Понятия однородности, ковариантности и относительности в теории пространства и времени

С точки зрения геометрической, теория пространства и времени естественно разделяется на теорию однородного (галилеева) пространства и теорию неоднородного (риманова и эйнштейнова) пространства^[1].

Галилеево пространство максимально однородно. Это выражается в том, что в нем: а) все точки и моменты времени равноправны, б) все направления равноправны и в) все инерциальные системы, движущиеся друг относительно друга прямолинейно и равномерно, равноправны (принцип относительности Галилея).

Однородность пространства и времени проявляется в наличии группы преобразований, оставляющих без изменения выражение для четырехмерного расстояния (интервала) между двумя точками. Выражение для интервала играет в теории пространства и времени большую роль, так как форма его непосредственно связана с формой основных законов физики, а именно закона движения свободной материальной точки и закона распространения фронта световой волны в свободном пространстве.

Перечисленные выше признаки (а), (б) и (в) однородности галилеева пространства связаны со следующими преобразованиями:

а) Равноправию всех точек и моментов времени соответствует преобразование, состоящее в смещении начала координат и начала счета времени и содержащее 4 параметра (три начальные координаты и начальный момент времени).

б) Равноправию всех направлений соответствует преобразование, состоящее в повороте координатных осей и содержащее 3 параметра (три угла).

в) Равноправию инерциальных систем соответствует преобразование, состоящее в переходе от данной системы отсчета к другой, движущейся прямолинейно и равномерно относительно данной; это преобразование содержит 3 параметра (три составляющие относительной скорости).

Самое общее преобразование содержит 10 параметров. Это есть преобразование Лоренца.

Известно, что в пространстве n измерений группа преобразований, оставляющая без изменения выражение для квадрата расстояния между бесконечно близкими точками, может содержать не более 1/2n(n+1) параметров. Если существует группа, содержащая все 1/2n(n+1) параметров, то пространство является максимально однородным; это будет либо пространство постоянной кривизны, либо, если кривизна равна нулю, евклидово (или псевдоевклидово) пространство.

В рассматриваемом нами случае пространства-времени число измерений равно 4, и, следовательно, наибольшее возможное число параметров равно 10. Так как последнее число совпадает с числом параметров в преобразовании Лоренца, то галилеево пространство (к которому это преобразование относится) и является, как мы уже говорили, максимально однородным.

Основанную на преобразованиях Лоренца теорию галилеева пространства принято называть частной теорией относительности. Точнее можно сказать, что предметом этой теории является формулировка физических законов в соответствии со свойствами галилеева пространства. Основоположником теории относительности является Альберт Эйнштейн (1879—1955).

Всемирное тяготение не может быть уложено в рамки однородного галилеева пространства. Более глубокая причина этого была выяснена Эйнштейном. Она состоит в том, что не только инертная, но и тяжелая масса тела зависит от его энергии.

Теорию всемирного тяготения оказалось возможным создать на основе отказа от однородности пространства в целом^[2] и признания за ним известного рода однородности только в бесконечно малом. Математически этому соответствует отказ от евклидовой (точнее, от псевдоевклидовой) геометрии и введение геометрии Римана. Современная теория тяготения также была создана Эйнштейном.

То, что, согласно теории тяготения, в бесконечно малом все же имеет место однородность, подобная той, какая выражается преобразованиями Лоренца, связано с возможностью имитировать вблизи данной точки и в данный момент времени поле тяготения полем ускорения (принцип эквивалентности). Физической основой этого является известный еще Галилею закон, согласно которому все тела падают, при отсутствии сопротивления среды, с одинаковой скоростью (точнее, с одинаковым ускорением). В обобщенном виде закон Галилея может быть формулирован как закон равенства массы инертной и массы весомой. Следует подчеркнуть, что этот фундаментальный закон имеет вполне общий характер, тогда как принцип эквивалентности строго локален, а при нелокальном его применении он становится неточным и справедливым только для слабых полей и для медленных движений.

При изучении пространства и времени нельзя, однако, ограничиться локальным рассмотрением (т. е. рассмотрением бесконечно малых областей пространства и промежутков времени). Необходимо так или иначе характеризовать свойства пространства в целом; в противном случае вообще нельзя поставить задачу однозначным образом. Это особенно ясно из того факта, что уравнения всякого поля (также и поля тяготения) представляют уравнения в частных производных, решения которых получаются однозначно лишь при наличии начальных и предельных условий или условий, их заменяющих. Уравнения поля и предельные условия неразрывно связаны друг с другом, и последние никак нельзя считать чем-то менее важным, чем самые уравнения. Но в задачах, относящихся ко всему пространству, предельные условия относятся к отдаленным областям пространства, и для их формулировки необходимо знать свойства пространства в целом.

Заметим, что недостаточность локального рассмотрения и важность предельных условий были явно недооценены Эйнштейном.

Наиболее простым и вместе с тем наиболее важным случаем является тот, когда можно предположить пространство однородным (в смысле преобразований Лоренца) на бесконечности. В этом случае вызываемые массами неоднородности будут иметь местный характер; массы с их полями тяготения будут как бы погружены в неограниченное галилеево пространство. Этот случай особенно важен потому, что существование интегралов движения связано с однородностью пространства на бесконечности. Только если пространство на бесконечности допускает полное преобразование Лоренца с 10 параметрами, существуют все 10 интегралов движения, включая интеграл энергии.

Возможно также предположение, что пространство-время в целом обладает не полной однородностью, а только частичной: по-прежнему допустимы произвольный перенос начала пространственных координат и произвольный поворот пространственных осей, что дает 6 параметров, остальные же 4 параметра преобразования Лоренца, а именно три составляющие скорости и начало счета времени, определяются через первые 6. Такое пространство-время было впервые рассмотрено Фридманом, а так как пространственная часть его обладает геометрией Лобачевского, то его можно назвать пространством Фридмана — Лобачевского. В отличие от пространства Галилея, это пространство допускает существование определенного поля тяготения при средней плотности весомой материи, отличной от нуля. Поэтому можно предположить, что в космологии, при рассмотрении огромных областей размерами в сотни миллионов световых лет, приблизительно равномерно заполненных галактиками, пространство Фридмана — Лобачевского является лучшим приближением к действительности, чем пространство Галилея. Однако теория местных неоднородностей в пространстве Фридмана — Лобачевского еще совершенно не разработана.

В зависимости от свойств пространства в целом решается и вопрос о существовании привилегированной системы координат.

В галилеевом пространстве привилегированными являются обычные декартовы координаты и время; совокупность этих переменных носит название галилеевых координат. Привилегированное положение этих координат основано на том, что преобразования Лоренца, выражающие однородность пространства, будут в этих координатах линейными.

В случае пространства, однородного только на бесконечности, также оказывается возможным ввести привилегированную систему координат, определяемую с точностью до преобразования Лоренца (гармонические координаты). Этот факт, впервые установленный в наших работах, имеет большое принципиальное значение: только опираясь на него, можно показать, что привилегированное положение гелиоцентрической системы Коперника по сравнению с геоцентрической системой Птолемея сохраняется и в теории тяготения Эйнштейна. Преимущества гармонических координат сказываются как при решении конкретных задач, так и при рассмотрении принципиальных вопросов. Преимущества эти связаны главным образом с тем, что введением гармонических координат достигается однозначность решения.

В пространстве Фридмана — Лобачевского, вероятно, тоже существуют привилегированные системы координат. Вопрос этот, однако, не исследован, поскольку еще не создана теория местной неоднородности в таком пространстве.

В вопросе о существовании привилегированных систем координат создатель теории тяготения Эйнштейн придерживался

точки зрения, противоположной нашей, а именно он отрицал существование таких систем. Это связано с отмеченной выше переоценкой лежащего в основе римановой геометрии локального способа рассмотрения свойств пространства и недооценкой важности рассмотрения пространства в целом. Несомненно, что здесь сыграла роль также философская позиция Эйнштейна, всю свою жизнь находившегося под влиянием идей Маха.

Вопрос о различных координатных системах и об изменении вида уравнений при переходе от одной координатной системы к другой занимает в теории пространства и времени важное место.

Особенно большое значение принято придавать ковариантности уравнений. Под ковариантностью разумеется следующее. Рассмотрим преобразование координат, сопровождаемое преобразованием зависимых переменных (функций) по определенному (например, тензорному) правилу и обратим внимание на вид уравнений, которым удовлетворяют первоначальные и преобразованные функции. Если полученные в результате такого преобразования новые функции от новых переменных удовлетворяют уравнениям того же вида, как старые функции от старых переменных, то уравнения называются ковариантными. Ковавариантность уравнений позволяет писать их, не предрешая выбора координатной системы. Кроме того, требование ковариантности уравнений имеет большое эвристическое значение, так как ограничивает разнообразие форм уравнений и тем самым помогает отобрать из них правильные. Необходимо, однако, подчеркнуть, что это ограничение имеет место при обязательном условии, что ограничивается также и число вводимых функций; если же допустить введение любого числа новых вспомогательных функций, то практически любым уравнениям можно придать ковариантную форму.

Таким образом, сама по себе ковариантность уравнений отнюдь не является выражением какого-либо физического закона. Так, например, в механике системы материальных точек уравнения Лагранжа 2-го рода являются ковариантными по отношению к любым преобразованиям координат, хотя и не выражают никакого нового физического закона по сравнению, например, с уравнениями Лагранжа 1-го рода, которые пишутся в прямоугольных координатах и ковариантными не являются.

В случае уравнений Лагранжа ковариантность достигнута путем введения, в качестве новых вспомогательных функций, коэффициентов квадратичного выражения для функции Лагранжа через скорости.

В геометрии Римана новыми вспомогательными функциями являются коэффициенты g_μν квадратичного выражения для квадрата бесконечно малого расстояния. Введение этих функций позволяет составлять выражения, ковариантные по отношению к любым преобразованиям координат. Само по себе это не дает ничего нового. Но требование, чтобы эти ковариантные выражения уже никаких дальнейших функций, кроме самих g_μν, не содержали, настолько сильно их ограничивает, что приводит почти однозначно к найденным Эйнштейном уравнениях гравитационного поля.

Выяснив смысл понятия ковариантности в применении к геометрии Римана, сопоставим его с рассмотренным ранее понятием однородности пространства.

Как мы указывали выше, свойство однородности галилеева пространства проявляется в преобразованиях, оставляющих без изменения выражение для четырехмерного расстояния между двумя точками. Подробнее можно сказать, что в этих преобразованиях остаются без изменения коэффициенты этого выражения, т. е. величины g_μν. В общем же случае геометрии Римана преобразований, оставляющих без изменения величины g_μν, не существует, ибо пространство Римана неоднородно. В геометрии Римана речь идет о преобразованиях координат, сопровождаемых преобразованиями величин g_μν, а такого рода совместные преобразования, равно как и ковариантность по отношению к ним, никакого отношения к однородности или неоднородности пространства не имеют.

Теперь мы уже можем перейти к выяснению тех недоразумений, которые связаны с укоренившимся в литературе неправильным употреблением слова «относительность».

В первых работах по теории относительности понятие относительности связывалось с понятием однородности пространства. Теорией относительности называлась теория галилеева пространства, однородность которого характеризуется преобразованиями Лоренца. Название это можно считать в известной мере оправданным, поскольку большую роль в теории играет обобщение принципа относительности Галилея.

Однако с созданием теории тяготения Эйнштейна вошел в употребление термин «общая относительность», который все запутал. Термин этот стал применяться в смысле «общей ковариантности» (т. е. в смысле ковариантности уравнений по отношению к произвольным преобразованиям координат, сопровождаемым преобразованием величин g_μν). Но мы видели, что такая ковариантность ничего не имеет общего с однородностью пространства, а это значит, что «общая относительность» ничего не имеет общего с «относительностью просто». Между тем эта последняя получила название «частной», которое как бы указывает, что она является частным случаем «общей».

Чтобы дать понятие о том, к каким недоразумениям это приводит, рассмотрим ряд примеров. Как известно, теория однородного галилеева пространства может быть формулирована не только в виде ковариантном в смысле преобразований Лоренца, но и в общековариантном виде. На языке «общей» и «частной» относительности выразить эту простую мысль крайне затруднительно, и мы это делать не беремся, так как нам пришлось бы сказать, что «частная» относительность заключает в себе «общую», или что-нибудь в таком роде.

Если вспомнить, что уже в ньютоновой механике мы имеем дело с обще ковариантными уравнениями Лагранжа 2-го рода, то пришлось бы также сказать, что и ньютонова механика содержит в себе «общую относительность».

Термины «общая относительность» или «общий принцип относительности» употребляются также (прежде всего самим Эйнштейном) в смысле теории тяготения. Уже основная работа Эйнштейна по теории тяготения (1916 г.) озаглавлена «Основы общей теории относительности». Это еще больше запутывает дело. Так как в теории тяготения пространство предполагается неоднородным, а относительность связана с однородностью, то выходит, что в общей теории относительности нет никакой относительности. Если даже учитывать, что в теории тяготения пространство однородно в бесконечно малом, то и тогда придется признать, что теория тяготения несет с собой ограничение, а не обобщение понятия относительности, поскольку она отказывается от галилеева пространства, однородного не только в бесконечно малом, но и в целом.

Сказанного достаточно, чтобы стало ясно, что употребление терминов «общая относительность», «общая теория относительности» или «общий принцип относительности» недопустимо. Оно не только приводит к недоразумениям, но и отражает неправильное понимание самой теории. Как это ни парадоксально, такое непонимание проявил сам автор теории, Эйнштейн, который как в названии своей теории и своих сочинений, так и в рассуждениях подчеркивал слова «общая относительность» и не видел, что созданная им новая теория, если ее рассматривать как обобщение старой, содержит обобщение не понятия относительности, но других понятий, а именно геометрических.

То обстоятельство, что изумительная по своей глубине, изяществу и убедительности теория тяготения не была правильно понята ее автором, не должно нас, однако, чрезмерно удивлять. Мы имеем в истории физики много примеров, когда подлинный смысл принципиально новой физической

теории был осознан не ее автором, а кем-нибудь другим. Достаточно указать на теорию электромагнитного поля Максвелла. Эта теория фактически покончила с представлением о механике как основе физики, между тем как ее автор целиком придерживался механического представления. Только Лоренц с полной ясностью установил физический смысл уравнений Максвелла, указав, что электромагнитное поле само является физической реальностью (т. е. само материально), может существовать в свободном пространстве и не нуждается в особом носителе^[3].

Аналогичную судьбу имеют и уравнения тяготения Эйнштейна. Основанная на них теория тяготения, бесспорно, является одним из величайших достижений человеческого гения, и если она будет очищена от чуждых ей элементов и терминов, то будет выявлен подлинный ее смысл и достоинства ее проявятся еще ярче.

Опубликовано в журнале «Вопросы философии», 1955, № 4, с. 131-135.

1. Мы будем часто говорить вместо «пространство и время» просто «пространство». ↑

2. Термины «пространство в целом», «условия на бесконечности» и т. п. употребляются нами не в буквальном, а в мае тематическом смысле, принятом в теории поля. Под пространством в целом мы разумеем область, достаточно большую, чтобы на ее границах поле от рассматриваемой системы тел было пренебрежимо мало; к границам этой области и относятся «условия на бесконечности». В зависимости от характера задачи фактические размеры этой области могут быть весьма различными: для атома или молекулы можно считать бесконечно большими расстояния порядка микрона, для солнечной системы — порядка светового года, для системы галактик — сотни миллионов световых лет. Но никогда мы не разумеем под «пространством в целом» всю Вселенную; вводить в рассмотрение всю Вселенную представляется нам невозможным по гносеологическим соображениям. ↑

3. Любопытно, что этот пример неполного понимания автором теории ее физического смысла приводится самим Эйнштейнам в одной из его последних работ. ↑