Проблема замкнутых причинных цепей в общей теории относительности

Общая теория относительности, подобно другим наукам, в частности квантовой механике, сталкивается с проблемой причинности. Проблема эта многогранна. В данной главе мы рассматриваем лишь ту ее часть, которая касается вопроса выполнимости принципа причинности в релятивистских пространственно-временных структурах с замкнутыми причинными цепями.

Прежде всего несколько предварительных замечаний. Один из важнейших вкладов специальной теории относительности в исследование причинности состоит в определении пространственно-временных условий причинной связи между событиями. С точки зрения специальной теории относительности причинная связь между данными событиями возможна лишь в том случае, если разделяющий их интервал является времениподобным. Это требование эквивалентно утверждению о том, что скорость передачи причинного действия не может превосходить скорость света.

Общая теория относительности опирается на представления о причинности, разработанные на основе специальной теории относительности. Вместе с тем она развивает их применительно к своему объекту исследования. Специальная теория относительности имеет дело с эвклидовым, точнее, с псевдоэвклидовым пространством Минковского. Причинные цепи располагаются здесь вдоль эвклидовых прямых. С точки зрения общей теории относительности пространство имеет геометрическую структуру, отличную от эвклидовой. В общем случае это риманово пространство, кривизна которого меняется при переходе от точки к точке и имеет различное значение для разных направлений в каждой данной точке. Однако в качестве’ решений гравитационных уравнений получаются аналитические выражения, описывающие сравнительно простые типы римановых пространств, а именно однородные и (в большинстве случаев) изотропные пространства. Траекториям причинного действия в неэвклидовых пространствах соответствуют геодезические линии, обладающие ненулевой кривизной.

Геодезические траектории причинного действия в четырехмерном пространственно-временном континууме — это не просто геодезические линии, но времениподобные линии. Весьма симптоматичным является тот факт, что в большинстве известных типов пространственно-временных структур, описываемых решениями гравитационных уравнений, времениподобные являются незамкнутыми. Они незамкнуты не только в так называемых «открытых» космологических моделях, но и во многих «закрытых» моделях, характеризующихся замкнутым пространственным сечением. Времениподобные линии во многих случаях ведут себя иначе, чем пространственноподобные, являющиеся объектами пространства в собственном смысле этого слова. Это обстоятельство породило чуть ли не уверенность в том, что никаких других времениподобных, кроме незамкнутых, в теории относительности получить невозможно.

Однако, как показали дальнейшие исследования, незамкнутость времениподобных не является их непреложным свойством. Австрийский математик и логик К. Гёдель был, пожалуй, первым, кто обратил внимание на исключения из этого правила. В 1949 г. им была получена космологическая модель, удовлетворяющая уравнениям общей теории относительности, часть времениподобных которой была замкнутой. Точнее, в этой модели, которая является однородной, но анизотропной (модели присуще вращение), наблюдается следующее. Если на мировой линии пробной частицы выделить точки А и В, причем таким образом, что А предшествует В, то найдется такая времениподобная, соединяющая А и В, что В на ней предшествует А. Таким образом, модель Гёделя содержит конструкцию пар времениподобных с замкнутым временным и причинным порядком.

Наличие в гёделевской модели пар времениподобных, образующих замкнутую конструкцию, является прямым следствием анизотропии модели, обусловленной ее вращением. Во вращающейся модели нет привилегированного «абсолютного» времени, свойственного однородным и изотропным моделям. Здесь мировое время определяется неоднозначно. Указанная неоднозначность и приводит к конструкции замкнутых времениподобных.

Как расценивал Гёдель полученный им результат? В статье «Замечание о связи между теорией относительности и идеалистической философией», в которой дается качественная характеристика модели, Гёдель пытается провести параллель между своей моделью и идеализмом, отвергающим объективность времени. Он, в частности, отмечает: «Что касается заключения, которое можно вывести из описанного положения, то главный пункт его состоит в следующем. Для каждой возможной дефиниции некоторого мирового времени можно в этом мире совершить путешествие, которое, согласно дефиниции, принадлежит прошлому. Но это показывает, что понятие объективного течения времени в этом мире теряется»^[1]. По словам Гёделя, его модель может служить аргументом в пользу идеализма, отрицающего объективно реальный статус времени и рассматривающего последнее как иллюзию человеческого ума.

В то время Гёдель не ставил под сомнение логическую безупречность конструкции замкнутого времени. Единственно, в чем он сомневался, — это в практической реализации путешествия во времени вследствие больших практических трудностей. Для путешествия вдоль замкнутых временицодобных космонавт должен развить на своем корабле скорость, которая должна быть не менее чем (1/√2) ∙ C. Эта скорость представляется Гёделю практически трудно достижимой. Правда, через шесть лет после выхода статьи в добавлении к ее немецкому изданию Гёдель выразил значительно больший скепсис относительно практической реализации идеи путешествия во времени или даже, как он выразился, «телеграфирования в прошлое». «Границы между практическими и принципиальными трудностями, — пишет он, — вообще не являются незыблемыми. Что ранее в микрофизике было практической трудностью, сегодня стало вследствие соотношения неопределенностей трудностью принципиальной. Такой же день может наступить и для трудностей, которые проявляются не только в «малом», но и в «большом»»^[2].

Статья Гёделя была написана для сборника, посвященного А. Эйнштейну. Эйнштейн познакомился с ней еще тогда, когда она была в верстке. B целом он сочувственно отнесся к результату, полученному Гёделем, назвав его важным вкладом в общую теорию относительности^[3]. Однако его оценка характеризует модель Гёделя, видимо, только как теоретическую возможность, допускаемую общей теорией относительности, нежели как нечто претендующее на статус объективной реальности. Эйнштейн, по- видимому, был склонен считать эту модель лишь абстрактной математической возможностью. Не случайно, что по поводу нее он замечает: «Было бы интересно выяснить, не следует ли такие решения исключать из рассмотрения на основе физических соображений»^[4].

Известный скептицизм Эйнштейна в отношении конструкций, реализующих замкнутый причинный порядок, по-видимому, объясняется тем, что он усматривал в них нарушение принципа причинности. Последнее обстоятельство в значительно более резкой форме подчеркнул известный специалист в области общей теории относительности Дж. Синг. Рассматривая мир де Ситтера (для Λ < 0), который схож с моделью Гёделя в том, что времениподобные линии в нем замкнуты, Дж. Синг пишет: «Мы видим, что пробная частица снова и снова повторяет движение (свою историю) по той же самой траектории! Это расходится с нашим основным представлением о причинности, и мы делаем вывод, что пространство де Ситтера… приводит к идеям, которые носят слишком уж «революционный характер» с точки зрения физики, в том виде как она существует сегодня»^[5].

Возникает вопрос, действительно ли конструкции с замкнутым причинным порядком, удовлетворяющие уравнениям общей теории относительности, противоречат принципу причинности и если да, то каковы пути преодоления этого противоречия? Этот вопрос можно рассматривать как одну из формулировок проблемы причинности в общей теории относительности.

Может показаться, что проблема причинности в вышеприведенном ее виде малоинтересна. Она возникает в космологических моделях, которые, как свидетельствуют имеющиеся эмпирические данные, имеют весьма мало шансов быть описаниями в наблюдаемой области Вселенной, а тем более «Вселенной в целом». Однако отмеченное обстоятельство не обесценивает значение вышеприведенной формулировки проблемы причинности.

Дело в том, что все модели равноправны в следующем отношении: они являются космологическими решениями уравнений общей теории относительности. Их логическая, безупречность является гарантом логической безупречности самих уравнений. В том случае когда хотя бы одно из решений страдает логическими дефектами, логическая строгость самих уравнений ставится под сомнение (при условии, конечно, что решение получено логически строго). Рассмотрение конструкций замкнутых причинных цепей в моделях Гёделя и де Ситтера (для Λ < 0) имеет важное значение не только для понимания указанных моделей, но и для понимания более общей проблемы — отношения теории относительности к принципу причинности.

На чем основано утверждение, согласно которому замкнутые причинные цепи противоречат принципу причинности? Основанием этому утверждению служит корреляция причинного и временного порядков в том ее виде, как она понимается теорией относительности. Прежде всего заметим, что с точки зрения специальной теории относительности причинная связь между двумя событиями невозможна, если указанные события одновременны. В этом случае события принадлежат пространственному сечению пространственно-временного континуума. Неодновременность событий есть важнейшее необходимое условие установления причинной связи между ними.

Теперь посмотрим, что получится, если времениподобная, вдоль которой располагается причинная цепь, замкнута. Замкнутость линии, описывающей течение времени, заключает в себе противоречие. Оно может быть проиллюстрировано двояким путем. Во-первых, пусть вдоль замкнутой линии времени происходит последовательность событий a₁, a₂, а₃, …, а_n, где события а₁ и а₂ совпадают.

В случае транзитивности порядкового отношения «раньше» (это допущение является естественным) получаем: «a₁ раньше а_n». Но по условию замкнутости времениподобной а₁ одновременно а_n, что противоречит полученному выводу. Во-вторых, если мы выделили на замкнутой времениподобной точку а и, двигаясь вдоль времениподобной, вернемся к исходному событию с тем же значением времени, то мы должны сделать вывод, что указанная линия характеризует нулевую длительность времени, хотя она метрически и отлична от нуля. С точки зрения теории относительности причинные связи вдоль таких линий невозможны. Однако по условию в противоречии с этой установкой мы построили вдоль такой линии причинную цепь.

Иного взгляда на конструкцию замкнутой причинной цепи придерживаются сторонники так называемой причинной теории времени. Они считают ее логически безупречной и не видят никакого дефекта в тех релятивистских космологических моделях, в которых она получается. Один из представителей этой теории, Г. Рейхенбах, писал: «Следует помнить, что свойство незамкнутости причинных цепей представляет собой эмпирический факт и не может рассматриваться как следствие логической необходимости.

Если вообразить замкнутые причинные цепи, то в этом нет ничего противоречивого, хотя существование таких цепей привело бы к весьма странным событиям»^[6].

Основная трудность замкнутой причинной цепи, как отмечалось, состоит в представлении событий, которые после истечения определенного времени, метрически равного замкнутой времениподобной, возвращаются к самим себе и оказываются во всех отношениях тождественными своему прошлому состоянию. Такого совпадения требует сама идея замкнутой причинной цепи, тогда как из транзитивности временного отношения «раньше» следует, что повторение события во второй раз при всей своей тождественности исходному событию во всех прочих отношениях отличается от него значением времени. Это противоречие, по мнению сторонников причинной теории времени, может быть, однако, преодолено путем отказа рассматривать время как особое свойство вещей.

Вот как представляет это А. Грюнбаум, придерживающийся в основном тех же взглядов на время, что и Г. Рейхенбах. Пусть существует Вселенная, состоящая из плоскости и одной точечной частицы, движущейся по ней по круговой траектории. Вместо того чтобы периодически появляться в одном и том же месте А в различные моменты открытого времени, частица испытывала бы возвращение в то же самое событие в тот же самый момент замкнутого времени. «Этот вывод, — пишет Грюнбаум, — покоится на тезисе Лейбница: если два состояния мира обладают абсолютно тождественными атрибутами, то в этом случае мы имеем дело не с различными состояниями в разные моменты времени, а только с двумя разными наименованиями одного и того же состояния в одно и то же время»^[7].

Приведенные рассуждения Грюнбаума основаны на полном сведении времени к причинному порядку, временных свойств вещей к другим их свойствам. Согласно развиваемой им версии причинной теории времени, время вовсе не является особым свойством мира. Ибо, как он рассуждает, если два состояния обладают абсолютно тождественными атрибутами, то они обладают и тождественными временными значениями.

Нам представляется, что такой взгляд на время плохо согласуется с релятивистской концепцией времени. Хотя считается, что специальная теория относительности является важным аргументом в пользу причинной теории времени, последняя в ряде существенных пунктов противоречит специальной теории относительности. Это может быть воспринято как парадокс, но это действительно так. На основе специальной теории относительности действительно можно осуществить корреляцию причинного и временного порядков, и это служит важным доводом в пользу причинной теории времени. Но специальная теория относительности отнюдь не сводит время к другим свойствам вещей. Более того, она выделяет время в качестве особого параметра, характеризующего события. Это явным образом входит в понятие «событие», которое по определению характеризуется местом, где оно произошло, и временем, когда оно произошло. Как видно отсюда, исходный тезис причинной теории, аннулирующий статус времени как самостоятельное свойство вещей, не сводимое к другим его свойствам, находится в прямом противоречии с релятивистской концепцией времени.

Мы отнюдь не собираемся канонизировать релятивистскую концепцию времени. Возможно, что будущая теория будет более близка причинной теории времени в изложенной ее версии. Однако нам представляется неудовлетворительным подход, который направлен на устранение противоречивости конструкции замкнутого причинного порядка в рамках релятивистской теории путем внесения в последнюю чужих ей соображений.

В конце концов вопрос состоит не в том, противоречива или нет конструкция замкнутого причинного порядка вообще, безотносительно к какой-либо теории. Вопрос ставится так: противоречива ли она в рамках релятивистской теории. Если мы подойдем к этой конструкции с изложенной точки зрения и не будем принимать в расчет соображения, чуждые теории относительности, хотя, может быть, и достаточно очевидные, то мы должны признать противоречивость конструкции замкнутого причинного порядка, противоречивость именно в рамках релятивистской теории.

Чтобы больше не возвращаться к критике интерпретации конструкции замкнутого причинного порядка в духе причинной теории времени, отметим, что примеры, аналогичные тому, который приведен Грюнбаумом, в теории относительности имеют совершенно иной смысл. Общая теория относительности различает циклы состояний и циклы событии. С ее точки зрения совсем не обязательно, чтобы тождественное повторение прошлого состояния означало бы повторение его во временном отношении. Например, в закрытой «пульсирующей» фридмаиовской модели теоретически можно допустить, что при повторении цикла расширения (или сжатия) структуры вещей их свойства совпадают. Однако этим двум фазам эволюции соответствуют два различных значения координаты времени.

Пример, приведенный Грюнбаумом, с релятивистской точки зрения может быть интерпретирован аналогичным образом. Если «вселенная» Грюнбаума — это точка, движущаяся по круговой траектории, то окружность в данном случае будет представлять лишь «пространство» этой «веселенной». Согласно теории относительности, этому пространству соответствует время, представленное линиями, ортогональными пространству. Сами по себе эти линии не обязательно должны быть замкнутыми. Мы можем в конечном счете прийти к выводу, что пространственно-временной мир Грюнбаума — это не окружность на плоскости, а двумерная, уходящая в бесконечность поверхность цилиндра. Никакого повторения событий здесь нет, так как одному и тому же месту движущейся точки на разных циклах соответствуют различные значения координаты времени.

Итак, разрешение противоречий в конструкции замкнутого причинного порядка в общей теории относительности в духе причинной теории времени является неудовлетворительным. Неудовлетворительным по причине того, что эта теория времени в изложенной ее версии исходит из допущений, противоречащих теории относительности. Можно ли вообще устранить эти противоречия в рамках теории относительности? Представляется целесообразным рассмотреть два подхода к проблеме, которые не отвергают теории относительности. Прежде всего можно себе представить, что конструкция замкнутых времениподобных является квазизамкнутой. В действительности она представляет собой многослойную бесконечную линию.

Такой подход, правда, применительно к пространству был в свое время описан А. Фридманом. Касаясь вопроса об интерпретации пространства постоянной положительной кривизны как конечных, Фридман пишет: «Утверждают, что, найдя постоянную продолжительную кривизну Вселенной, можно якобы заключить о ее конечности, и прежде всего о том, что прямая во Вселенной имеет «конечную длину», что объем Вселенной является тоже конечным и т. п. Это утверждение может быть основано или на недоразумении, или на дополнительных гипотезах. Из метрики мира оно ни в коем случае не вытекает, а только метрика может быть выяснена мировыми уравнениями»^[8].

Вопрос о конечности пространства, по мнению Фридмана, зависит не только от метрики пространства, но и от условия, когда две системы координат определяют одну точку. Если мы допустим, что две точки, лежащие на сфере и разделенные разностью долгот в 360°, являются совпадающими, то данное двухмерное сферическое пространство конечно. Если же эти точки различны, то, несмотря на замкнутость, сфера представляет собой многослойное бесконечное пространство.

Аналогично мы можем рассуждать и о замкнутом времени, реализующем замкнутую причинную цепь. Противоречие в этой конструкции возникает лишь тогда, когда мы предполагаем тождественность двух событий — «исходного» и «повторного». Однако можно допустить, что это предположение непосредственно не вытекает из метрики времениподобных. Если мы откажемся от этой дополнительной гипотезы, то получим квазизамкнутое бесконечное время с соответствующей ему квазизамкнутой бесконечной причинной цепью. Нет необходимости говорить, что такая конструкция непротиворечива.

Надо, однако, признать, что конструкция многослойного бесконечного пространства и времени представляется довольно искусственной. Она является следствием абстрактного математического условия и не имеет реального смысла. В противоположность ей гипотеза односвязности (в изложенном ее понимании) пространства и времени выглядит более естественной. Она более физична. Поэтому когда, например, говорят о пространстве постоянной положительной кривизны, то без всяких обиняков квалифицируют его и как конечное пространство. Также поступают и в отношении замкнутого времени.

Таким образом, хотя гипотеза многосвязности и устраняет противоречивость конструкции замкнутых времениподобных на абстрактно-математическом уровне, она весьма проблематична в физическом плане.

Но существует и другой подход, который также устраняет противоречивые конструкции замкнутых времениподобных линий, не предполагая при этом радикального выхода за рамки общей теории относительности. Он связан с критическим анализом геометрического описания времени, используемого современной физикой, в том числе и физикой релятивистской.

Если подойти к понятию времени с генетической точки зрения, то можно установить, что оно было выработано для описания событий, часть которых происходит раньше (или позже) других. В этом отношении понятие времени противоположно понятию пространства, которое описывает структуру одновременных событий. Количественное различие разновременных событий находит свое выражение в длительности или временной протяженности. Если временное порядковое отношение является топологическим, а следовательно, имеет качественную природу, то длительность — это качественное свойство времени.

Создание Декартом метода координат и применение его в физике позволили использовать для описания длительности средства геометрии. При решении достаточно широкого класса задач по исследованию характера изменения физических величин во времени оказалось удобным использовать такую координатную сетку, одну из осей которой составляет временная ось. Последняя представляет собой не что иное, как геометрическую модель реального временного процесса.

Отмечая модельный характер геометрических образов времени, следует подчеркнуть своеобразие их отношения к оригиналу. Было бы ошибочно полагать, что геометрическим линиям времени, которые применяются в математическом аппарате физики, соответствуют реальные физические линии. Время в этом отношении существенно отличается от пространства, математические образы которого во многих случаях являются прямым отражением пространственных форм реального мира.

Линии, служащие геометрическими моделями времени, независимо от этой функции являются пространственными объектами в том смысле, в каком ими являются точка, плоскость и т. п. Поэтому геометризация времени по своей сущности есть процедура представления времени в терминах пространства.

Геометрически моделируя время, мы тем самым оперируем им по законам, определенным для пространства. Но даже и в геометрическом представлении время не должно быть эквивалентным пространству в собственном смысле этого слова. Каким образом можно провести различие между временной и пространственными координатами? Трудность этого заключается в том, что фундаментальное топологическое различие пространства как множества одновременных событий и времени как последовательности событий, упорядоченных отношениями «раньше» и «позже», учитывается в пространственных и временных линиях лишь окольным путем. Например, считается, что интервал, разделяющий события A и В, имеет значение ненулевого отрезка времени лишь тогда, когда одно из названных событий происходит раньше другого. В случае одновременности событий этот отрезок имеет значение не временной, а пространственной величины. Таким образом, геометрическое представление времени не фиксирует его топологию в явной форме, но предполагает ее.

Нередко утверждается, что теория относительности в полной мере определила специфику пространства и времени, указав, что временная компонента пространственно-временного интервала является действительной, а пространственные компоненты — мнимыми. Такая оценка по меньшей мере неточна. Конечно, знак квадрата временной компоненты пространственно-временного интервала всегда отличается от знака квадратов пространственных его компонент, и это позволяет провести четкое различие между временем и пространством. Но сам по себе этот знак еще не раскрывает топологию времени как последовательность событий, упорядоченных временными отношениями. Мы можем представить квадратичную форму пространственно- временного интервала не только формулой ds² = c²dt² — dx² — dy² — dz², но и выражением ds² = dx² + dy² + dz² — c²dt². В первом случае времени соответствует знак плюс, во втором — минус.

Появление в общей теории относительности конструкций с замкнутым временем можно объяснить тем, что геометрическое описание времени, которым пользуется эта теория, не учитывает явным образом топологию времени. Следуя геометрическому описанию времени, она оперирует временем как пространством, замкнутость линий которого не содержит в себе никаких логических противоречий. Явное задание топологических аксиом времени позволило бы исключить из рассмотрения эти конструкции. Эти аксиомы могли бы служить одним из средств отбора решений уравнений общей теории относительности, выявления среди них «лишних» решений. Таким образом, проблема, связанная с анализом конструкций замкнутого временного и причинного порядка, может быть решена простым исключением из теории этих конструкций.

Излагаемые нами подходы к анализу конструкций замкнутого временного и причинного порядка являются подходами, предпринимаемыми в рамках или «почти» в рамках общей теории относительности. Однако, вообще говоря, не исключено, что проблема причинности найдет свое более глубокое решение в рамках новой теории, предельным случаем которой станет общая теория относительности. Но эта апелляция к будущему в развитии науки не зачеркивает значения поисков решения проблемы в рамках наличного знания.

Подводя итог всему вышеизложенному, следует подчеркнуть, что общая теория относительности не дает никаких оснований для пересмотра принципа причинности. Те ситуации, при которых он, казалось бы, не выполняется, оказываются чреватыми логическими противоречиями. С точки зрения общей теории относительности, ее логических оснований представляется более разумным исключить те конструкции, которые отвергают принцип причинности, нежели, приняв их, ограничить при этом область применимости принципа причинности.

1. К. Gödel. A remark about the relationship between relativity theory and idealistic philosophy. — «Albert Einstein: Philosopher- Scientist». Evanston, 1949, p. 561. ↑

2. «Albert Einstein als Philosoph and Naturforscher». Stuttgart, 1955, S. 410. ↑

3. См. А. Эйнштейн. Собрание научных трудов, т. IV. М., 1967, стр. 313. ↑

4. Там же, стр. 314. ↑

5. Дж. Синг. Общая теория относительности. М., 1963, стр. 228. ↑

6. Г. Рейхенбах. Направление времени. М., 1962, стр. 58. ↑

7. А. Грюнбаум. Философские проблемы пространства и времени. М., 1969, стр. 249. ↑

8. Л. Фридман. Мир как пространство и время. М., 1965, стр. 101. ↑