Вопросы математизации современного естествознания

1. О научно-технической революции XX века

Несомненно, что двадцатый век войдет в историю человечества не только в связи с великими социальными революциями, приводящими к коренному переустройству человеческого общества. Будущие историки не смогут обойти молчанием также научно-техническую революцию, происходящую в наше время. За какие-нибудь пятьдесят лет человечество совершило колоссальный скачок в науке, промышленном производстве, техническом развитии, в познании и покорении сил природы. За этот ничтожный в масштабах истории срок объем знаний по сравнению с теми, которые были приобретены за всю предыдущую историю человечества, возрос в несколько раз. Одновременно ускорился и процесс использования научных методов и результатов в практической жизни. Наука превратилась в непосредственную производительную силу, (позволившую резко повысить производительность труда, расширить номенклатуру исходных материалов и используемых закономерностей природы. Во всех развитых странах появилась большая категория лиц, посвятивших себя научным поискам. На научные исследования общество стало выделять значительные суммы, уже составляющие заметную часть государственных бюджетов. Возникла насущная проблема массовой подготовки молодых людей в духе стремления к научному творчеству и постоянных поисков нового. Многочисленные научные открытия нашего времени стали влиять видимым и решительным образом на ход исторического процесса. Одновременно на развитие науки, на выделение основных направлений ее прогресса все большую роль стало оказывать общество через правительственные органы. Идея планирования науки, которая была впервые высказана и начала осуществляться в Советском Союзе, теперь фактически принята и в других, в том числе и капиталистических, странах.

Технический прогресс XX в. возник, конечно, не на пустом месте, а был предопределен предшествующим научным и промышленным развитием, а также изменением общественных отношений. Тем не менее техника и промышленность наших дней коренным образом отличаются от того, что было в XIX в. Пожалуй, наиболее характерными для промышленности современности являются следующие особенности.

Прежде всего обращает на себя внимание повсеместный переход с производства единичных изделий на массовое, поточное производство. Изделия как бы теряют индивидуальность, их изготовляют в огромных количествах, стремясь при этом как можно ближе воспроизвести в каждом последующем предшествующие экземпляры.

Промышленность повсеместно перешла на новую энергетическую базу. Энергия человека и животных, которая в таких огромных количествах использовалась еще в первые два десятилетия нашего столетия, почти полностью заменена на электрическую. Непременным условием развития промышленности теперь является предварительное или одновременное строительство мощных электростанций. Земля опутана сетью линий передач промышленной электрической энергии. Энергия передается с мест производства в места потребления не только за десятки, но и за сотни и даже тысячи километров. В электрическую энергию перерабатываются каменный уголь, нефть, энергия рек, внутреннее тепло земли (электростанции на геотермальных водах), энергия атомного распада. Само производство электрической энергии превратилось в мощную ветвь индустрии, являющуюся основой развития всей промышленности и базой научного эксперимента.

Наш век явился началом массового изобретения новых материалов и внедрения их во многие области практики и личного обихода. Новые материалы приходят на смену старых, употребление которых освящено столетиями, поскольку новые материалы во многих отношениях оказываются лучше старых. Перед наукой (промышленность выдвигает задачи создания новых материалов с заданными свойствами, и во многих случаях наука находит ответ на предложенные ей вопросы. Уже созданы полимеры, обладающие большей прочностью, чем сталь, и одновременно более легкие. В истории человечества появление бронзы, а затем железа знаменовало собой новые этапы в развитии человеческого общества. Недаром соответствующие эпохи получили наименование бронзового и железного веков. Наше время с успехом можно назвать веком полимеров.

Производство уверенно идет по пути автоматизации. Сначала (робко автоматизировались отдельные процессы. Изобретатели шли по пути подражания тем действиям, которые осуществляет в работе человек, заменяя последнего на отдельных производственных операциях машиной. Далее начались успешные поиски возможности устранения вмешательства человека во всей последовательности действий, которую (нужно совершить для превращения полуфабриката в готовый продукт. Но мало что-то сделать, нужно это сделать так, чтобы изделия, выходящие с автоматической линии, удовлетворяли всем самым высоким производственным, техническим и экономическим требованиям. Необходимо, чтобы операции, выполняемые автоматически, были осуществлены так, чтобы в дальнейшем исключалась потребность в квалифицированном ручном труде по «подгонке», шлифовке, замерам и пр. Необходимо передать автоматическим приборам и устройствам контрольно-измерительные функции и управление технологическим процессом. Особенно важно это в быстро протекающих процессах, а также в химических производствах. Разного рода управляющие устройства механического действия начали широко использоваться уже в тридцатых годах. Многие из них основаны на идее, заложенной в устройстве Жаккарда для получения сложных переплетений в тканях. Появление электронных вычислительных машин перевело на качественно иной уровень проектирование и возможности управляющих устройств. Огромная скорость действия, большие возможности для переработки и хранения информации сделали современные вычислительные машины незаменимым и хорошо приспособленным для целей управления средством.

Автоматизация, включая автоматическое управление процессом производства в целом, (приводит, с одной стороны, к огромной экономии общественного труда, а с другой — к резкой экономии сырья, исходных материалов, затрачиваемой энергии и одновременно к большей однородности качества окончательной продукции. В книге Яна Ауэрхана «Автоматизация и общество» приведены многочисленные примеры эффективности автоматизации. Воспроизведем один из них. На (нефтеперерабатывающем заводе фирмы «Эссо петролеум компани» в городе Фоли (Англия), перерабатывающем приблизительно 25 000 т нефти в сутки и дающем примерно треть всего внутреннего потребления нефтепродуктов в Англии, работает только 6 человек обслуживающего персонала в смену^[1].

Классическим примером возможностей автоматизации, облетевшим в свое время все технические журналы мира, является советский автоматический завод по производству поршней автомобильных двигателей. По некоторым данным, автоматическое управление в химической промышленности дает возможность лучше использовать сырье и исходные материалы, а также поддерживать технологический процесс на оптимальном уровне практически непрерывно. Экономия сырья при этом доходит до 30% и превышает расходы на зарплату рабочим и инженерно-техническому персоналу.

Автоматизация производства вызвала множество постановок научных проблем и в первую очередь проблем количественных закономерностей, связанных с ходом технологического процесса, выявлением связей между разного рода параметрами, определяющими ход процесса, и окончательным результатом. Появилась необходимость в строгом логическом описании течения технологического процесса, которое позволяло бы находить те моменты, когда должно вмешиваться управляющее устройство, а также характер и размер этого вмешательства. Одних указаний качественного характера, подобных «завернуть гайку до отказа», «варить сталь до готовности» и пр., которыми так пестрит производственный жаргон, недостаточно для автоматических управляющих устройств. Им нужны строгие указания, выраженные в точной математической форме. В результате от техники посыпались заказы математике. Анализ этих требований показал, что для успешного осуществления автоматического управления процессами необходимо широко привлекать математический аппарат и при этом развивать новые математические методы. Так, автоматизация, являющаяся составной частью технической революции нашего времени, тесно связала развитие техники с развитием математики.

Сейчас уже нет сомнения в том, что широкое привлечение математических методов следует считать одной из основных особенностей современного технического развития.

Естествознание, включающее в себя физику, биологию, химию, астрономию, географо-геологические науки, испытало еще в XIX в. бурное развитие. XX в. дал не только дополнительные толчки к дальнейшему прогрессу, но и новые технические возможности уточнения и углубления экспериментальных исследований. Естествознание пошло по двум основным путям — изучения микростроения природы и исследования строения Вселенной в целом.

Открытие в конце прошлого века явления радиоактивности явилось поворотным пунктом в развитии всей физики, да и не только физики. Исследование внутримолекулярных и внутриатомных явлений стало, пожалуй, становым хребтом современного естествознания. По этому пути идет собственно ядерная физика и физика твердого тела. Без глубокого проникновения в характер внутриатомных процессов невозможно исследовать действие полупроводниковых приборов, явления упрочнения при обкатке, старение вещества в работе, прогноз безотказности разного рода устройств, явления памяти и мышления, процессы, протекающие внутри организма и поддерживающие его жизнеспособность.

Электромагнитные волны Герца, приведшие к созданию первых приборов А. С. Попова, открыли новую область исследований и техники — радиоэлектронику. Без радиоэлектронных приборов сейчас уже невозможно представить себе ни нашу повседневную жизнь, ни экспериментальную науку, ни управляющую технику, ни медицинскую аппаратуру. Несомненно, что радиоэлектроника является одной из важнейших составных частей современной научно-технической революции.

Изучение закономерностей микромира привело к бурному развитию теоретической и математической физики. Новые явления уже не находили объяснений в старых представлениях. Требовалось создать новые теории строения вещества. Гипотезы, которые лежали в основе этих теорий, уже не могли быть извлечены из непосредственных наблюдений. Наблюдать удавалось только отдельные следствия из этих первичных предположений. По степени согласованности наблюдаемых фактов с выводами теории делались выводы о соответствии гипотезы природе вещей. Путь от наблюдений к гипотезе и от гипотезы к последующим наблюдениям и экспериментам усложнился — появилось непременное новое звено — математический вывод следствий из гипотезы, которые уже доступны наблюдению. И этот путь стал в современной физике не исключением, а правилом. Математика стала не только способом количественного выражения физических закономерностей, но и методом их исследования. Математика из вспомогательного средства изучения превратилась в современной физике в повседневное, равноправное, гибкое и зачастую единственное действенное орудие. Понятно, что новая роль, выпавшая на долю математики, вызвала необходимость разработки новых математических дисциплин, которые позволяли бы полнее и точнее отражать существо изучаемых явлений.

Глубокие изменения произошли в такой древней области исследований, как астрономия. Достаточно назвать такое завоевание человеческой мысли, как теория относительности, которая связала воедино множество основных физических и геометрических категорий — пространство, время, энергия, материя, — чтобы увидеть величие новых идей. Под знаком теории относительности в значительной степени шло развитие астрономии, физики и математики в последние пятьдесят лет. Астрономия перешла от описательных методов изучения Вселенной к количественным в еще более широком масштабе, чем это удалось сделать в XVIII и XIX вв. Основное внимание астрономия обратила на изучение звездных миров, межзвездной материи, туманностей, эволюции небесных тел. Астрономия в значительной мере стала 176

механикой и физикой, но механикой и физикой не земных условий, а космического пространства. В нашем веке возникла мысль об изучении космоса посредством ракет, космических станций, искусственных спутников Земли. Идеи К. Э. Циолковского, выдвинутые им в ряде основополагающих работ, нашли в наши дни не только теоретическое развитие, но и экспериментальное осуществление: впервые человек попал в космос, познал явление невесомости, первые лаборатории были заброшены на Луну, Венеру и посланы к Марсу. Человечество узнало об окружающем нас пространстве в результате даже этих первых решительных шагов много больше, точнее и полнее. И вновь успехи астрономии и космонавтики потребовали всесторонней помощи математики, дальнейшей математизации этих наук. Математика стала органической составной частью древнейшей из наук о природе. Запросы астрономии побудили математику развивать свои методы и создавать новые математические дисциплины.

Биологические науки испытали на протяжении XX в. ряд стимулирующих влияний как со стороны физики и химии, так и со стороны техники, неизмеримо раздвинувших возможности эксперимента. Биология все решительнее ведет наступление на проблемы внутриклеточной деятельности как основы жизненных процессов, изучает принципы регулирования процессов жизнедеятельности как отдельной клетки и организма в целом, так и биологической среды, т. е. совместной жизни множества организмов одного и разных видов. Это последнее направление явилось одним из основных источников появления науки об управлении — кибернетики. В свою очередь идеи кибернетики оказали огромное обратное влияние на развитие новых направлений исследований в биологии с позиции управляющих систем.

Процессы высшей нервной деятельности заняли впервые в вопросах науки подобающее им место. Идеи и работы И. П. Павлова, положившие начало экспериментальному подходу к изучению высшей нервной деятельности, оказали (решающее влияние на направление современных поисков. Физические и химические процессы, сопутствующие передаче нервных возбуждений, стали одним из основных объектов изучения. В результате исследования биотоков удалось выяснить глубокие закономерности, которым подчиняется жизнедеятельность организма. Фундаментальные сдвиги получены в понимании механизма наследственности. Генетикой получены многочисленные результаты, имеющие не только основополагающее теоретическое значение, но и внушительные перспективы практических применений. В биологии, как и в физике, наука подошла к подробному и всестороннему изучению «элементов материи».

Математические методы, показавшие себя в механике, астрономии, физике и технике мощнейшим и незаменимым орудием исследования, все смелее используются в биологии. Фактически до последнего времени математика развивалась преимущественно под влиянием запросов физики, техники и экономики. Биологии в этом процессе принадлежала относительно небольшая роль. Пожалуй, только математическая статистика возникла и росла главным образом под воздействием проблем, возникавших в биологии и опытном деле, связанном с агрономией. Наступает период, когда потребности биологии окажут более решительное воздействие на прогресс математики.

2. Вопросы математизации науки

Существенное расширение области научных исследований, стремление находить количественные закономерности явлений, систематические усилия по изучению окружающего нас мира как в малом, так и в целом привели в нашу эпоху к усилению роли математических методов исследования. Еще совсем недавно считалось достаточным сказать для объяснения явления усталости, что при работе человек утомляется. Теперь это кажется наивным, поскольку такое объяснение ни на шаг не продвигает вперед в познании биофизических, биохимических и психических процессов, сопутствующих процессу утомляемости. Мы не выясняем при таком объяснении причины и того, почему утомление приходит позднее, когда человек делает работу с увлечением. Возникла необходимость в выяснении точных количественных закономерностей, которые позволяли бы предвычислить наиболее целесообразное поведение работающего лица в сложившихся условиях, чередование промежутков работы с промежутками отдыха, чтобы суммарная работа, выполненная данным лицом (коллективом) за определенный промежуток времени, была максимальной. Насущные теоретические и прикладные задачи приводят нас неизбежно к использованию математических методов в решении вопросов естествознания, экономики и ряда гуманитарных наук. Благодаря математизации наук знание качественного своеобразия явлений и законов природы не только ничего не теряет, но становится более полноценным, поскольку мы приобретаем возможность предвычислять течение явлений. Математизация позволяет устанавливать степень совершенства знания путем количественного сравнения представлений о закономерностях с реальным течением соответствующих явлений.

Без количественно оформленных законов мы, как правило, лишены возможности их практического использования. В самом деле, предположим на минуту, что мы знаем законы механики в чисто качественной форме и не можем их использовать для точных расчетов. В этом случае мы были бы бессильны рассчитывать траектории движущихся тел, например движения спутника Земли, подсчитать первую космическую скорость. Попытки определить ее посредством прямого эксперимента, как легко видеть, безнадежны. Но точно в таком же положении человечество оказывается каждый раз, как только оно стремится овладеть каким-нибудь явлением и практически его использовать.

Эта простая мысль была понята, по-видимому, прежде всего астрономами, и с глубокой древности они, используя и развивая математические методы, получали поражающие воображение современников результаты. Еще до начала нашего летоисчисления были найдены способы расчета солнечных и лунных затмений. XVIII в. принес разработку методов вычисления положения небесных тел солнечной системы, приведших к удивительным открытиям, существенно пополнившим наши сведения об окружающем нас пространстве. Сейчас человечество перешло на новую стадию изучения космоса и стоит на пороге того времени, когда удастся создать постоянно действующее обсерватории на Луне, на искусственных спутниках Земли или же на других планетах. Первоначально это будут автоматически работающие станции, наподобие тех, которые уже запускались на Луну, Венеру и Марс. Разница будет лишь в объеме заданий и длительности их действия. Они позволят нам не только лучше узнать условия, существующие в околоземном пространстве и -более удаленных его частях и тем создать предпосылки для экспедиций человека на другие небесные тела, но также получить фотографии других планет исключительной чистоты. Но осуществление этих планов немыслимо без широкого привлечения математических расчетов, без разработки специальных методов кодирования, позволяющих передавать необходимую информацию через каналы с колоссальным по мощности шумовым полем. Возникающие при этом новые вопросы невозможно решать только путем экспериментирования, необходима разработка математической теории соответствующих явлений.

Математизация физики началась очень давно, и нет возможности указать какую-то определенную дату, которая служит разделом двух эпох —эпохи чисто эмпирической и эпохи математизированной физики. Однако несомненно, что успехи методов математического анализа в задачах механики уже в первые десятилетия их использования привели к многочисленным попыткам применения математических методов к изучению иных физических явлений. Так появились работы Д. Бернулли в области гидродинамики, Л. Эйлера и Даламбера — по теории колебания струны. Эти отдельные попытки к началу XIX в. создали серьезную базу для замечательных исследований П. Лапласа, Пуассона по теории притяжения, Ш. Фурье по теории теплопроводности, О. Коши по теории упругости, Френеля — по волновой теории света. На сцену уверенно выходил математический метод изучения физических явлений, наука пополнилась новой дисциплиной — математической физикой. Ее путь, как и путь большинства новых наук, сопровождался, с одной стороны, отрицанием полноценности ее результатов, а с другой — убеждением в исключительных ее возможностях.

Пожалуй, наиболее ярко выразил эту уверенность в мощи математического анализа П. Лаплас. Напомним следующие его слова: «Ум, которому были бы известны для какого-либо данного момента все силы, одушевляющие природу, и относительное положение всех ее составных частей, если бы вдобавок он оказался достаточно обширным, чтобы подчинить эти данные анализу, обнял бы в одной формуле движения величайших тел Вселенной наравне с движениями легчайших атомов: не осталось бы ничего, что было бы для него недостоверно, и будущее, так же как и прошедшее, предстало бы перед его взором. Ум человеческий в совершенстве, которое он сумел придать астрономии, дает нам (представление о слабом наброске этого разума. Его открытия в механике и геометрии в соединении с открытием всемирного тяготения сделали его способным понимать под одними и теми же аналитическими выражениями прошедшие и будущие состояния мировой системы. Применяя тот же метод к некоторым другим объектам знания, нашему разуму удалось подвести наблюдаемые явления под общие законы и предвидеть явления, которые будут вызваны данными условиями»^[2]. Так были сформулированы основные идеи детерминизма, получившего наименование лапласовского.

Интересные слова были предпосланы первой статье Н. Абеля одним из редакторов норвежского «Естественнонаучного журнала» профессором Ханстином. «Математика — это учение о природе в самом чистом его виде. Математика для ученого — то же самое, что скальпель для анатома: необходимейший инструмент, без которого невозможно проникновение в суть вещей… Те, кто попытаются идти вперед без этого орудия, вынуждены будут остаться на пороге»^[3].

XIX в. принес многочисленные новые успехи применения математических методов в физике. Например, вывод К. Максвеллом знаменитых уравнений электродинамики не только обобщил известные факты, но и привел к важнейшим следствиям. На первое место среди них следует поставить вывод о существовании электромагнитных волн, распространяющихся со скоростью света. Это дало возможность выявить электромагнитную природу света, а также обнаружить связи между оптическими и электромагнитными характеристиками вещества. Как ни велики были последствия этих результатов для всего естествознания, в литературе еще неоднократно раздавались голоса о неполноценности и недостоверности физических знаний, получаемых математическим путем. Для таких заключений имелось достаточно оснований, поскольку нередко заключения математической теории распространялись на явления, выходящие за пределы действия ее предпосылок. Как бы совершенна ни была теория, она не в состоянии охватить природу во всех ее деталях. По мере накопления наших знаний наши наблюдения и теоретические выводы столкнутся в несоответствии: либо теоретический вывод не будет подтвержден опытом, либо результат эксперимента не будет охвачен теорией. Такие факты были в прошлом, они будут встречаться и дальше. Мы имеем дело с хорошо известным ленинским тезисом о соотношении абсолютной и относительной истины, о познании абсолютного через относительное знание по мере прогресса науки.

Об этом прекрасно сказал Луи де Бройль: «Когда физическая теория добивается получения связного математического представления об известных явлениях, она стремится к тому, чтобы предсказать новые явления. Иногда эти предсказания подтверждаются дальнейшими экспериментальными исследованиями и теория, выдержав, таким образом, испытание, укрепляется. Иногда — и можно сказать, что с течением времени это всегда в конце концов происходит, — либо эксперимент не подтверждает одного из предсказаний теории, либо вдруг в ходе эксперимента обнаруживается, зачастую независимо от воли исследователей, новый факт, который не согласуется с теорией. Тогда нужно доделать или переделать воздвигнутое ранее здание теории. Но, и это существенно, такая переделка, поскольку она всегда должна производиться с учетом всех накопленных ранее фактов, должна быть осуществлена так, чтобы включить тем или иным образом, и зачастую в качестве первого приближения, в новую теорию предыдущую теорию и всю совокупность уравнений, на которых она зиждется, хотя их истолкование может измениться. Таким образом, новая теория должна признать все точные предсказания старой теории, но, отличаясь от нее в некоторых пунктах, она должна строго предвидеть наблюдаемые факты, в том числе и те, которые старая теория не в состоянии предвидеть. Путем таких последовательных включений развивается теоретическая физика; не отрицая ни одного из предыдущих успехов, она охватывает все время изменяющимся и расширяющимся синтезом возрастающее число экспериментальных фактов»^[4].

Математизация науки состоит не в том, что удается исключить из процесса познания эксперимент и наблюдение, а в том, чтобы на базе некоторых исходных точно формулируемых предпосылок делать строгие заключения о тех выводах, к которым приводят эти предпосылки. Поскольку каждая математическая теория того или иного физического (или иного) явления представляет собой лишь приближенное отражение его, естественно, что рано или поздно будут наблюдаться расхождения между теорией и реальностью. Собственно, в этом и состоит прогресс наших знаний. Однако процесс постепенного углубления наших знаний, приближения наших представлений о природе вещей к действительности относится не только к физике.

«Место математики в физической науке трудно определить раз и навсегда, — писал американский физик Ф. Дайсон. — Взаимоотношение математики с наукой столь же богато и разнообразно, как и сама наука. При всех изгибах и поворотах истории физики один фактор остается неизменным — решающее значение математического воображения. Каждое столетие характерно своим особым отношением к науке и своим стилем в математике. Вместе с тем во времена крупнейших достижений более глубокое понимание физики достигалось комбинацией экспериментальных наблюдений и чисто математической интуиции. Математика для физика является не просто инструментом, при помощи которого он рассчитывает различные явления. Математика — это основной источник представлений и принципов, посредством которых создаются новые теории»^[5].

Только что высказанная точка зрения является сейчас в физике общепринятой, она на протяжении последних лет многократно высказывалась рядом крупнейших физиков, как теоретиков, так и экспериментаторов. В. Гейзенберг писал, что «первичным языком, который вырабатывают в процессе научного усвоения фактов, является в теоретической физике обычно язык математики, а именно — математическая схема, позволяющая физикам предсказывать результаты будущих экспериментов»^[6].

Однако не только физика, но и буквально все области знания требуют «источника представлений» о природе протекания процессов природы. Когда мы изучаем явление памяти и хотим проникнуть в его природу, то одних экспериментов для этого недостаточно, необходимо еще выдвижение гипотез, которые бы объясняли уже наблюденные факты и позволяли бы предвидеть еще не наблюденные. Модель работы памяти должна быть при этом такой, чтобы можно было проверять эту гипотезу точными количественными методами, а не путем ссылок на внутреннюю убежденность. Вопросы мышления, которые в наши дни стали одной из центральных областей исследования, требуют не только длительных наблюдений, но и построения количественных теорий мышления, позволяющих предсказывать течение явлений и указывать в проверяемых терминах границы изменений того или иного количественно измеряемого феномена при определенном изменении условий.

История физики убедительно показала, что каждое серьезное продвижение по пути наших знаний физических явлений требовало от математики некоторой перестройки, а порой и коренного обогащения ее методов и объектов изучения. Применялись не только готовые математические методы и результаты. Физика требовала вести поиски такого математического аппарата, который наиболее полно в данной обстановке позволил бы описывать широкий круг интересующих ее явлений.

Когда в организации производства возникла потребность в поисках приемов, позволяющих оптимальным путем использовать имеющиеся ресурсы, тогда выявилась необходимость в построении новых математических теорий — линейного и нелинейного программирования, с одной стороны, и теории массового обслуживания, с другой. Разнообразные области знания и практической деятельности удалось с помощью этих новых математических дисциплин осмыслить лучше, точнее, глубже. Точно так же вопросы рационального управления ресурсами (материальными, людскими, энергетическими) выдвинули необходимость отказа от чисто качественных соображений и перехода к созданию количественных методов учета реальной обстановки. Задачи управления процессами развития (биологического, экономического, технического и пр.) выдвинули перед математической наукой большое число вопросов, которые уже не укладывались в ранее существовавшие математические схемы. Потребовалось создать новые дисциплины — динамическое программирование, а также теорию оптимального управления, что связано с созданием Л. С. Понтрягиным новой главы вариационного исчисления.

Вместе с прогрессом нашего знания будут развиваться и методы математического описания и анализа интересующих нас явлений. Прогресс науки и техники во всех областях постоянно будет вызывать необходимость безостановочного прогресса и самой математики. Что в точности потребуется развивать в математике для прогресса естествознания в ближайшие пятьдесят или даже двадцать лет, мы, естественно, не знаем. Однако уже теперь мы можем утверждать, что для успешного продвижения математических методов в конкретных науках абсолютно необходимо непрерывное развитие общих математических идей, теории математики.

3. Изменение представлений о прикладной математике

На протяжении истории изменялись не только содержание, объем и характер математики и представления о математической строгости, но также те математические средства, которые принято называть прикладными.

В глубокой древности, когда только зарождались представления о счете предметов и измерении расстояний, еще не было разделения математических знаний на прикладные и теоретические. Лишь во времена древней Греции наметилось это разделение. Платон и его школа высоко ценили математические знания, приобретенные лишь ради них самих, а не ради практических целей. Недаром в знаменитом диалоге «Государство» Платон вкладывает в уста Сократа такие знаменательные слова: «Под именем науки я не могу разуметь ничего иного, кроме того, что рассуждает о сущем и невидимом».

Далее он подчеркнул эту мысль, сказав, что геометрия есть наука лишь постольку, поскольку она созерцает «су- шее», поскольку же она направляется на «бытное» (т. е. мир явлений, вещей), она перестает быть наукой. При обсуждении вопроса о своеобразии математического образования для юношей привилегированных классов Сократ утверждал, что «они должны заниматься арифметикой не как простые люди, но до тех пор, пока не подымутся мышлением до созерцания природы чисел, изучая ее не для купли и продажи, как купцы или торгаши, но для войны и самой души с целью облегчить ей обращение от бытных вещей к истине и сущему»^[7].

Само собой разумеется, что никто не может назвать занятиями наукой применение стандартных знаний к стандартным ситуациям. Каждодневное применение четырех правил арифметики к банковским расчетам или же к расчетам траекторий искусственных спутников Земли не будет вкладом в науку, тогда как формулировка правил арифметики, пусть даже на базе операций с раковинами и овцами, явилась важнейшей вехой в развитии человечества. В этом смысле слова Платона абсолютно правильны. Назначение ученого математика, несомненно, состоит в том, чтобы открывать новые истины, подмечать и доказывать новые теоремы, вводить новые понятия, под которые попадают многие ситуации и ранее введенные понятия. Однако было бы ошибочно считать, что недостойно ученого-математика анализировать конкретные явления и процессы, используя для этого как уже разработанный математический аппарат, так и создавая основу для нового прогресса собственно математических знаний. Несмотря на то, что разум исследователя при этом направлен на практику, он занят наукой, является ученым в полном смысле этого слова. Не имея в виду критику приведенных положений Платона, я привел их с единственной целью: проиллюстрировать мысль о том, как и когда представление о теоретической науке стало отдаляться от представлений о прикладных знаниях и даже противопоставляться им. Возможно, что от Платона идет и бытующая в некоторых кругах математиков привычка считать прикладные математические исследования за работу второго сорта, которая недостойна ученого высокого ранга.

Изучение Земли и расположения небесных светил прибавило к прикладным математическим знаниям элементы сферической геометрии и тригонометрии. Собственно, до XVII в. объем прикладной математики ограничивался перечисленными разделами. Потребовались существенные изменения в жизни общества, чтобы общественная практика перестала удовлетворяться привычными математическими средствами исследования. Необходимость изучать движение была вызвана появлением артиллерии, развитием морских сообщений, созданием мануфактурного производства, прогрессом астрономических знаний (тесно связанным с развитием морских сообщений). Хорошо известно, что поводом, который привел Кеплера к разработке методов вычисления объемов и тем самым основ интегрального исчисления, был заказ виноторговцев. Приближенные методы, предложенные Кеплером, были одновременно одним из толчков развития анализа бесконечно малых.

Математический анализ, возникнув из актуальных задач практики, почти немедленно открыл перед математическими методами буквально неограниченные возможности практических применений. В первую очередь успехи коснулись механики и небесной механики. Наука получила безотказный способ расчетов, позволяющий предсказывать течение явлений. Дифференциальное и интегральное исчисления вместе с теорией дифференциальных уравнений прочно вошли в обиход прикладной математики уже с начала XVIII в.; это отразилось в том, что преподавание математического анализа в высших инженерных учебных заведениях стало обязательным с конца того же века. Сейчас мы должны удивляться тому, что система математического образования инженера за последние сто с лишним лет в подавляющем большинстве ВТУЗов осталась почти без изменения.

Попытки изучения математическими методами колебания струны, движения несжимаемой жидкости, а также вопросов притяжения небесных тел привели к необходимости рассмотрения задач, связанных с решением дифференциальных уравнений в частных производных. С конца XVIII в. теория уравнений в частных производных получила широкое развитие, особенно в связи с вопросами распространения тепла в твердых телах и в жидкости, задачами теории упругости, оптики, электричества и магнетизма. Начала создаваться математическая физика, позволившая не только количественно описать уже известные физические явления, но и предсказать ряд интересных феноменов.

Нельзя сказать, что признание математической физики как полноправного математического орудия исследования физических явлений происходило безболезненно. Известно, что еще в нашем столетии многие физики отрицали ее методы. И лишь необходимость развития ядер ной физики привела к признанию за математикой роли одного из самых гибких и глубоких методов физического исследования.

Теория вероятностей, зародившаяся в середине XVII в. на базе задач азартных игр, вопросов демографии и страхования, уже в конце XVIII — начале XIX столетия стала основой теории ошибок наблюдений. Однако основной стимул прогресса теории вероятностей как математической науки, так и в ее приложениях имеет более глубокие корни. На первое место здесь следует поставить физику, в которой с середины прошлого века стали развиваться молекулярные концепции. Вместе с молекулярными воззрениями в физику прочно вошли и теоретико-вероятностные представления. Понятия и результаты теории вероятностей эпохи Лапласа и более позднего времени не отражали и в малой степени запросы физики. В начале нашего века построение логических основ теории вероятностей и расширение ее понятий стало насущно необходимым для идейного прогресса физики. Кроме того, мы должны указать на запросы биологии. В прошлом веке рядом исследователей были замечены интересные вероятностные закономерности биологических явлений. Изучение динамики популяций предъявило к теории вероятностей новые требования, которые послужили одним из источников создания теории случайных процессов. Наконец, прикладные задачи организации массового производства и телефонных сетей также потребовали широкого развития как основных понятий теории вероятностей, так и создания теории случайных процессов. Теория вероятностей со все большей скоростью стала занимать основные позиции в прикладной математике и одновременно укреплять свое положение в качестве одной из центральных математических дисциплин.

Авиация, начало развития которой относится к концу прошлого века, положила начало новому направлению исследований, получившему наименование аэродинамики. С позиций Платона «бытные вещи» были основой развития аэродинамики. Расчет подъемной силы крыла нуждался в создании математических методов. Н. Е. Жуковский использовал для этой цели теорию функций комплексного переменного. Эта идея оказалась весьма плодотворной, и не только в аэродинамике, но и во многих иных приложениях: электродинамике, теории упругости, гидродинамике. Теория функций комплексного переменного вошла в число прикладных математических дисциплин.

Математическая статистика, возникшая первоначально для целей демографии и страхования, превратилась в один из основных методов количественного исследования явлений природы, технических процессов, экономики и лингвистики. Одной из основных причин ее первоначального прогресса послужило то, что в конце XIX в. появилась настоятельная потребность в разработке методов обработки опытных данных. И здесь вновь вопросы биологии и сельского хозяйства играли выдающуюся роль. Многие задачи, связанные с организацией полевого опыта, в наши дни приобрели более широкое значение. Собственно, сейчас без использования методов и результатов математической статистики не может развиваться ни естествознание, ни экономика, ни техника; прикладная математика пополнилась важным и своеобразным средством математических исследований реальных явлений.

Функциональный анализ, представляющий собой естественное слияние математического анализа и геометрии бесконечномерных пространств, оказался исключительно хорошо приспособлен к изучению физических явлений. Он стал как бы языком квантовой и ядер ной физики. Абстрактная алгебра также была привлечена к изучению физических явлений.

Изобретение электронных вычислительных машин не только расширило вычислительные средства математики, а тем самым и прикладные возможности математики, но и коренным образом изменило сами наши представления о прикладной математике. Если раньше математическая логика считалась самой абстрактной дисциплиной, основное назначение которой состояло в исследовании основ математики, то жизнь изменила эти представления и математическая логика получила решающее значение в разработке теории программирования для электронных машин. При этом вычислительные задачи занимают не самое основное место. Выяснилось, что новые машины обладают огромными возможностями для постановки и решения логических задач. Появились новые возможности для моделирования самых разнообразных процессов на электронных вычислительных машинах, а для этого вновь необходимо привлечение средств математической логики.

В наше время давнее разделение математических дисциплин на теоретические и прикладные потеряло реальные основания, поскольку нет математических дисциплин, которые не имели бы тех или иных серьезных применений к важным практическим задачам. Можно говорить лишь о различии интересов исследователей, об их подходах к развитию математики. Для одних интерес сосредоточивается на решении собственно математической проблемы, безотносительно к возможностям ее применения для решения тех или иных практических задач. Для других математическая задача не самоцель, а средство решения прикладных проблем. При этом практическая задача служит источником постановки математической задачи, а когда выясняется, что множество различных по содержанию практических вопросов в своей математической постановке одинаково или близко, возникает проблема построения специальной математической теории. Именно так возникли в последние три десятилетия многие новые математические науки — линейное и нелинейное программирование, оптимальное управление процессами, теория информации, теория массового обслуживания и многие другие.

В сущности ту же идею — стирание грани между теоретической и прикладной математикой — развивает в уже цитированной статье Ф. Дайсон. Я позволю себе привести здесь слова, которыми он начинает эту статью. «В 1910 г. математик Веблен и физик Джеймс Джинс пересматривали программу по математике Принстонского университета. Джинс сказал: «Вполне возможно вы190

бросить теорию групп; этот предмет никогда не найдет применения в физике»… По иронии судьбы теория групп стала позднее одним из центральных звеньев теоретической физики и в настоящее время царит в мыслях тех, кто занимается исследованием фундаментальных частиц»^[8].

Не заставят ли эти слова осторожнее относиться к тому, что называют прикладной математикой. По-видимому, любая глубокая математическая теория может найти серьезные применения к вопросам естествознания. Нужно лишь научиться для этого проникать глубже как в содержание соответствующих математических идей, так и в природу исследуемых объектов.

4. Пример дисциплины прикладного характера

В качестве примера новой ветви математических исследований, возникшей из непосредственных задач практики, рассмотрим область, которая особенно близка личным интересам автора в последние годы. Эта область прикладных исследований, с одной стороны, имеет очень широкие возможности применений, а с другой, еще находится в состоянии математического становления. Может случиться, что читатели заинтересуются этой ветвью математики и используют ее возможности в тех специальных задачах, которые их волнуют.

В начале нашего века А. Эйнштейн и известный польский физик М. Смолуховский занялись исследованием броуновского движения с позиций молекулярного строения материи. Один из вопросов, который им удалось разрешить, состоял в следующем. Чему равны вероятности того, что в заданной области пространства в данный момент окажется ровно k частиц, находящихся в состоянии броуновского движения и способных проникать в любую часть рассматриваемой области, так же хак и покидать ее? Оказалось, что при весьма общих предположениях о характере движения частиц искомые вероятности имеют вполне определенную форму. Именно, если обозначить через Р(V) вероятность того, что в области объема V окажутся k частиц, то

P_k(V) = ((λV)^k/k)e^—λV (k = 0, 1, 2, 3 . . .),

где λ— положительная постоянная, характеризующая состояние системы.

Развитие телефонной связи вызвало к жизни интересные новые постановки математических задач. В современной постановке эти задачи могут быть сформулированы следующим образом: имеются п приборов, производящих обслуживание требований, поступающих в случайные моменты времени. Требуется оценить загрузку приборов, а также эффективность обслуживания ими поступающих запросов. В зависимости от того, как ведут себя требования, попавшие в систему обслуживания в тот момент, когда все приборы заняты обслуживанием ранее поступивших заявок, рассматривают системы с ожиданием, системы с потерями, с ограниченным числом мест ожидания, с ограниченным временем ожидания и пр. Вскоре после того, как А. К. Эрланг — сотрудник Копенгагенской телефонной компании — поставил и в определенных предположениях решил некоторые из возникших задач, выяснилось, что аналогичные вопросы возникают и в других областях практической и научной деятельности. Первоначально эти вопросы касались расчета числа необходимых касс и продавцов в магазинах, турникетов на пропускных пунктах, запасов товаров на складах. В 30-е годы, в связи с автоматизацией станков, наметился переход на обслуживание одним рабочим нескольких станков. В случайные моменты времени станки выходят из нормального ритма работы и требуют к себе внимания рабочего. Длительность операции по исправлению и запуску не постоянна и является случайной величиной. Спрашивается, как велика вероятность того, что в определенный момент времени обслуживания будет ожидать какое-то число станков? Этот вопрос тесно связан и с экономической трактовкой: сколько станков экономически целесообразно поручать рабочему при данной организации труда? Как рациональнее организовать обслуживание nS станков: поручить ли каждые n станков особому рабочему или все станки—бригаде из S рабочих? Мы ограничиваемся только приведенными вопросами.

Примерно в то же время, в связи с развитием ядерной физики и ростом интереса к изучению закономерностей космического излучения, возникли многочисленные вопросы типа только что обрисованных. Приведем некоторые из них. Какие закономерности появления того или иного числа космических частиц, за определенный промежуток времени? Чему равна вероятность того, что за данный промежуток времени произойдет распад того или иного числа атомов радиоактивного вещества? В числе приборов, широко используемых в ядерной физике и в ряде других областей естествознания и прикладных сфер деятельности, нужно назвать счетчики Гейгера-Мюллера. Среди особенностей их работы следует отметить то, что частица, попавшая в счетчик, вызывает в нем разряд. Вообще говоря, разряд длится случайное время, в течение которого вновь попадающие в счетчик частицы уже не регистрируются им. Поэтому счетчик показывает не истинную картину, а несколько искажает реальный ход явления. Возникает необходимость построения теории поправок к показаниям счетчика, а также восстановления истинного потока частиц по последовательности регистраций.

С очень близкими проблемами приходится встречаться в вопросах радиоэлектроники и при проектировании работы электронных вычислительных машин. В последнее время подобные схемы начинают проникать в биологию, особенно при построении моделей высшей нервной деятельности. Мы затронем здесь лишь вопросы подобного рода, относящиеся к экономике и инженерному делу.

Бурный рост экономики страны и международных экономических связей вызывает повышенные требования к морским перевозкам. Это приводит к бурному росту нашего морского флота, пополняемого ежегодно десятками новых судов. Однако потребности народного хозяйства столь велики, что наличного флота не хватает и для перевозок приходится прибегать к услугам иностранных компаний и фрахтовать у них суда. Естественно, что в этих условиях необходимо посмотреть, как рационально используется флот, насколько хорошо организовано его использование. К сожалению, здесь далеко не все благополучно. В частности, наблюдается значительная потеря времени судами в портах в ожидании освобождения причалов. На это обращают внимание специальные журналы и газеты. В газете «Водный транспорт» была помещена интересная статья инженера Е. Гохтбарга, в которой говорилось об этом нежелательном явлении. Простои так велики, что «в первом полугодии они отняли 2720 судосуток. Иначе говоря, 15 крупнотоннажных судов шесть месяцев не занимались перевозками грузов. По существу— это потеря провозной способности флота среднего пароходства в объеме квартала»^[9]. Среди ряда обстоятельств, вызывающих простои, необходимо отметить укоренившиеся и узаконенные методы расчета необходимого количества причалов. Рекомендуемая формула по существу сводится к использованию простой арифметической операции: делению расчетного грузооборота в наиболее напряженный месяц на пропускную способность причала при непрерывном его использовании.

Основной порок этой методики расчета состоит в том, что она не отражает специфики подхода судов в порты, не отражает разброс времени обработки судов и не ставит вопроса об экономически оправданном числе причалов. По существу дела методологическая установка, заложенная в основу расчета, состоит в том, что суда существуют для причалов и должны подходить в порты так, чтобы в моменты, когда освобождаются причалы, в порту бы находилось судно для дальнейшей обработки. Этим как бы закладывается основа для будущего простоя судов в порту. Чтобы в какой-то мере спасти положение дел, в расчетные формулы вводятся поправочные коэффициенты, которые должны учесть метеорологические условия, неравномерность загрузки и прихода судов. Но разве можно поправочными коэффициентами исправить положение, если не исследован реальный ход исследуемого процесса, специфика его реализации? Очевидно, что выводу расчетных формул должно предшествовать тщательное изучение наблюдаемой картины в действительной обстановке. В интересующей нас задаче это означает, что необходимо провести наблюдение за приходом судов в порты, а также за временем, которое требуется для их обработки.

Данные о приходе судов по основным портам нашей страны позволили сделать вывод, что если суда прибывают в порты сами и не требуют предварительного объединения в караваны или проводки их лоцманами, то поток Пуассона дает хорошее приближение к истинной картине. Иными словами, соответствующие формулы вполне удовлетворительно описывают то, с чем приходится иметь дело практическим работникам. Были сделаны попытки посредством этих формул не только описывать то, что уже осуществилось, но и прогнозировать на будущее возможные реализации. Совпадение оказалось также хорошим. Точно так же длительность гю- грузо-разгрузочных работ подвержена сильным колебаниям и даже для одного и того же судна может изменяться в очень широких пределах. Длительность обслуживания мы должны считать случайной величиной.

Нередко возникают возражения по поводу только что сделанных выводов следующего рода: приход и отправление судов заранее планируется, имеются специальные графики, разрабатываемые на основе поступающих заявок на отправление и получение грузов, о каком же воздействии случая может быть речь? Это возражение заслуживает внимательного рассмотрения, поскольку оно базируется на идее плановости советского хозяйства. Аргумент плановости часто некоторыми лицами принимает такую форму: «В советском плановом хозяйстве, в промышленности и на транспорте не место случайностям, а вместе с ними методам, основанным на теории вероятностей и математической статистике». Такая формулировка в действительности является не чем иным, как демагогией и догматикой, стремлением оправдать нежелание проникнуть в существо исследуемых закономерностей. В действительности же грузовое судно подвержено во время рейса множеству непредвиденных воздействий — длительность грузовых операций, попутный или встречный ветер, штормовая погода, возможные неполадки в работе механизмов, указания на незапланированные заходы -в близлежащие порты и пр. Все это и создает случайный разброс моментов прихода судов и отклонение их движения от плановых графиков. И истинная мудрость состоит не в том, чтобы прятаться от реальных условий, от возникающих случайностей, а в том, чтобы, изучив их, управлять процессами с полным пониманием дела.

Нет нужды говорить, что ситуации, обрисованные только что, возникают во многих практически важных вопросах: на заводах, электростанциях, на элеваторах и различного рода приемных пунктах, в работе городского транспорта, у речных шлюзов, в работе скорой и неотложной помощи и пр. Поскольку практическая и научная важность вопросов, о которых мы только что говорили, очень велика, возникла необходимость в создании математической теории, изучающей их. Такая теория находится сейчас в процессе создания; она получила у нас наименование теории массового обслуживания, а в странах английского языка — теории очередей. Теперь имеется огромная литература, посвященная как решению отдельных практических задач этой теории, так и разработке общих методов их решения.

С точки зрения математики теория массового обслуживания может быть включена в общую теорию случайных процессов и полей. При этом интересующие ее процессы будут весьма специального вида. При таком подходе многие практически важные и теоретически актуальные вопросы (с позиций теории изучаемых явлений) могут приобретать весьма причудливый характер, совсем неинтересный для теории случайных процессов. В результате целесообразно выделить эти задачи в специальную математическую дисциплину, разрешив в ней и собственную терминологию, способствующую естественной формулировке возникающих вопросов. Получается ситуация, близко напоминающая собой то, что произошло с самой теорией вероятностей: формально ее можно превратить в раздел теории функций действительного переменного и теории меры, однако при этом будет потеряна специфика теории вероятностей, столь ценная как для математики, так и для ее многочисленных применений. В теории массового обслуживания случайные процессы становятся орудием исследования, не подминая под себя существо возникающих в ней проблем.

Только что изложенная картина характерна не только для теорий массового обслуживания, но и для любой иной математической науки. При тщательном анализе мы всегда можем указать те или иные частные вопросы, зачастую чисто практического характера, которые приводят к необходимости затронуть новые специфические математические задачи, а также разработать методы, приспособленные для их решения. Когда на базе ряда таких частных вопросов появляется опасность того, что в рамках старых математических теорий их развитие будет заторможено, происходит выделение новой математической науки. Нечто подобное сейчас происходит хотя бы с теорией оптимального управления.

5. Математическая символика как язык науки

Люди для общения и для выражения своих мыслей создали на протяжении истории величайшее средство— живой разговорный язык. Язык, как средство общения, не остается неизменным; он изменяется с развитием общества, приспособляется к изменяющимся условиям жизни, обогащается словарным запасом. В связи с тем что разнообразие областей человеческой деятельности непрерывно увеличивается, внутри одного языка образуются как бы подъязыки, специально приспособленные для точного и краткого выражения мыслей или форм деятельности. Достаточно прислушаться к деловой речи лиц, занятых погрузкой в морском или речном порту, чтобы заметить в ней слова, отсутствующие в нормальном русском языке и свойственные только этой области деятельности. Когда на заводе рабочий получает задание на выполнение определенной работы, то для уточнения характера задания оно снабжается также чертежами. Чертеж с определенной точки зрения также является языком, на котором передается точная информация и который хорошо приспособлен для передачи замыслов конструктора. Он не допускает разночтений и позволяет в наглядной и краткой форме передать большое количество сведений, необходимых для успешного выполнения работы. Эта форма общения несравненно удобнее, чем обычная словесная, поскольку словесное выражение мало-мальски сложного задания было бы настолько запутанным и громоздким, что в нем с трудом смог бы разобраться даже автор соответствующего изделия.

В науке наблюдается постоянное стремление к ясности и точности выражения мысли. Без этого требования не может быть науки как системы знаний, не может быть уверенности в том, что определенное утверждение или рассуждение не изменилось в процессе изложения. Необходимо также получить уверенность в том, что предусмотрены всевозможные исходы и не пропущены какие-либо иные, кроме рассмотренных, возможности. Далее, научное изложение должно быть кратким и определенным. Естественно, что наука вынуждена разрабатывать свой собственный язык, способный наиболее точно и адекватно передать ее особенности. «В таких наиболее абстрактных и наиболее разработанных отраслях науки, как математика и естественные науки, где можно успешно применить математический подход к проблемам, наука вынуждена пользоваться особым языком, символическим языком, своего рода стенографией абстрактной мысли, формулы которой, когда они правильно записаны, по-видимому, не оставляют места ни для какой-либо неопределенности, ни для какого-либо неточного истолкования»^[10].

Важность математической символики для познания законов природы и для точного их выражения была очень ярко выражена Галилео Галилеем следующими словами: «Философия написана в грандиозной книге, которая открыта всегда для всех и каждого, я говорю о природе, но понять ее может только тот, кто научился понимать ее язык и знаки, которыми она написана. Написана же она на математическом языке, а знаки ее — математические формулы»^[11].

Но удачная математическая символика не только позволяет записывать мысли так, что не остается места для какой-либо неопределенности и неточного истолкования. Это только одна сторона дела. Математическая символика позволяет, так сказать, автоматизировать проведение тех действий, которые необходимы для получения выводов. Постараюсь проиллюстрировать это утверждение простым примером.

Пусть нам требуется решить некоторый вопрос, который сводится формально к решению системы линейных алгебраических уравнений. Использование привычной алгебраической символики позволяет осуществить необходимые действия очень просто. При этом нет нужды в каких-либо специальных рассуждениях: они проведены раз и навсегда для всех таких систем. Применение стандартных правил позволяет легко довести решение задачи до конца. Представим теперь себе, что мы лишены языка математических символов и в нашем распоряжении имеется только обычный словесный язык. Немедленно мы сталкиваемся с огромными осложнениями. Каждая задача превращается в особую проблему, и для нее нужно разрабатывать особую систему рассуждений. Решение даже очень простого вопроса становится громоздким, требующим непрерывного умственного напряжения. Достаточно вспомнить, насколько упрощается решение сложных арифметических задач, когда при их решении разрешается использовать алгебраическую символику и переводить их в простенькие уравнения первой степени.

А ведь алгебраические линейные уравнения являются одной из простейших математических моделей, к которым приводится решение реальных вопросов физики, других областей естествознания, инженерного дела, экономики или планирования.

В последние годы выявилась новая линия в развитии символических языков, связанная с электронной вычислительной техникой и использованием ее как для проведения вычислительных работ, так и для управления процессами. Появилась необходимость в общении с машиной. Но машина не владеет обычной человеческой речью. Ей необходимо сообщать необходимые сведения на ином языке, который не допускал бы разночтения, неопределенности и неполноценности, а также чрезмерной избыточности сообщаемой информации. В зависимости от характера задач, которые поручаются машине, полезно изменять язык, используемый для общения с ней. В настоящее время предложено большое число различных способов записи программ действия машин, т. е. различных языков, посредством которых человек заставляет машину воспринимать сообщаемую ей информацию и действовать с учетом создающейся обстановки. Именно эта возможность машин и делает их способными управлять процессами, принимать логически оправданные выводы, выбирать оптимальные решения.

Математическая символика позволяет сжимать информацию, делать ее обозримой и удобной для последующей обработки. Однако сказанное совсем не означает, что использование и создание символических языков для развития науки приводит к отмиранию необходимости обычного языка. В действительности дело обстоит гораздо сложнее и каждый язык имеет свое поле деятельности, у каждого имеются свои сильные и слабые стороны. В результате наука должна использовать наряду с символическими языками в полной мере и обычный язык. О значении обычного языка хорошо сказал Л. де Бройль в только что упомянутой его статье. Я позволю себе привести из нее достаточно обширную цитату. «Но даже в тех отраслях, где (математический язык. — Б. Г.) можно использовать, и особенно в прочих отраслях, символический язык с его суховатой точностью не дает научной мысли все те выразительные средства, которые ей необходимы, и поэтому даже в работах, почти целиком состоящих из математических формул, текст, написанный обычным языком, сохраняет всю свою важность и позволяет прослеживать во всех ее тонкостях мысль автора и понять истинное значение полученных им результатов.

Почему это так? Не следует ли думать, что, по крайней мере в некоторых областях, математического языка со всей его прозрачной ясностью должно хватить для передачи мысли ученого, всегда жаждущего точности? Причины этого очевидного парадокса глубоки, и на эту тему можно было бы говорить очень долго. Мы коснемся лишь двух сторон этого вопроса. Математический язык является чисто дедуктивным, он позволяет строго выводить следствия из посылок. Эта строгость, являющаяся его силой, является также его слабостью, поскольку она замыкает его в круг, за пределы которого он не может больше выйти… В силу своей строгой дедуктивности математический язык позволяет детально описать уже полученные интеллектуальные ценности; но он не позволяет получить что-либо новое. Итак, не чистые дедукции, а смелые индукции и оригинальные представления являются источниками великого прогресса науки. Лишь обычный язык, поскольку он более гибок, более богат оттенками и более емок, при всей своей относительной неточности по сравнению со строгим символическим языком позволяет формулировать истинно новые идеи и оправдывать их введение путем наводящих соображений или аналогий»^[12].

Известно, что научное творчество заключается не только в формальных выводах, но в первую очередь в поиске объекта исследования, создании определенных понятий, выяснении важности исследуемого вопроса, поисках метода исследования и общих закономерностей и создании удачных количественно проверяемых моделей. Понятно, что при таком разнообразии задач, стоящих перед исследователем, он должен использовать все богатство имеющихся в его распоряжении средств описания и анализа. При таком подходе оказываются необходимыми как обычный неформализованный, так и строгий математический язык. Как для первого, так и для второго из них находится обширная область применения. В последние годы роль формализованных языков неудержимо растет. Этот процесс неизбежен хотя бы в силу возрастающей математизации науки и многих областей практической деятельности.

6. О некоторых аспектах математического мышления, которые необходимы современному естествоиспытателю и инженеру

Развитие науки и прогресс техники невозможны без хорошо поставленного образования. Выдающиеся мыслители прошлого вопросам образования и воспитания уделяли большое внимание. В знаменитых диалогах Платона развиты концепции педагогики рабовладельческого общества. Пожалуй, наиболее полно это было им сделано в самом большом диалоге «Государство». Математике при этом он уделил значительное место, поскольку «она по природе относится к числу наук, располагающих мыслить о том, чего мы ищем». Изучение арифметики «надобно утвердить законом и убедить тех, которые намереваются занять в городе высокие должности, чтобы они упражнялись в науке счисления, но не как люди простые, но входили своей мыслью в созерцание природы чисел». Педагогические идеалы на протяжении веков значительно изменились, но математике постоянно отводилось место науки, которая приучает к мышлению и помогает в строгом и точном изучении явлений. В наше время, поскольку математика становится языком естествознания, разумное обучение математике должно быть признано не только педагогической, но и методологической проблемой. Чему и как учить — вопрос, который никогда не потеряет актуальности и должен систематически пересматриваться как с позиций состояния и перспектив развития науки, так и с позиций наиболее актуальных ее применений.

Сейчас этот вопрос в отношении математического образования на всех ступенях — в школе, ВТУЗах, университетах, педагогических, экономических и сельскохозяйственных институтах — стоит особенно остро. Его решение обостряют не только выбор действительно необходимого материала, но и вековые традиции, которые мешают взглянуть на дело с перспективой, а также без предвзятого отношения к новому и дорогому сердцу педагога старому.

По учебникам математики, как школьным, так и втузовским, невозможно установить, что над миром пронеслась настоящая революция и математика врывается в качестве метода познания во все области знания и практической деятельности. Современный молодой человек остается примерно на том уровне математического развития, на каком математика находилась триста и в лучшем случае сто лет назад. А этот молодой человек завтра должен содействовать прогрессу естествознания, техники, экономики. Завтра он должен будет проникать в тайны мышления, оптимизировать технологические процессы, искать и открывать наиболее эффективные методы медицинской диагностики, использовать внутриатомные процессы для нужд человеческого общества. Методы же, которые могут ему помочь проникнуть в количественные закономерности, от него далеки, поскольку они разрабатываются только теперь и их не было ни во времена Эвклида, ни во времена Ньютона и Лейбница. И если студенты физических и механико-математических факультетов университетов слушают математические курсы, приближающие их к современному состоянию теоретической математики, в специальных курсах и специальных семинарах подходят непосредственно к работе с журнальной литературой, а также к постановкам актуальных теоретических вопросов для самостоятельных размышлений, то в других учебных заведениях положение существенно иное. В подавляющем большинстве ВТУЗов объем и характер математического образования мало чем отличаются от того, что было во времена М. В. Остроградского. Значительная часть излагаемого материала относится к изучению аналитической геометрии и основ математического анализа, и не принципиальная, а чисто техническая часть (вычисление производных, интегралов) занимает значительную часть учебного времени. На более современные идеи, уже работающие в технике, не остается часов и возможностей. А ведь слова известного советского физика-экспериментатора К. Д. Синельникова — математика в современной физике не является просто орудием расчета, вне математики невозможно достаточно полное понимание свойств объектов микромира — относятся не только к физике, но не в меньшей мере к технике и экономике, а также к другим областям естествознания.

Нет спора, классическая элементарная математика является основой всей современной математики и ее применений; без математического анализа нет возможности уверенно познавать подавляющее большинство новых разделов математики. Владеть этим начальным математическим аппаратом, бесспорно, нужно, но уже недостаточно. Перефразируя известные слова первого теоретика космонавтики К. Э. Циолковского, можно и должно сказать, что традиционная школьная математика и основы математического анализа являются колыбелью современной науки. Но до каких пор можно держать будущих инженеров, биологов и медиков в колыбели? Настала пора внимательно изучить вопрос, чему и как учить школьников и студентов высших учебных заведений по математике, чтобы эти знания были не балластом, а служили необходимым рабочим аппаратом в повседневной работе, помогали бы подходить к решению специальных вопросов со всей логической строгостью, заставляли бы постоянно анализировать те математические средства, которые используются для количественного описания тех явлений и закономерностей, с которыми приходится иметь дело. Нужно, чтобы они помогали отбрасывать устарелое, хотя и традиционно привычное, и заменять тем, что соответствует существу дела.

Традиционное содержание школьного и вузовского математического преподавания сложилось в ту пору, когда господствовала детерминистическая точка зрения лапласовского типа, когда считалось, что развитие процессов природы происходит по строго определенным правилам. Именно эта исходная философская точка зрения на природу вещей, на законы природы, характерная для XVIII и даже XIX вв., определяла объем и направленность математического образования. Поскольку развитие любого процесса полностью определяется его начальными значениями, дифференциальные уравнения являются основным, если не единственным, математическим средством описания процессов развития. Эта мысль может быть прослежена в наши дни почти по любому учебнику математической физики: ничего кроме отстаивания позиций крайнего детерминизма мы в них не найдем. В то же время математическое описание физических явлений ушло от этих представлений очень далеко. Статистические концепции стали в физике господствующими, но учебные планы и учебники на это практически не реагируют. Статистическая физика, атомная физика, квантовая механика широко используют теоретико-вероятностный аппарат, он становится основой физического мышления, математики же отстаивают в своих курсах традиционное изложение. Речь идет, конечно, не об отбрасывании методов математического анализа, их значение не уменьшилось ни в физике, ни в инженерном деле, ни в экономике, ни в биологии. Однако они одни уже не могут удовлетворительно описывать реальные процессы, и ощущается огромная необходимость в достаточно полном теоретико-вероятностном образовании.

Складывается такое представление, что общефилософские установки и содержание преподавания живут рядом, но оказывают друг на друга лишь очень слабое влияние. Действительно, каждому ясно, что расширение количества объектов изучения, более глубокое проникновение в существо изучаемых процессов, появление новых областей знания неизбежно должны повлечь за собой и расширение тех математических понятий, которые мы должны использовать в практической жизни (в том числе и в научной деятельности), и расширение математического аппарата, в котором мы при этом нуждаемся. Мы же в образовании агронома, инженера, экономиста, биолога и медика стремимся обойтись тем минимумом математических представлений, которым обходились еще триста лет назад. Немудрено, что соответствующие специалисты нередко полны сомнений в целесообразности математизации их дисциплин.

Статистические концепции, столь важные в любой области практической и научной деятельности, мы полагаем, должны войти не только в любой вузовский курс математики, но и исподволь излагаться уже на школьных уроках. Однако этим не может ограничиваться современное математическое образование естествоиспытателя и инженера. Поскольку идеи управления сейчас являются одними из основных как в технике, экономике, так и в биологии, а также в медицине, естественно, чтобы основы математической теории управления процессами излагались в соответствующих ВУЗах. Но рациональное управление означает получение и использование необходимой информации о ходе управляемого процесса. Таким образом, появляется необходимость в изложении начальных сведений и по теории информации. Кроме того, чтобы можно было использовать математический аппарат для целей управления, предварительно необходимо научиться производить формализацию этих процессов и логический их анализ. В результате появилась необходимость в более полном логическом образовании большого контингента лиц.

Вычислительная техника за последние два десятилетия испытала исключительно быстрое развитие. И это развитие оказало решающее влияние не только на собственно вычислительные процессы, но и на всю науку в целом. Если вспомнить совсем недавнее прошлое и требования к вычислительным устройствам, которые предъявлялись при объявлении конкурсов на нх изобретение, то становится ясным, как велик достигнутый прогресс.

В 1936 г. первой темой среди первоочередных тем по прикладной математике, выдвинутых математическим институтом им. В. А. Стеклова, было названо конструирование машины для решения систем линейных алгебраических уравнений. Всего было предъявлено семь требований к конструкции, и в том числе такие, что машина должна решать системы по меньшей мере с 20 неизвестными и на это требовать не более 30 минут (за вычетом времени на установку коэффициентов) и не ломаться при попытке решения противоречивой системы^[13].

Прошло только тридцать лет, а возможности вычислительных машин стали такими, о которых в ту пору невозможно было даже мечтать. Ведь сейчас на машины удается переложить весьма разнообразную работу чисто логического характера. И эти их возможности, быть может, особенно важны как для практических, так и для познавательных целей. Машинам поручается управление технологическими процессами, выбор оптимальных решений, проектирование новых машин, моделирование разнообразных процессов. Для меня несомненно, что в наше время каждый специалист должен уметь воспользоваться услугами вычислительных машин, составить несложную программу, знать, что может привести моделирование интересующих нас процессов на машине. Все это должно быть так же привычно для специалистов нашего времени, как и использование арифметических познаний.

Математизация естествознания и техники находится на подъеме. Это одна из характерных черт нашего времени. Успехи науки зависят теперь в значительной степени от того, насколько удачно исследователи научатся пользоваться математическим стилем мышления, строить количественные модели процессов, ставить математически осмысленные задачи и использовать огромные уже накопленные математикой средства исследования. В ряде стран возникли высшие учебные заведения особого типа, в которых инженеры получают специальное современное математическое образование, а математики приобретают специальные инженерные познания и вкус к прикладным исследованиям. Кроме того, возникли крупные центры по математической переподготовке инженеров. Интерес инженерно-технической общественности нашей страны к получению серьезной математической подготовки очень велик. Об этом говорит успех вечерних, отделений механико-математических факультетов университетов, а также многочисленных специальных курсов и семинаров. По-видимому, теперь нам необходимо организовать и систематическую математическую переподготовку биологов и других естествоиспытателей, хорошо продумав предварительно содержание и характер такой работы. Это даст не только дополнительный толчок развитию естествознаний, но и позволит разрешить ряд первоочередных проблем практики.

1. Я. Ауэрхан. Автоматизация и общество. М., 1960, стр. 20 и сл. ↑
2. П. Лаплас. Опыт философии теории вероятностей. М., 1908, стр. 9. ↑
3. Цит. по кн.: О. Оре. Замечательный математик Нильс Хенрик Абель. М., 1961, стр. 80. ↑
4. Л. де Бройль. По тропам науки. М., 1962, стр. 163—164. ↑
5. Ф. Дайсон. — «УФН», т. 85, вып. 2, 1965, стр. 351—364. ↑
6. В. Гейзенберг. Физика и философия. М., 1963, стр. 140—141. ↑
7. Платон. Государство. 525 с. ↑
8. Ф. Дайсон. — «УФН», т. 85, вып. 2, 1965, стр. 351. ↑
9. «Водный транспорт», 2 октября 1962 г. ↑
10. Л. де Бройль. По тропам науки, стр. 326. ↑
11. Saggiatore. Ореrе, 6. Firenze, 1890—1900, р. 233. ↑
12. Л. де Бройль. По тропам науки, стр. 326—327. ↑
13. «Успехи математических наук», 1936, № 2, стр. 266. ↑