электромагнитных процессов в различных инерциальных системах, если предположить справедливость преобразований Галилея, не может быть одинаково, что оказалось в противоречии с опытами по электродинамике движущихся тел, о которых говорилось выше (Майкельсон, Троутон и Нобль и др.).

Стремясь устранить эти противоречия, Лоренц и независимо от него Фитцджеральд выдвинули гипотезу о сокращении длины (и соответственно объема) тела в направлении его движения в зависимости от скорости тела по отношению к эфиру. Такое сокращение компенсировало бы ожидавшийся в опыте Майкельсона эффект изменения времени распространения света вдоль плеча интерферометра, расположенного в направлении движения Земли сквозь эфир, по сравнению с временем распространения светового луча в направлении, перпендикулярном первому. Однако Лоренц и Фитцджеральд относили это сокращение лишь к «абсолютному» движению.

В 1900 г. Лармор предложил формулы преобразования координат и времени, известные теперь под названием преобразований Лоренца. Работы Лоренца (1904), А. Эйнштейна и Пуанкаре^[4] (1905, 1906) заложили фундамент теории относительности. Лоренц показал одинаковость вида уравнений Максвелла для пространства без зарядов по отношению к лоренцевым преобразованиям, однако с добавочным неопределенным множителем. Пуанкаре выдвинул принцип относительности в виде всеобщего строгого положения и показал ненадобность множителя Лоренца в упомянутых преобразованиях, которые он привел, таким образом, к их современному виду. Одновременно он исправил неточные формулы преобразований тока и заряда, данные Лоренцем в работе 1904 г.

В наиболее полном и завершенном виде основы теории относительности были даны в работе А. Эйнштейна^[5], носившей заглавие: «К электродинамике движущихся тел», которое подчеркивало сугубо физический характер его исследования.

Эйнштейн формулировал принцип относительности и постоянства скорости света, вывел, исходя из них, преобразования Лоренца и разобрал основные приложения теории относительности в механике и электродинамике. Он уделил особое внимание критике старых представлений о равенстве пространственных размеров покоящихся и движущихся тел, абсолютности времени и одновременности в смысле их независимости от движения тел отсчета.

Обобщая принцип относительности и на ускоренные движения, Эйнштейн пришел к установлению общей теории относительности с новым законом всемирного тяготения в виде некоторой весьма стройной и строгой теории, сформулированной им в окончательном виде в 1916 г.^[6] Новая теория включает в себя, как частный случай, предыдущую в виде так называемой «частной» или «специальной теории относительности». В ней, в силу общего принципа относительности, вводится неэвклидова геометрия для реального физического пространства-времени и показывается, что физическая природа сил тяготения и инерции именно сводится к отклонению свойств пространства-времени от эвклидовых (точнее от псевдоэвклидовых). А. А. Фридман^[7], Л. Ландау и Е. Лифшиц^[8], В. А. Фок^[9] и другие советские ученые успешно развивали теорию относительности и ее применения в физике и астрономии.

Г. Вейль, сам А. Эйнштейн^[10], А. Эддингтон, Э. Шредингер, Б. Румер и другие, идя по пути дальнейших обобщений, пытались объяснить электромагнитные и мезонные (ядерные) силы введением более общих геометрических структур пространства-времени. Однако такие обобщения, называемые «едиными теориями поля», носили чисто формальный характер и не привели к каким-либо конкретным результатам. Мне думается, что причина этих неудач неслучайна и заключается (особенно, в явной форме у А. Эйнштейна) в противопоставлении выводимых из единой теории законов движения полей и частиц квантовым законам их движения.

2. Физические понятия и законы, лежащие в основе теории относительности

Одним из фундаментальных понятий в теории относительности является инерциальная система отсчета. Такой системой называется тело (или совокупность тел), в которой тело, не взаимодействующее с другими телами системы, движется равномерно и прямолинейно. Инерциальная система отсчета в природе реализуется всегда с той или иной степенью приближения в виде, например, Земли, солнечной системы с планетами, или, как будет разъяснено ниже, в небольшой области пространства-времени в свободно падающей без вращения системе отсчета, например, кабине лифта. В инерциальной системе отсчета можно избрать декартовскую систему координат х, у, z, связав начало координат с какой-либо точкой ее, например с центром инерции, понятие которого имеет вполне определенный смысл и в теории относительности (см. ниже § 4). Координаты х, у, z обозначают объективно реальные расстояния между двумя точками системы отсчета (например, расстояние от центра инерции тела до какой-либо его точки), выраженные отношением их к размеру какого-либо тела системы, принятого за единицу длины.

В телах К-системы могут происходить те или иные физические процессы, имеющие особого рода длительность, называемую временем. Время, очевидно, целесообразно измерять количеством циклов какого-либо периодического процесса, совершающихся в одном из тел К-системы. Такое тело называют часами, считая длительность цикла периодического процесса в нем за единицу времени. Часами, вообще говоря, может быть любое тело, покоящееся в К-системе, в котором свершается тот или иной периодический процесс: обыкновенные часы с балансиром, имеющим колеблющуюся пружинку; атом с колеблющимся в нем электроном и т. п. Время совершения того или иного физического явления, выраженное числом периодов колебаний, в таких часах обозначим буквой t.

Явление, совершающееся в определенной точке Р (х, у, z) пространства К-системы в некоторый момент времени t, называется событием; например, кратковременный взрыв какого-либо вещества, занимающего небольшой объем, в данной точке пространства; испускание светового сигнала точечным источником света и т. п.

Всякое другое явление, совершающееся в конечной области пространства за конечный промежуток времени, может рассматриваться как совокупность конечного или бесконечно большого числа событий.

Это обстоятельство позволяет рассматривать события, как точки некоторого пространства четырех измерений с координатами (х, у, z, t). Оно оказывается псевдоэвклидовским. В инерциальных системах отсчета без полей тяготения, следуя Г. Минковскому, можно ввести мнимую координату времени. Тогда, если положить

x₁ = х, х₂ = у, х₃ = z, x₄ = ict, (2)

квадрат расстояния ds между двумя бесконечно близкими событиями будет определяться формулой, одинаковой во всех инерциальных системах отсчета:

ds² — dx₁² + dx₂² + dx₃² + dx₄² (3)

и, соответственно, в действительном виде:

ds² = dx² + dy² + dz² — c²dt² = dr² — c²dt², (3a)

причем ds² будет инвариантом (или скаляром), т. е. величиной, численно одинаковой во всех инерциональных системах отсчета, и называется «интервалом».

В методических целях удобно сначала формулировать основные физические законы теории относительности в менее общем виде, ограничиваясь рамками так называемой «частной» или «специальной» теории относительности, применимой лишь к инерциальным системам отсчета без полей тяготения. В этом случае можно ограничиваться использованием «галилеевских координат», в которых выражения для интервалов имеют форму (3) или (За).

Физические законы, лежащие в основе такой более узкой теории, можно формулировать следующим образом:

1. Законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета (частный принцип относительности).

2. Скорость света в вакууме во всех инерциальных системах отсчета одинакова (принцип постоянства скорости света).

Тогда, полагая в (3) и (За) постоянную с, равной скорости света и считая ds² инвариантом, получим, согласно положению 2, одинаковое во всех инерциальных системах координат дифференциальное уравнение распространения света:

ds² = dr² — c²dt² = dx_αdx_α = 0, (4)

в котором здесь и во всех случаях далее по двум греческим значкам, встречающимся дважды, подразумевается суммирование от 1 до 4 (α = 1, 2, 3, 4).

Для выполнения положения 1 (принципа относительности) необходимо инвариантность интервала ds² с соблюдением его формы (3) или (За) во всех инерциальных системах координат, для чего необходимо и достаточно избрать линейные преобразования галилеевских координат при переходе от одной из таких систем к другой К’, движущейся в отношении первой со скоростью v, в виде так называемых преобразований Лоренца

x’_μ = α_μx_ν + b_μ, (5)

с коэффициентами, удовлетворяющими условиям ортогональности

, (26)

При выборе пространственных координат х₁’ и x₁ так, чтобы движение одной системы отсчета в отношении другой сводилось к скольжению оси х₁’ = x₁ вдоль оси х₁ = x со скоростью — v, и введении вещественных координат времени t’ и t преобразования Лоренца (5) запишутся в виде:

, (27)

Положение первое — принцип относительности — сводится не только к утверждениям, касающимся пространства и времени, но и к требованию одинаковости законов природы во всех инерциальных системах отсчета.

С точки зрения математики выполнение этого требования обеспечивается одинаковостью их математической формулировки во всех инерциальных системах отсчета, что называется ковариантностью уравнений, выражающих физические законы, по отношению группы Лоренца преобразований (5). Для этого оказывается необходимо и достаточно, чтобы законы природы формулировались в виде равенств нулю особых величин — тензоров.

Тензором называют совокупность величин, являющихся функциями координат х, у, z, t точки Р пространства-времени, т. е. образующих поля в пространстве времени, и преобразующихся при переходе от одних координат x_μ к другим x’_μ. по закону:

, (8)

где – компоненты тензора в старой системе координат k, — соответственно в новой k‘. Общая сумма значков r + s вверху и внизу называется рангом тензора. Входящие в (8) производные — dx’_ε/dx_α, dx_ϒ/dx’_μ и другие вычисляются из формул преобразования координат и другие вычисляются из формул преобразования координат

x’_μ = f_μ (x₁, x₂, x₃, x₄), (9)

которые в частной теории относительности являются преобразованиями Лоренца (5) с не зависящими от координат коэффициентами, удовлетворяющими условиям (6).

Согласно определению тензора (8), его компоненты в новой системе координат выражаются линейно через компоненты в старой и поэтому, если все компоненты тензора в старой системе координат равны нулю, то они будут равными нулю в любой новой системе координат. Именно в силу этого простого, но исключительно важного обстоятельства, законы природы, выражаемые равенствами нулю некоторых тензоров, будут выполняться во всех системах отсчета.

Замечательно, что частная теория относительности не выдвигает каких-либо новых физических законов, а лишь сводится к требованию формулировки их в ковариантном виде по отношению к преобразованиям Лоренца.

Такая формулировка приводит, однако, к исключительно важным и принципиально новым физическим следствиям весьма общего характера, как, например, изменению массы со скоростью

(10)

замечательному закону взаимосвязи массы и энергии

W = mc² (11)

и другим, подтверждаемым с исключительно большой точностью опытом. Поэтому принцип ковариантности законов природы (или принцип относительности) отражает объективные закономерности природы, связанные с объективно реальными свойствами пространства и времени, открытыми современной физикой. Универсальность принципа ковариантности, выражающаяся в том, что он является своеобразным «законом законов природы:», связана с тем, что все материальные явления протекают в пространстве и времени, и поэтому принцип относительности, отражающий вместе с принципом постоянства скорости света, закономерность пространственно-временных отношений материальных объектов и процессов, в них происходящих, естественно приобретает особого характера общность в отношении других законов природы.

Однако инерциальные системы отсчета, вообще говоря, представляют идеализированные объекты, реализующиеся в природе с той или иной степенью приближения и, в частности, точно лишь в бесконечно малых областях пространства-времени. Поэтому частная теория относительности, несомненно, даже принципиально должна иметь ограниченную область применимости, связанную с возможностью применения идеализированных (инерциальных) систем отсчета, и приходится, вообще говоря, удивляться тому, что эта теория оказалась имеющей столь огромную область приложений в области механики, электродинамики (оптики), атомной и ядерной физики и даже астрономии (аберрация, эффект Допплера).

Несомненно, из общефилософских соображений трудно примириться с тем, чтобы объективно реальное пространство-время везде и всюду и всегда описывалось столь простой формой (3) или (За), связанной с идеализацией свойств объективно реальных систем отсчета, всегда отличающихся в той или иной мере от инерциальных. В частности, в применении только к пространству (dt = 0 или dx₄ = 0) эта форма приводит к применимости для него эвклидовской геометрии, в чем справедливо сомневался еще великий русский ученый Н. И. Лобачевский.

Действительные свойства пространства-времени, или, для краткости, просто «пространства», описываются более общей формой

ds² = g_μνdx_μdx_ν, (12)

где: x_μ — пространственные и временные координаты (2); g_μν— компоненты метрического тензора, являющегося функциями пространственных и временных координат.

Из геометрии известно, что квадратичная форма (12) при задании пределов изменения координат x_μ и величин g_μν как функций x_μ вполне определяет геометрию данного пространства, принадлежащего к особого рода пространствам Лобачевского—Римана, к числу которых принадлежит и геометрия физического пространства-времени.

В частности, пространство будет эвклидовым (точнее галилеевским), если в нем можно построить систему координат, такую, что во всех точках пространства

(13)

В геометрии доказывается, что всегда можно избрать такую систему координат, в которой в бесконечно малой области в окрестности данной точки выполняются условия галилеевости (13) и свойства пространства определяются квадратичной формой (3).

Такие области пространства могут иметь и конечную протяженность и реализуются в инерциальной системе отсчета без полей тяготения. Отметим, что необходимым и достаточным условием галилеевости пространства в целом является равенство нулю во всех его точках тензора кривизны

(14)

Где

(15)

(16)

символы Кристоффела 1-го и 2-го рода.

Существенно, однако, что в случае пространств более общего характера (12) с неравным нулю тензором (14) и даже в случае галилеевских пространств (R^ε_μνσ = 0 везде и всюду) при использовании криволинейных координат, не удовлетворяющих условию (13), координаты x_μ (или х, у, z и t), вообще говоря, являются просто номерами точек пространства и отнюдь не обозначают объективно реальных размеров тел или расстояний между ними.

По этой причине их дифференциалы dx_μ не обозначают объективно реальных расстояний и промежутков времени. В таких случаях коротко говорят, что дифференциалы координат dx_μ и самые координаты x_μ не имеют непосредственного метрического смысла. Однако в бесконечно малой области пространства вокруг данной точки Р всегда может быть избрана местная галилеевская система координат, в которой интервал ds дается формой (3) или (За) и dx_μ имеют уже непосредственный метрический смысл, т. е. являются объективно реальными расстояниями или промежутками времени. Возможность выбора такой местной галилеевской системы координат строго доказывается в геометрии пространств формы (12). Здесь же мы ограничимся лишь кратким пояснением такой возможности на примере двухмерного пространства в виде сферы. Действительно, малые участки поверхности сферы приближенно совпадают с малыми участками касательной плоскости с эвклидовой геометрией, определяемой формой:

ds² = dx₁² + dx₂², (17)

причем для всей сферы эта форма, конечно, не пригодна и должна быть заменена другой, например:

ds² = dx₁² + eos²x₁αdx₂², (18)

где x₁ и x₂ — широта и долгота.

Итак, действительные свойства физического пространства-времени описываются более сложной формой (12).

Соответственно и физические законы, лежащие в основе теории, должны быть сформулированы в более общей форме, а именно:

1. Принцип относительности: законы природы одинаковы во всех системах отсчета, находящихся в любых физически возможных состояниях движения.

2. Закон всемирного тяготения: поле тяготения определяется отклонением свойств пространства от галилеевских и выражается в виде пропорциональности некоторого геометрического тензора тензору энергии-импульса всех форм материи.

Математической формулировкой первого положения является ковариантность, т. е. одинаковость математического вида уравнений, выражающих физические законы, по отношению группы всех непрерывных дифференцируемых преобразований координат с неисчезающим якобианом общего вида (9), вместо линейных преобразований (5) частного характера.

Принцип ковариантности по отношению этой группы преобразований, а следовательно, и принцип относительности будет автоматически выполнен, если уравнения физики писать в виде равенств нулю особых величин — тензоров, преобразующихся по законам (8) при переходе от одних координат к другим при помощи соотношений (9) весьма общего характера.

Закон всемирного тяготения математически формулируется уравнениями

(19)

где

(20)

— тензор кривизны Эйнштейна, полученный свертыванием по двум знакам тензора R^ε_μνα, определяемого (14); R = R^α_α — след тензора R_μν, T_μν — тензор энергии-импульса материи, находящейся в данной точке пространства-времени в виде частиц и полей.

В уравнения теории (12) и (19) входят две постоянные: с и к. Первая, по своему смыслу, является постоянной связи пространства и времени, вторая характеризует связь между геометрией пространства-времени и материей. Значения этих постоянных может дать только опыт.

Данные опыта показали, что с равно скорости распространения электромагнитных волн в вакууме в местной инерциальной системе отсчета. Постоянная

K = 8_πϒ/c², (21)

где ϒ — постоянная, входящая в известный закон тяготения Ньютона

(22)

В качестве одного из основных положений теории мы не выдвинули известный принцип эквивалентности инерциальных и гравитационных сил, так как он автоматически содержится в положении о ковариантности уравнений физики в отношении очень общей группы преобразований (9).

Сказанное можно пояснить также, исходя из определения свойств пространства-времени формой (12).

Действительно, принцип эквивалентности утверждает, что в данном месте и в данный момент времени поле тяготения всегда может исчезнуть при переходе в ускоренную систему отсчета, соответственным образом подобранную. В качестве таковой может быть избрано свободно падающее без вращения тело.

Существование такой ускоренной системы отсчета обеспечивается возможностью преобразования в данной точке пространства-времени при помощи (9) формы (12) в местную галилеевскую форму (3) с метрическим тензором (13), удовлетворяющим условию:

(23)

в чем и находит свое выражение принцип эквивалентности. Отметим, что он имеет локальный характер, так как в нем идет речь об устранении не всего поля тяготения в целом, а только в данной точке пространства-времени. Эта локальность, однако, нисколько не уменьшает его большого принципиального физического значения.

Общий принцип относительности, таким образом, автоматически содержит в себе принцип эквивалентности. Вследствие этого закон тяготения Эйнштейна (19) органически входит в общую теорию относительности. Так, например, законы сохранения энергии и импульса любой материи

(24)

где g — дитерминант из компонента метрического тензора, имеют одинаковый вид в случае полей тяготения и инерциальных сил, причем в данной точке мы не в состоянии произвести разделение этих полей.

Таким образом, поля тяготения и инерциальных сил, будучи разными по своей физической природе, действуют одинаковым образом на физические процессы.

Следует также отметить, что принцип эквивалентности имеет также значение и для практических применений теории относительности, особенно, в механике и астрономии (см. § 4).

Из сказанного выше вытекает, что нельзя согласиться с утверждением, которое иногда высказывается (Фок)^[11], что принцип ковариантности физических законов по отношению общих преобразований координат (9) физически бессодержателен и имеет только формально-математический характер, а что все физическое содержание общей теории относительности выражается только уравнениями тяготения (19). В действительности, она является также и теорией полей инерциальных сил столь же объективно реальных, как и поля тяготения.

3. Новое понимание и новые свойства пространства и времени, открытые современной физикой

Из предыдущего нетрудно установить, что, прежде всего, в современной физике решительным образом выброшены за борт метафизические представления об абсолютном пространстве и времени и абсолютном движении в отношении не материального тела отсчета — пустого, не содержащего материи пространства. Несостоятельность концепции абсолютного движения была ясна уже Энгельсу, который в «Диалектике природы» высказал положение: «Движение отдельного тела не существует, — [о нем можно говорить] только в относительном смысле»…^[12]

Из физики, таким образом, изгоняются представления о протяженности тела «как такового» без всякой связи с движением и положением в отношении других тел и понимание временной длительности «как таковой», как универсальной не материальной длительности, не связанной с материальными телами и их движениями. Тем самым был совершен прогрессивный шаг по пути правильного материалистического понимания явлений природы, утвердившего в физике положение о том, что свойства реального пространства и времени определяются материей и ее движением, что вполне соответствует учению диалектического материализма о пространстве и времени, как формах существования материи, выдвинутому задолго еще до создания теории относительности.

В противоположность дорелятивистской физике геометрия объективного реального пространства понимается как совокупность протяженностей материальных тел и расстояний между ними. Геометрия, таким образом, становится важнейшим разделом физики с аксиомами, которые берутся из опыта, из практики, а не из головы, не как «самоочевидные» для нашего разума истины. Именно так задолго до возникновения теории относительности ставил вопрос о геометрии физического пространства великий русский ученый Н. И. Лобачевский.

Сказанное о геометрии в равной мере относится и к учению о времени, а также к кинематике, в которой изучается изменение положения тел в пространстве с течением времени. Время рассматривается как особого рода длительность материальных процессов, зависящих от движения тел и их положения в отношении других тел. Из кинематики пришлось также выбросить ряд «самоочевидных» истин, которые оказались не чем иным, как следствием канонизации наших представлений, почерпнутых из несовершенных чувственных восприятий.

В дорелятивистской кинематике размеры тел и длительность происходящих в них процессов были одинаковыми во всех инерциальных системах отсчета, что непосредственно вытекает из преобразований Галилея (1).

По теории относительности влияние движения на пространственные размеры тел и временные длительности происходящих в них процессов определяются соотношениями, вытекающими из преобразований Лоренца (7).

(25)

(26)

В формуле (25) Δl и Δl₀ — длина одного и того же тела в направлении его движения в двух инерциальных системах отсчета, в одной из которых оно движется со скоростью v, а в другой — покоится, причем с — скорость света, одинаковая в обеих системах отсчета.

Аналогичным образом в соотношении (26) Δt и Δt₀ — временная длительность одного и того же процесса в теле, движущемся со скоростью v в одной из инерциальных систем отсчета, и покоящемся — в другой.

Формулы (25) и (26) показывают, что длина тела вследствие движения изменяется в √1 – v²/c², т. е. уменьшается, а временная длительность происходящих в нем процессов увеличивается в (1 – v²/c²)^-1/2, т. е. временный ритм их замедляется. Последнее всего проще пояснить на примере тела, в котором совершается какой-либо периодический процесс: колебание маятника, колебательное движение электрона (например, в атоме) и т. п. Такое тело можно назвать часами, рассматривая, например, Δt и Δt₀ как периоды обращения стрелки часов, движущихся в одной инерциальной системе и покоящихся в другой. Частоты их обращений будут соответственно

ν = 1/Δt

ν₀ = 1/Δt₀,

тогда по (26)

ν = ν₀√1 – v²/c² (26а)

Это соотношение очень хорошо показывает замедление временного ритма процессов в движущихся телах. Действительно, в движущихся часах число оборотов стрелки v меньше числа оборотов vq таких же покоящихся часов. Здесь уместно отметить, что вблизи масс, создающих поля тяготения с ньютоновским потенциалом <р, и в ускорении движущихся систем отсчета с полями инерциальных сил также происходят изменения размеров тел и временного ритма процессов в них, определяемые в. случае слабых полей тяготения формулами:

Δl = Δl₀ (1 – φ/c²), (27)

Δt = Δt₀ (1 – φ/c²), (28)

ν = ν₀ (1 – φ/c²), (28а)

из которых видно, что в полях тяготения тела сокращают пространственные размеры, а временной ритм процессов в них замедляется. Таким образом, часы в поле тяготения идут медленнее таких же или тех же самых часов, находящихся в местах, в которых нет поля тяготения (φ = 0).

Заметим, что соотношения (25) и (27), выражающие изменения размеров тел вследствие движения и действия полей тяготения, не проверялись непосредственно опытом, хотя и подтверждаются многочисленными косвенными экспериментами. В противоположность этому, изменения временного ритма процессов вследствие тех же причин по формулам (26а) и (28а) непосредственно наблюдались в опыте в явлениях «красного смещения», заключающегося в изменении частоты испускания световых сигналов атомами, находящимися в интенсивных полях тяготения (красное смещение в спектрах плотных звезд) или движущимися равномерно и прямолинейно (опыты Айвса с поперечным Допплер-эффектом).

Изменения размеров материальных тел и временной длительности процессов в них, обусловленные их движением (25) и (26) и полями гравитационных и инерциальных сил (27) и (28), по сути дела имеют’ общую природу, содержащуюся в принципе относительности в его общей формулировке.

По этой причине эти изменения можно назвать «релятивистскими».

Сказанное можно пояснить на примере явлений, происходящих на вращающемся диске. Поле инерциальных сил в системе отсчета, связанной с ним, эквивалентно некоторому гравитационному полю с потенциалом <р, определенным на расстоянии г от его центра соотношением

(29)

где ω — угловая скорость вращения диска, v — линейная скорость в точке с радиальной координатой r.

Подставляя значение потенциала <р из (29) в формулы (27), (28) и (28а), мы получим с достаточным приближением формулы (25), (26) и (26а). Таким образом, изменения длин и промежутков времени, обусловленные полями инерциальных (или гравитационных) сил, оказались истолкованными при помощи соотношений (25), (26) и (26а), как вызванные движением со скоростью v в отношении некоторой инерциальной системы отсчета. В случае вращающегося диска эта последняя является единой для всех его точек, так как она связана с телом, в отношении которого происходит вращение. В полях тяготения такая инерциальная система отсчета может реализоваться только в малой области пространства-времени. При переходе от точки к точке эти локальные системы отсчета деформируются и совокупность их поэтому названа Эйнштейном образно «моллюском». Именно в отношении частей моллюска и происходят изменения длин и промежутков времени (27), (28) и (28а) в полях гравитационных или инерциальных сил. Здесь еще раз необходимо подчеркнуть фундаментальное значение для теории относительности понятия системы отсчета как тела, в отношении которого происходят физические явления в определенных пространственных соотношениях с ритмом во времени. Существенно, что эта система отсчета, строго говоря, является всегда локальной, а поэтому, в частности, не может быть и речи о реализации в природе геоцентрической системы отсчета Птолемея как некоего беспредельного в пространстве каркаса из твердых стержней, связанного с вращающейся Землей, к которому можно относить движения всех тел в мире. Невозможность такой универсальной системы отсчета непосредственно видна из предыдущих формул, определяющих релятивистские изменения длины и времени.

Пространство и время в современной физике оказываются глубоко взаимосвязанными. Это выражается в том, что в теории относительности речь идет о геометрии пространства-времени, как некоторого четырехмерного многообразия точек, образующих разновидность одного из пространств Лобачевского-Римана формы (12). Свойства физического пространства в силу закона всемирного тяготения (19) определяются тензором энергии-импульса всех видов материи, т. е. распределением и движением материи в обычном трехмерном пространстве с неэвклидовой геометрией.

Взаимосвязь пространства и времени отнюдь не является формальной.

Пространство-время мира есть совокупность точечных событий Р (х, у, z, t), т. е. точек с пространственными и временными координатами, в которых протекают материальные процессы. Конфигурация точек-событий, соответствующих какому-либо физическому явлению, одинакова во всех системах отсчета. Расстояния между ними ds поэтому являются неизменными эталонами, позволяющими судить об изменениях пространственной протяженности и временной длительности процессов, происходящих в материальных телах, вызванных их движением и действием полей инерциальных и гравитационных сил.

Таким образом, только при объединении пространственных расстояний и временных промежутков в единый четырехмерный интервал ds при помощи формы (12) или (3) получается расстояние, не связанное с какой- либо системой отсчета. Такая взаимосвязь пространства и времени вполне соответствует учению диалектического материализма о пространстве и времени, как формах существования материи. Естественно, что обе эти формы, формы существования одного и того же — материи, взаимосвязаны.

Взаимосвязь пространства и времени, однако, не обозначает их тождественности. Пространство, и время остаются разными физическими реальностями. Это находит себе выражение в том, что существуют два рода интервалов ds, соответствующих чисто пространственным и чисто временным расстояниям, называемых пространственно-подобными и времени-подобными. Так как различие этих интервалов не зависит от выбора системы отсчета и для интервала ds в окрестности данной точки всегда может выбрана форма (3), то во всех системах координат ds² > 0 для пространственно-подобных интервалов и ds² < 0 для времени-подобных.

Сказанное выше о взаимосвязи и различии пространства и времени, следуя Эддингтону, можно формулировать в виде положения о геометрии нашего мира, как геометрии пространства 3+1 измерений, а не просто 4-х измерений.

4. Теорема о центре инерции и проблемы астрономии

Как известно, в ньютоновской механике для изолированных скоплений материи существуют преимущественные инерциальные системы отсчета, связанные с их центром инерции, покоящимся или движущимся равномерно и прямолинейно.

К числу таких принадлежит, например, известная гелиоцентрическая система Коперника.

С появлением общей теории относительности, по которой законы природы одинаковы в системах отсчета, движущихся любым физически возможным образом, получило широкое распространение мнение, отрицающее преимущественный характер системы отсчета Коперника и утверждающее равноправие ее С геоцентрической системой Птолемея. Тем самым принижалось значение великого открытия Коперника и, наоборот, даже утверждалась бесплодность жестокой борьбы в прошлом за отказ от геоцентрической системы отсчета и замену ее гелиоцентрической. Вообще говоря, история науки знает примеры больших заблуждений, считавшихся в свое время великими открытиями, от которых приходилось потом отказываться. Такова, например, механистическая концепция электромагнитных явлений, основывавшаяся на ошибочном предположении о существовании некоторой универсальной мировой среды — эфира.

Концепция Коперника в астрономии не принадлежит к числу таких ложных открытий; наоборот, величие этого открытия, как мне кажется, благодаря теории относительности стало еще более ясным.

Выше уже отмечалась физическая бессмысленность геоцентрической системы Птолемея для мира в целом, так как неинерциальные системы отсчета могут быть реализованы только в ограниченных областях пространства. Более того, в общей теории относительности, оказывается, может быть строго доказана теорема о центре инерции, на основе которой, так же как и в механике Ньютона, система Коперника является преимущественной. Теория относительности лишь вносит малые поправки в законы движения тел, образующих скопления материи типа нашей планетной системы.

Общековариантный закон сохранения массы — энергии-импульса для любых форм материи в виде полей и частиц выражается соотношением (24), которое неудобно для применений, особенно для получения интегральных сохраняющихся величин. Для практических целей лучше ввести величины, имеющие тензорный характер лишь в отношении линейных преобразований координат: тензор энергии-импульса

S^μν = g(T^μν + t^μν), (30)

тензор момента импульса

M^μνσ = x^μS^νσ — x^νS^μσ, (31)

вектор полного импульса

(32)

и тензор полного момента импульса

(33)

В этих соотношениях gt^μν— тензор энергии-импульса гравитационного поля.

Следуя ходу мыслей, данных в ранее опубликованных работах^[13], введем определение релятивистского ковариантного центра инерции для изолированного скопления материи с галилеевскими условиями, на границах пространственной области ω, в которой материя сосредоточена:

(34)

Составляющие этого вектора являются координатами центра инерции материальной системы, причем, если материя в целом покоится (Рi = 0; P₄ ≠ 0):

(35)

Y₀⁴ = 0

Вообще говоря, Y₀ⁱ линейные функции времени, и, следовательно, центр инерции покоится или движется равномерно и прямолинейно.

По (34) для своего определения он не нуждается в указании той или иной криволинейной системы координат, так как входящие в (34) интегралы имеют одинаковое значение во всех криволинейных системах координат с условиями галилеевости на границах области со. Связанная с центром инерции (34) система отсчета, например гелиоцентрическая система Коперника, является в общей теории относительности преимущественной на тех же основаниях и в том же смысле, что и в классической механике.

Для систем астрономического типа, образованными конечными массами, выполняются условия:

L >> l, (36)

v << c, (37)

ϒm/c² << l, (38)

t⁴ⁱ = 0, (39)

где: L — расстояния между телами, I — их линейные размеры, v — скорости движения, ϒm/c² —гравитационные радиусы масс.

Условия (38) позволяют пользоваться теорией слабого гравитационного поля, характеризующегося малыми отклонениями тензора g_μv от его галилеевских значений (3). Равенство (39) выражает возможность пренебрежения излучением гравитационной энергии.

Можно показать, при выполнении условий (36—39) центр инерции (34) какого-либо тела системы, выраженный через интегралы по области w, занятой данным телом, движется в системе отсчета, связанной с центром инерции всей системы тел в целом, по геодезической линии:

(40)

Эта линия определяется гравитационным полем других тел, рассматриваемых как точечные массы, сосредоточенные в их центрах инерции. Эго положение обобщает известную теорему классической механики о движении центра инерции тела как материальной точки, к которой приложены все внешние силы.

Вывод (40) основан на использовании условий (36—39) для данного тела, в силу которых для него можно избрать систему отсчета, в которой его центр инерции (34) покоится, вследствие чего d²x_μ/ds² = 0. Это соотношение переходит в системе отсчета центра инерции совокупности всех тел в уравнение (40).

Вдоль геодезической линии, по которой движется центр инерции данного тела

, (41)

где

x_i = dx_i/dt

и А — функции времени.

Тогда, подставляя это значение в (40), получим уравнения движения центра инерции данного тела:

. (42)

Подставляя в это соотношение значение тензора g_μv, создаваемого всеми массами системы как точечными, за исключением данной, из какого-либо решения уравнений тяготения (19), мы получим уравнение движения любого тела системы в конкретной форме.

Таким методом при помощи (42) были найдены уравнения движения тел системы астрономического типа с релятивистскими поправками, исходя из решений уравнения тяготения В. Фока^[14] и Эйнштейна, Инфельда и Гоффмана^[15].

Найденные по новому методу уравнения движения^[16] совпали с полученными ранее другими авторами^[17], путем весьма громоздких вычислений, как условие разрешимости уравнений тяготения в 3-м приближении, вместо использованного в работе^[18] только 2-го приближения. Это показывает, что принцип эквивалентности, использованный в новом методе, помимо своего большого принципиального значения, является также весьма эффективным методом расчета в практических приложениях.

5. Релятивистская теория элементарных частиц и полей; частицы «дырки» в пространстве Лобачевского — Римана

В настоящее время эта теория пока разрабатывается в галилеевском приближении, исходя из предположения о свойствах пространства-времени, определяемых соотношениями (3) и (За). В будущем она, конечно, должна быть формулирована в общековариантном виде, по крайней мере, для того, чтобы оценить пределы применимости галилеевского приближения. Возможность применения его для частицы с зарядом е обыкновенно мотивируется малостью гравитационного радиуса частицы

r_g = ϒm/c² (43)

по сравнению с ее классическим радиусом

r_с = e²/mc² (44)

или квантовым

r_q = h/mc (45)

Указывается также на малость сил гравитационного взаимодействия по сравнению с электромагнитными или ядерными.

Действительно, например, отношение ньютоновских сил к кулоновским для электрона

. (46)

Неравенства

r_s << r_с (47)

r_g << r_q, (48)

в сущности, являются условием применимости ньютоновского приближения.

Теория, как известно, имеет два аспекта: классический- и квантовый. Хотя в окончательном виде она должна быть квантовой, однако классическое рассмотрение часто позволяет сделать те или иные выводы, которые воспроизводятся и в квантовой теории, хотя иногда в измененном виде. Поэтому классическое рассмотрение вопроса о применимости галилеевского приближения в теории элементарных частиц и полей не лишено физического смысла.

В современной теории электроны или позитроны трактуются, как точечные источники электромагнитного поля. Это, как известно, приводит к бесконечной большой электромагнитной массе электрона. Вообще для точечного электрона критерии применимости (47) и (48) галилеевского приближения теряют свое значение. Теория, очевидно, уже должна быть общековариантной. Однако какой- либо вывод о величине эффектов общей теории относительности можно сделать только в теории, в которой расходимости устранены.

Одни из таких теорий опираются на идею перенормировки массы и заряда, учитывающей взаимодействие частицы с вакуумом, что сводится к устранению тем или иным способом из матричных элементов сингулярных функций, приводящих к расходимостям, и замене их регулярными, обеспечивающими сходимость.

В других используются линейные и нелинейные обобщения электродинамики, не содержащие расходимости, что обычно приводит к устранению или к уменьшению числа расходимостей и в квантовом аспекте теории.

Это, например, показывает расчет собственной энергии электронов в электродинамике Боппа — Подольского^[19].

Для исследования величины гравитационных эффектов удобны теории, опирающиеся на обобщения электродинамики, как содержащие исходные физические идеи в более ясной форме.

Для теорий Борна — Инфельда и Боппа — Подольского непосредственно была проведена проверка применимости приближения слабого гравитационного поля, которое дается известными уравнениями.

g_μν = δ_μν + h_μν, (49)

, (50)

|h_μν| << 1, (51)

где: δ_μν — галилеевский тензор и k — гравитационная постоянная, входящая в (19).

В правую часть этих уравнений подставлялось значение из решения для точечного заряда в галилеевском приближении. Если оно применимо, то решения (50) для точечного заряда должны удовлетворять условиям (51).

Такие расчеты^[20], произведенные для электрона Борна- Инфельда и Боппа — Подольского, показали, что на больших расстояниях от особенности поля действительно неравенство (51) выполняется, причем гравитационное поле частицы совпадает с ньютоновским, определяемым электромагнитной массой частицы

, (52)

которая в галилеевском приближении конечна. Однако в центре частицы некоторые h_μν не только не малы по сравнению с единицей, но даже имеют бесконечно большие значения. Это указывает на неприменимость по крайней мере в этих теориях галилеевского приближения и на необходимость общековариантной формулировки проблемы.

Едва ли можно ожидать, что положение вещей изменится при переходе к квантовому аспекту теории, так как, по принципу соответствия, галилеевское приближение, оказавшись неприменимым к проблеме, формулированной классически, не должно быть пригодным при переходе к квантовой формулировке ее.

Совместное решение уравнений тяготения (19) и электродинамики Боппа — Подольского для точечного заряда^[21] приводит к расходящимся выражениям для некоторых компонент метрического тензора, вследствие чего вычисление собственной электромагнитной энергии электрона вообще становится невозможным. Однако она все же может иметь конечное значение при соотношении между постоянными интеграции m и е, играющими роль массы и заряда частицы, близком к (44). Однако масса частицы будет несколько отличаться от ее значения в галилеевском приближении.

Во избежание недоразумений отметим, что здесь не защищаются те или иные конкретные обобщения электродинамики, а лишь на примере их показывается, насколько проблема регуляризации расходящихся выражений в классической электродинамике тесно связана с проблемой общековариантной формулировки теории элементарных частиц и полей. Более того, имеются некоторые основания предполагать, что в электродинамике в первую очередь должны быть изучены возможности применения самих уравнений Максвелла — Лоренца в общековариантном виде.

Действительно, точное решение для точечного’заряда уравнений тяготения (19) и электродинамики Максвелла — Лоренца имеет вид, если в них положить k = 8π и принять для интервала выражение:

, (53)

, (54)

, (55j

причем отличными от нуля будут только компоненты тензора поля

. (56)

В этом решении μ является произвольной функцией координаты r. Уравнение, фиксирующее функцию μ, будет координатным условием. Если положить μ = 0, как это обычно делается, то решения (54—56) для гравитационного и электромагнитных полей в точке r = 0 будут расходящимися и непригодны для вычисления интегральных величин, например вектора (32) энергии-импульса частицы.

Координатное условие для μ может быть, однако, так формулировано, чтобы гравитационные и электромагнитные поля определялись регулярными функциями g_μν и φ_μν.

Действительно, положим

, (57)

где

k₀ = 1/r_c (58)

причем r_с равно классическому радиусу электрона, определяемому (44). Тогда, как показывают вычисления^[22], заряженная частица будет обладать ковариантным по отношению к преобразованиям Лоренца четырехмерным вектором энергии-импульса

(59)

где — t_μ^ν тензор энергии-импульса гравитационного поля, причем в системе координат, в которой частица покоится

(P₁ = Р₂ = P₃ = 0; P₄ = m),

масса покоя частицы

. (60)

Вычисление этого интеграла при выборе постоянной k₀ по (58) в точности приводит к соотношению для массы и заряда (44).

Оказывается, что

. (61)

Отсюда вытекает, что масса частицы состоит из двух равных частей, из которых первая — электромагнитного, а вторая — гравитационного происхождения.

Показано также^[23], что и для скалярного мезонного поля, образованного точечным ядерным зарядом, могут быть также формулированы координатные условия в виде фиксации некоторых функций, приводящих к регулярным решениям.

На существование регулярных решений уравнений тяготения (19) для точечных масс уже давно указали А. Эйнштейн и Н. Розен^[24]. Они, в частности, отметили геометрический смысл таких решений. Оказывается, что выбор входящей в решение произвольной функции радиуса-вектора r с одновременным заданием пределов изменения r от 0 до + ∞ эквивалентен вырезанию в пространстве Лобачевского — Римана некоторой области с последующим сжатием ее в точку.

Таким образом, пространство частицы конструируется решением уравнений тяготения (19) так, что в нем вырезается «дырка», содержащая нерегулярности, которая потом сжимается в точку. Эта операция своеобразного «пневмоторакса» приводит к частицам, как к некоторым геометрическим структурам, хотя и содержащим особые точки поля, но не имеющих в них расходимостей для метрического тензора. Эйнштейн и Розен назвали такого рода образования — «мостами». Нам кажется, что их лучше называть «дырками» в пространстве Лобачевского — Римана. Именно решения уравнений гравитации Эйнштейна и Максвелла или мезодинамики, соответствующие таким частицам-дыркам, и использованы в работах наших и Дуань-И-Ши (см. предыдущие сноски).

Таким образом, возможно, что общековариантная формулировка квантовой теории элементарных частиц и полей содержит в себе перспективы устранения расходимостей путем выбора соответствующих координатных условий, приводящих к регуляризации расходящихся выражений.

В заключение отметим, что осуществляемое в некоторых работах квантование слабых гравитационных полей с введением в теорию особых частиц — «квантов» гравитационного поля, или «гравитонов», не является общековариантной формулировкой квантовой теории частиц и полей, так как производимая в них процедура квантования гравитационного поля основывается на использовании функции Лагранжа и псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля и других величин, ковариантных лишь в отношении преобразований Лоренца.

6. О трудностях теории и перспективах ее развития

Распространенное мнение о «законченности» и «завершенности» теории относительности не является правильным. Теория имеет, по крайней мере, две трудности, связанные с проблемой энергии-импульса гравитационного поля и произвольного выбора координатных условий. Первая трудность состоит в том, что в теории пользуются тензором энергии-импульса гравитационного поля t^μν, который не является тензором в смысле общековариантного определения этой величины (8), что приводит к ряду следствий, не имеющих физического смысла. Так, например, оказывается, что введение полярных координат в специальной теории относительности^[25] приводит к появлению отличного от нуля тензора энергии-импульса гравитационного поля, а полная энергия становится даже бесконечно большой. Кроме того, локальным преобразованием системы координат всегда можно обратить в нуль все компоненты гравитационного тензора t^μν. Тем не менее весьма трудно отказаться от использования этого тензора, так как лишь при помощи его удается ввести сохраняющиеся интегральные величины энергии-импульса (32) и механического момента (33) для изолированных скоплений материи, несомненно имеющих физический смысл и к тому же независимо от выбора любых координат в области пространства-времени занятой этим скоплением.

Н. Розен^[26] и М. Колер^[27] пытались найти выход из этой коварной дилеммы, вводя в рассмотрение дополнительное галилеевское пространство с тензором g_μν⁽⁰⁾ и метрическим тензором пространство Римана — Лобачевского

g_μν = g_μν⁽¹⁾ + g_μν⁽⁰⁾,

причем часть g_μν⁽¹⁾ рассматривалась как потенциал гравитационного поля.

В обоих пространствах в точках с одинаковыми координатами могут быть построены коэффициенты афинной связанности и Г_μν^σ(1) и Г_μν^σ(0) соответствующие тензоры кривизны Римана — Кристоффеля. В этой теории может существовать тензор 3-го ранга

Π_μν^σ = Г_μν^σ(1) — Г_μν^σ(0), (63)

который Колер отождествил с тензором напряженности (силы) собственно гравитационного поля. Достоинством такой концепции является возможность общековариантной формулировки законов сохранения, чего нет в теории Эйнштейна, а недостатком — противоречие принципу эквивалентности, что связано с невозможностью уничтожить в данной точке пространства-времени гравитационное поле с тензорными потенциалами g_μν⁽¹⁾ или Π_μν^σ переходом в соответствующую ускоренную систему отсчета.

Другая трудность теории связана с отсутствием непосредственного метрического смысла для дифференциалов координат, входящих в выражение фундаментальной формы (12) и самих координатах x_μ. Последние являются не более как номерами точек пространства-времени. Казалось бы поэтому, что физические выводы теории должны быть совершенно независимыми от выбора координатных сеток, фиксируемых дополнительными к уравнениям тяготения четырьмя уравнениями, выражающими так называемые «координатные условия».

К сожалению, это не всегда имеет место. Причина этого заключается в том, что иногда наблюдаемые величины являются компонентами тензоров, имеющими разные значения в разных системах координат. Такова, например, координатная частота v источника света в гравитационном поле, которая является временной компонентной волнового 4-вектора световой волны, которая и регистрируется приборами в точках наблюдения, где отсутствует источник, давая согласно (28) эффект красного смешения.

По-видимому, эта трудность теории может рассматриваться как некоторая неполнота ее, так как уравнения тяготения определяют лишь шесть величин g_μν из-за наличия известных тождеств:

. (64)

Оставшиеся четыре компоненты, вообще говоря, являются произвольными функциями координат.

Для устранения этого произвола к уравнениям тяготения присоединяют четыре дополнительных дифференциальных уравнения, содержащих g_μν и их производные.

Иногда такое дополнение, как мы видели, сводится просто к заданию некоторых g_μν в виде определенных функций координат и времени.

Такие дополнительные дифференциальные уравнения или соотношения, определяющие вместе с уравнениями тяготения (19) все величины g_μν, называются «координатными условиями». Разные авторы их выбирают по- разному. В виде примера приведем два вида координатных условий, записанных в более компактной форме, чем у самих авторов:

g^αβΓ_αβ^μ = 0, (В. Фок)^[28] (65)

g^αβΠ_αβ^μ = 0, (А. Папапетроу)^[29] (66)

где Γ_αβ^μ и Π_αβ^μ определяются соотношениями (15) и (16) и (63).

Как мы уже знаем, Π_αβ^μ является тензором и, следовательно, координатные условия (66) будут общековариантными.

Здесь уместно отметить ошибочность весьма распространенного мнения о несовместимости общековариантных координатных условий с уравнениями тяготения (19), что мотивируется необходимостью иметь из 10 величин g_μν четыре произвольных для обеспечения общей ковариантности самих уравнений тяготения.

Сущность этого недоразумения заключается в том, что упускается из виду использование при решении тех или иных конкретных проблем общековариантных координатных условий в той или иной вполне определенной системе координат, т. е. в форме не общековариантной. Так, например, в случае координатных условий (66) нужно устанавливать систему координат в сопутствующем галилеевском пространстве. Если в качестве таковой взять декартову систему координат, в которой Г_μν^σ(0) = 0, то по (63) уравнения (65) превратятся в нековариантные условия Фока (65).

Тем не менее общековариантные координатные условия имеют известное преимущество по сравнению с нековариантными, так как в сопутствующем галилеевском пространстве имеется привилегированная декартовская система координат. Поэтому имеются некоторые основания считать, что общековариантные координатные условия, например, вида (66) вместе с уравнениями тяготения (19) определяют метрический тензор g_μν, отображающий свойства действительного гравитационного поля. Несмотря на неясность путей устранения трудностей, существующих в теории относительности, перспективы ее применения, как уже отмечалось, остаются и сейчас необозримыми.

Я думаю, что. они относятся к проблеме мира как целого (космогонии) и к области явлений в микромире. В последнем случае должны быть сделаны попытки общековариантной формулировки квантовой теории частиц и полей, которая, возможно, приведет к решению проблемы массы и заряда элементарных частиц и устранит внутренние противоречия, связанные с применением привносимых в теорию извне методов регуляризации массы и заряда.

Выводы

Проблему материалистического толкования теории относительности нельзя считать решенной, хотя значительные сдвиги в этом направлении и сделаны в работах некоторых советских авторов.

В данной работе выдвигаются следующие положения:

1. Теория относительности как физическое учение о пространстве, времени и тяготении имеет глубокие корни в предыдущих открытиях в области математики, механики, астрономии и физики (Эвклид, Лобачевский, Галилей, Ньютон, Максвелл, Лоренц и др.).

2. В основе теории относительности лежат: общий принцип относительности, как положение об одинаковости (ковариантности) законов природы в системах отсчета, находящихся в любых, физически возможных состояниях движения, и новый закон всемирного тяготения (19), выражающий зависимость геометрии пространства- времени от тензора энергии-импульса всех форм материи в виде полей и частиц. Кроме того, в теорию входят две постоянные с — скорости света в вакууме, ϒ — гравитационная постоянная. Первая является постоянной связи пространства и времени; вторая — характеризует связь между геометрией пространства-времени и материей.

3. Опирающаяся на эти положения теория является физическим учением о зависимости свойств пространства и времени от распределения материи и ее движения. При этом пространственные протяженности и временные интервалы понимаются как размеры материальных тел и особого рода временные длительности процессов, в них протекающих. Из основных положений теории, обобщающих многочисленные данные опыта в области механики, электродинамики, атомной физики и т. п., вытекает, что пространственные размеры тел и временные длительности процессов в них зависят от скорости движения v и потенциалов φ полей тяготения и инерциальных сил в виде функций от (v/c)² и φ/c². В настоящее время пока ограничиваются применением ньютоновского (φ/с² < 1; v²/c² < 1) и галилеевского (φ/с² ≈ 0) приближений теории.

4. В теории относительности строго выполняется теорема о центре инерции, координаты которого определяются формулой (34). Применение этой теоремы в приближенном виде к системам астрономического типа и принципа эквивалентности позволяют более простым путем вывести уравнения движения системы n — тел с релятивистскими поправками, используя решения уравнений тяготения только во втором приближении вместо третьего, которым пользовался для этой же цели Эйнштейн и Фок с сотрудниками.

5. В настоящее время в теории элементарных частиц и полей используется только галилеевское приближение (специальная теория относительности).

Расчет гравитационных и электромагнитных полей точечных зарядов по уравнениям электродинамики Максвелла, Борна — Инфельда и Боппа — Подольского, показывает недостаточность галилеевского приближения в классической теории элементарных частиц и полей, что, по принципу соответствий, должно иметь место и в квантовой теории. По-видимому, необходим переход к общековариантной формулировке теории элементарных частиц. Замечательно, что в ее классическом аспекте при надлежащем выборе координатных и граничных условий ликвидируются расходимости в особых точках поля для точечных электромагнитных и ядерных зарядов, что сулит новые перспективы в проблеме регуляризации массы и заряда элементарных частиц.

6. Теория не нуждается в дальнейших обобщениях в виде так называемых «единых теорий поля». Требуется лишь гармоническое слияние ее с квантовой теорией полей и частиц и устранение трудностей, связанных с нековариантностью тензора энергии-импульса гравитационного поля и некоторых неясностей, связанных с выбором координатных условий.

1. В. А. Фок. Понятия однородности, ковариантности и относительности в теории пространства и времени. «Вопросы философии», 1955, № 4; А. Д. Александров. По поводу некоторых взглядов на теорию относительности. «Вопросы философии», 1953, № 5. ↑

2. Л. Инфельд. Несколько замечаний о теории относительности. «Вопросы философии», 1954, № 5; М Ф. Широков. Общая теория относительности или теория тяготения. «Журнал экспериментальной и теоретической физики», 1956, т. 30, вып. 1, стр. 180. ↑

3. См. «Успехи физических наук», 1956, т. LIX, вып. 3. ↑

4. См. сб. «Классики релятивизма». ОНТИ, 1935. ↑

5. Там же. ↑

6. Там же. ↑

7. A. Friedman. «Zeitschrift fur Physik», N 10, 1922, S. 377. ↑

8. Л. Ландау и E. Лифшиц. Теория поля. М., 1948. ↑

9. В. А. Фок. Теория пространства, времени и тяготения. М., 1955. ↑

10. А. Эйнштейн. Сущность теории относительности. М., 1955. ↑

11. В. Д. Фок. Теория пространства, времени и тяготения. ГТТИ, 1955. ↑

12. Ф. Энгельс. Диалектика природы. 1955, стр. 197. ↑

13. М. Ф. Широков. Релятивистская теория спина. «Журнал экспериментальной и теоретической физики», 1951, т. 21, вып. 6, стр. 748; М. Ф. Широков. О центре инерции в общей теории относительности. «Журнал экспериментальной и теоретической физики», 1954, т. 27, вып. 2(8), стр. 251. ↑

14. В. А. Фок. Теория пространства, времени и тяготения. ↑

15. A. Einstein, L. Infеld а. В. Hofman, «Annals of Mathematics», 1938, vol. 39, p. 55. ↑

16. M. Ф. Широков, В. Б. Бродовский. О законах движения конечных масс в общей теории относительности. «Журнал экспериментальной и теоретической физики», 1956, т. 31, вып. 6(12), стр. 1027. ↑

17. См. сноску 15, а также: Н. М. Петрова. Об уравнении движения и тензоре материи для системы конечных масс в общей теории относительности. «Журнал экспериментальной и теоретической физики», 1949, т. 19, вып. II, стр. 989. ↑

18. См. сноску 16. ↑

19. В. К. Петерсон. Проблема поперечной энергии электрона в линейном обобщении электродинамики. «Журнал экспериментальной и теоретической физики», 1953, т. 24, стр. 56. ↑

20. М. Ф. Широков. О роли гравитации в построении элементарных частиц, «Вестник Московского университета», 1947, № 4, стр. 67. ↑

21. Я. И. Пугачев и M. Ф. Широков. О значении гравитационного поля в образовании массы электрона. «Журнал экспериментальной и теоретической физики», 1953, т. 24, стр. 375. ↑

22. М. Ф. Широков. О решениях типа Шварцшильда—Норд- стрема для точечного заряда без особенностей (Классическая теория электрона). «Журнал экспериментальной и теоретической физики», 1948, т. 18, вып. 2, стр. 236. ↑

23. Дуань-И-Ши. Обобщение регулярных решений уравнений гравитации Эйнштейна и электромагнетизма Максвелла для точечного заряда. «Журнал экспериментальной и теоретической физики», 1954, т. 27, вып. 6(12), стр. 756; его же. Обобщенные регулярные решения для скалярного мезонного поля точечного заряда в общей теории относительности. Там же, 1956, т. 31, вып. 6(12), стр. 1098. ↑

24. A. Einstein а. N. Rosen. «The Physical Review», 1935, vol. 48, p. 73. ↑

25. Н. Bauer. «Physicalische Zeitschrift», 1948, t. 19, S. 163. ↑

26. N. Rosen. «The Physical Review», 1940, vol. 57, p. 147. ↑

27. M. Kohler. «Zeitschrift für Physik», 1952, t. 131, S. 571. ↑

28. В. А. Фок. Теория пространства, времени и тяготения. ↑

29. А. Рарареtгоu, W. Urich. «Annalen der Physik», 1954, t. 14, S. 220. ↑