Моделирование и аналогия

Неуклонное возрастание удельного веса моделирования и аналогии в современном научном познании отмечается в многочисленных и различных по направлению работах, посвященных как специальным разработкам, так и общеметодологическому анализу этого метода^[1].

В рамках данной главы, конечно, не представляется возможным подробно охарактеризовать всю обширную философскую проблематику, относящуюся к этой области. В силу этого авторы считали целесообразным вычленить три узловых вопроса: тенденция обобщения понятия и функций метода моделей в процессе его развития; роль аппроксимации в моделировании; гносеологическая характеристика аналогии как логической основы моделирования.

1. О развитии понятия и функций моделирования

Природа метода моделей может быть рассмотрена на следующих примерах.

При конструировании нового самолета инженеры не ограничиваются теоретическими расчетами. Для проверки расчетов и выявления каких-либо неучтенных факторов строят модель машины целиком или какой-либо ее части. Так, для нахождения наилучшей формы крыла самолета строят его модель и ее испытывают в аэродинамической трубе. Информация, полученная в результате эксперимента на модели (модельного эксперимента), позволяет судить о действительном поведении самолета в воздухе. Подобным же образом поступают, когда проектируют новую гидростанцию или электрическую систему.

Измерения, полученные на моделях, дают возможность избежать ряда ошибок в натуре и, следовательно, значительных материальных затрат. Еще более перспективным представляется математическое моделирование, когда электронно-вычислительная машина без дополнительных затрат на постройку и испытание модели агрегата вычисляет соответствующие характеристики той или иной системы. В первом примере с крылом самолета моделью служила материальная вещь, во втором — некоторая схема процесса, которая в самом общем виде может быть определена как знаковая система.

Это разделение моделей на два типа — вещественные и знаковые — справедливо для всех форм моделирования.

В современном естествознании метод моделирования приобретает существенно новые черты, он значительно видоизменяется, обобщается. В силу этого важно сформулировать обобщенное определение моделирования, способное охватить все его виды, в том числе и кибернетическое.

Моделирование в самой общей форме может быть охарактеризовано как опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система: а) находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом; б) способная замещать его на определенных этапах познания и в) дающая при исследовании в конечном счете информацию о самом моделируемом объекте.

В этом определении подчеркивается основной момент, характерный именно для моделирования и отличающий его от других приемов познания, — в процессе моделирования познание как бы временно переключается от интересующего нас объекта на исследование некоторого вспомогательного объекта (модели).

Сделаем вывод из нашей краткой характеристики гносеологической природы метода моделей. Модели (каждого из двух основных типов — и вещественные, и знаковые) способны замещать на некоторых этапах познания объекта оригиналы только благодаря своей некоторой объективной общности с последними. Для вещественных моделей эта объективная общность с оригиналом часто бывает связана с одинаковой физической природой модели и оригинала и их различием только в масштабах.

Метод моделирования в ходе развития науки и техники прошел длительную и сложную эволюцию от первых применений в области строительного дела до современных абстрактно-логических моделей микрофизики и кибернетики^[2].

В целом в развитии метода моделей можно выделить ряд основных исторических этапов.

Первый этап связан с работами И. Ньютона, в которых, с одной стороны, закладываются предпосылки теории подобия, с другой стороны — формулируется математическая модель такого физического явления, как тяготение.

Второй этап в развитии моделирования представлен максвелловскими наглядными моделями электромагнитных явлений.

Третий этап начинается с 70-х гг. прошлого века, когда в работах Фруда закладываются основы успешно развивающегося и в наши дни технического моделирования на базе теории подобия^[3].

Четвертый этап ознаменовывается развитием квантовой механики, когда вскрылась вся ограниченность наглядных классических моделей применительно к области микроявлений^[4].

В моделировании на современном этапе все больше возрастает момент абстрактности. Как остроумно заметил П. Дирак, «главная задача физики — не в обеспечении наглядными картинами»^[5].

Пятый этап развития метода моделей связан с современной тенденцией абстрактного представления объектов в виде формализованных знаковых систем на базе идей кибернетики, математической логики, теории игр, теории графов и тому подобных дисциплин.

Прежде чем перейти к характеристике гносеологического своеобразия этих абстрактных форм моделей, существенно обосновать целостность метода моделирования, несмотря на все многообразие его конкретно-исторических модификаций. Иначе говоря, важно рассмотреть процесс обогащения метода моделей как диалектическое единство видоизменения и в то же время сохранения его основных черт.

Действительно, между механической моделью эфира с ее колесиками и зубчиками и современной знаковой моделью, казалось бы, весьма мало общего. В силу этого естественно поставить вопрос о том, что же именно дает нам основание объединять под понятием метода моделирования весьма разнородные познавательные приемы. Этот вопрос может быть модифицирован таким образом: в чем заключается объективное, не зависящее от познающего субъекта сходство (общность) модели и моделируемого объекта в процессе моделирования? Раскрыв природу этой общности модели и оригинала, мы тем самым дадим обобщенное материалистическое обоснование методу моделирования в целом.

Вполне понятно, что пока речь шла о наглядных моделях, не было нужды в некоторой обобщенной характеристике единства модели и оригинала. Это единство всякий раз устанавливалось заново в каждом акте моделирования на основе чувственного опыта.

Иное дело в абстрактных формах моделирования — здесь и модель, и оригинал представляются в виде сопоставляемых множеств некоторой природы. И общий критерий их сравнения заимствуется из математики. Этот критерий связан с понятием изоморфизма, разработанным подробно в математике и примененным к области моделирования вообще. Под современным моделированием и понимается совокупность познавательных приемов, явно или неявно группирующихся вокруг понятия изоморфизма.

Две системы изоморфны, если каждому элементу первой соответствует лишь один элемент второй, а каждой операции (связи элементов) в одной системе соответствует операция в другой, и обратно, каждому элементу и операции второй системы соответствует один элемент и операция первой. Изоморфизм — это одно из фундаментальнейших понятий современного научного познания. На его базе в мир содержательных объектов вливается струя формализации вообще, формализованного моделирования в особенности.

Более того, возможно, одной из радикальнейших революций в познании было установление генерального изоморфизма между физическим и математическим.

Подчеркивая всю важность единства физического и его логико-математической модели, Д. К. Максвелл писал: «Все применения математики в науке основаны на соотношениях между законами, которым подчиняются физические величины, и законами математики, так что цель точных наук состоит в том, чтобы свести проблемы естествознания к определению величин при помощи действий над числами»^[6].

Впоследствии приемы абстрактного формализованного логико-математического моделирования содержательных физических объектов всемерно развивались вплоть до современных попыток моделиповать элементарные частицы с помощью бесконечно-мерных групп Ли.

Важный современный этап в развитии моделирования и расширение сферы применимости идеи изоморфизма связан с кибернетикой.

Можно сказать, что кибернетика с первых тагов формировалась как научная дисциплина, занимающаяся моделированием технических, биологических, психических и социальных процессов^[7]. Кибернетика кладет в основу метода моделей идею известной общности неживых, живых и социальных систем. Эта общность касается в первую очередь их функций (изофункционализм).

Имеются два типа моделей, обладающих сходством функции с живыми системами: 1) сходство функций модели и оригинала связывается со сходством их структур; 2) сходство функций осуществляется при иных внутренних структурах. Модели первого типа называют бионическими, модели второго типа — собственно кибернетическими.

«Логическая схема построения моделей первого типа основана на том, что сначала мы раскрываем структуру некоторой способности живой системы, а затем технически воспроизводим эту структуру. Естественно, что при этом мы получаем искусственный агрегат, обладающий искомой способностью (примером может служить прибор «ухо медузы», воспроизводящий чуткость последней к приближению шторма). Короче говоря, в бионическом моделировании идут от раскрытия структуры живого оригинала к техническому воспроизведению искомой функции в искусственном агрегате (модели). Иначе говоря, это путь от структуры — к функции.

В собственно кибернетическом моделировании используется иной путь: от функции живой системы (с не полно описанной внутренней структурой)—к ее искусственному моделированию, не обязательно на базе той же самой структуры. Например, функция «летать», производная у птиц от структуры машущих крыльев, может опираться и на неизвестную у птиц структуру движителя- пропеллера.

Кибернетическое моделирование зиждется на принципе неоднозначной, нежесткой связи функции и структуры (т. е. одна и та же функция может соответствовать разным структурам). Здесь используется факт принадлежности данной исследуемой функции целому классу объектов, различных по характеру вещества и по внутренним связям.

Мы получаем возможность двигаться в моделировании от функции к функции. Это определяется тем, что одно и то же поведение (т. е. развивающаяся во времени система функций) может быть реализовано различными внутренними структурными состояниями объектов. Относительная самостоятельность функции по отношению к внутренней структуре объекта как раз и лежит в основе кибернетического моделирования. Эту относительную самостоятельность функции, конечно, нельзя трактовать таким образом, что якобы возможна функция вообще без соответствующей ей внутренней структуры, абсолютно оторванная от всякой структуры, а следовательно, от всякого реального объекта. Такой взгляд приводил бы по существу к идеализму, к извращенному взгляду на природу функций, якобы способных существовать сами по себе, вне реальных материальных объектов. Функция в действительности может лишь служить характеристикой поведения объекта при взаимодействии с определенной средой.

Происходит известное развитие наших представлений о зависимости функции от структуры: функция не определяется жестким образом данной единичной структурой, а связывается с целым классом сходных структур. Поэтому в некотором приближении функция может рассматриваться вне ссылок на данный единичный структурный механизм.

Таким образом, собственно кибернетические модели развиваются по пути «от функции к функции» при отвлечении от полного описания вещественных субстратов и внутренних причинных структур моделируемых объектов. Образно говоря, путь кибернетического моделирования — это «путь самолета», а не «путь орнитоптера».

Кибернетическое моделирование предполагает два объекта — систему и среду. Но дело не только в этой. В ходе такого моделирования на базе двух объектов (системы и среды), структура которых не полностью изучена, мы строим третий промежуточный объект — систему функциональных связей системы и среды, которую в состоянии раскрыть с необходимой для данной задачи полнотой. Так, мы сосредоточиваем внимание на третьем промежуточном члене системы «объект—среда» — на их функциональных связях, которые обладают объективным, относительно самостоятельным существованием.

Это исключительно важная для раскрытия природы кибернетического моделирования сторона дела может быть изображена следующей схемой:

В этой схеме отражены три элемента кибернетического моделирования: объект (А), среда (С) и система их функциональных связей (СФ), взятая в качестве относительно самостоятельного объекта исследования.

Возможность функционально-информационного моделирования определяется, таким образом, двумя объективными обстоятельствами — относительной независимостью функции от структуры и относительной независимостью поведения системы от ее собственной структуры, и структуры среды.

На основе идеи изофункциональности модели и оригинала формулируется вывод о том, что, если модель выступает в виде вещественно-технического агрегата, ее функции оказываются изоморфными некоторым функциям моделируемой системы; если же выступает в абстрактной, логико-математической форме, т. е. в виде некоторого уравнения, то зависимость функции от аргументов должна быть изоморфной зависимости выходов и входов в моделируемой системе управления.

Абстрактная функциональная кибернетическая модель может выражаться в форме некоторой протокольной записи соответствующих состояний входов и выходов системы. Такая протокольная запись может быть представлена в виде некоторого вектора двух измерений, одна составляющая которого характеризует параметры входа, а другая составляющая — соответствующие параметры выхода системы. Установив общую схему таких зависимостей входов и выходов системы, мы можем и поставить и разрешить задачу отыскания оптимальной из этих зависимостей (нахождение оптимальной линии управления).

Вполне очевидно, что без применения электронно-вычислительных машин с их колоссальным быстродействием, безынерционностью запасов памяти практическое значение таких протокольных записей было бы совершенно незначительным. Человек попросту не смог бы охватить в своем сознании (все множество функциональных зависимостей системы от меняющейся среды. Вследствие этого для человека был возможен ранее лишь один выход— найти последовательную теорию, раскрывающую общий закон поведения данной системы. Пока же такая последовательная теория не создана, он должен был бы отказаться от попыток сколько-нибудь надежного управления данной, еще далеко не полно изученной системой.

Иное дело, когда мы используем электронную машину, способную на базе анализа функциональных цепей давать вероятностные прогнозы поведения системы, позволяющие оптимизировать управление ею. Мы видим, что благодаря своему функциональному характеру кибернетический подход резко увеличивает действенность информационного моделирования, позволяющего осуществлять оптимальное управление системой еще до полного раскрытия ее структуры.

Существо специфики кибернетического моделирования заключается, таким образом, не просто в функциональности, а в единстве функционального подхода и оптимизации, как средства наилучшего для данных практических условий управления системой.

То обстоятельство, что кибернетическое моделирование неотделимо от использования быстродействующих электронно-вычислительных машин, накладывает определяющий отпечаток на кибернетические модели.’ Благодаря использованию электронно-вычислительных машин научное познание получает исключительно мощное средство реализации модельных проб. Таким средством служит модельно-кибернетический эксперимент. На основе моделирования с использованием электронно-вычислительных устройств возникает возможность построения точного, количественно обоснованного, оптимального алгоритма, описывающего режим системы.

Применение электронно-вычислительных машин в кибернетическом моделировании обеспечивает очень важную черту моделей в кибернетике — их динамизм, гибкость, поскольку эти модели приспособлены к описанию поведения сложных динамических систем, меняющихся во времени.

Использование моделей объекта для осуществления его оптимизации оказывается сложным многоэтапным процессом. Вначале строят логико-математическую информационную модель оптимизируемого процесса. Затем эту модель программируют и кодируют для введения в электронно-счетную машину. Наконец, достигают оптимизации модели, и полученные результаты в виде выходных данных машины преобразуются в управляющие импульсы, направляемые к самому оптимизируемому объекту.

Во многих задачах модельно-кибернетический эксперимент с применением мощных современных математических методов и электронных машин позволяет развить не только конкретное количественное описание моделируемой системы, но и полнее раскрыть саму ее качественную структуру, что очень важно для оптимизации процесса управления этой системой. Модельно-кибернетический эксперимент благодаря этому оказывается мощным инструментом современного научного познания.

Исключительно велико применение модельно-кибернетического эксперимента в качестве надежного средства проверки поведения и возможностей проектируемых сложных систем современной автоматики. В определенном аспекте рассмотрения можно сказать, что тот или иной автомат выступает в качестве телесно-вещественной оболочки заложенного в него жесткого (в случае несамообучающейся системы) или меняющегося (в случае адаптирующейся системы) алгоритма. В силу этого для ответа на вопрос, может ли проектируемый автомат выполнить те задачи, решение которых рассчитывают ему поручить, нет необходимости строить в металле первый образец (модель как серийный оригинал). Достаточно в этом случае проверить на электронной машине его алгоритм. Конечно, при этом потребуются известные усилия, чтобы запрограммировать этот алгоритм.

При этом, как правило, затраты усилий на программирование будут значительно меньшими, чем затраты материальных средств и духовных сил на конструирование автомата и постройку его первого образца.

Такая своеобразная познавательная форма, как модельно-кибернетический эксперимент, находит весьма широкое применение в связи с разработкой важнейшего раздела кибернетики — теории игр и статистических решений.

В общем случае модель игровой ситуации может быть распространена и на случай поведения одного автомата. В таком случае меняющаяся среда рассматривается в качестве сложного автомата, конфликтующего с тем автоматом, поведение которого мы исследуем.

Для гносеологического анализа существенно сопоставить эту новейшую форму моделирования с уже ставшими традиционными модификациями этого метода. При таком сопоставлении мы прежде всего обнаруживаем, что в данном случае в современной форме проявляется широко известный в науке прием — при отсутствии общей теории данного класса объекта ищется возможность решить задачу для каждого данного единичного случая.

В тех задачах, когда не удается получить последовательный ответ со стороны общей теории автоматического регулирования, вопрос о возможном поведении автомата в возможной ситуации решается методом модельной пробы для каждого отдельного случая. Как весьма часто бывает в познавательном процессе, в кибернетическом подходе модель выступает в качестве практически удовлетворительного заменителя теории, которая еще не построена во всех своих элементах.

Обращает на себя внимание, что в кибернетической машине такая способность модели заменяет последовательную теорию в практически приемлемой форме, в известном смысле универсализируется. Действительно, электронно-вычислительная машина, если отвлечься от сложности программирования, выступает в качестве совокупности потенциально бесконечного числа моделей тех или иных объектов, действующих по тем или иным алгоритмам.

В каждом данном случае кибернетического эксперимента машина сама выступает в качестве своеобразной модели испытуемого объекта. Эта универсально-модельная особенность электронно-вычислительных машин исключительно важна практически. В теоретическом же плане существенна аналогичность метода модельно-кибернетических проб (поскольку оперирование происходит с знаковым «слепком» реальной системы) широко применяемому в физике методу мысленного эксперимента. Различие в рассматриваемом случае заключается в том, что в ходе кибернетического эксперимента модель фиксируется не нейронами мозга, а элементами электронно-вычислительной машины. Вполне понятно, что благодаря колоссальному превосходству над мозгом в быстродействии электронная машина способна осуществлять такой «квазимысленный» информационный эксперимент в большем числе задач и с точки зрения количественного расчета эффективнее мозга.

При этом, конечно, важно учитывать, что модельная проба, позволяющая осуществить оптимизацию в отдельном частном случае, не освобождает от поисков теории, которая бы давала решение задачи в общем виде.

Кибернетическое моделирование, с одной стороны, неуклонно совершенствуется в логико-математическом отношении, а с другой стороны, постоянно расширяется сфера его применимости во все новых и новых областях.

Важнейшим результатом кибернетики, имеющим первостепенное значение для прогресса современного научного познания, является распространение способов формализованно-функционального подхода на широчайшие области явлений и процессов, точная количественная характеристика которых прежде осуществлялась в крайне ограниченных масштабах. Развитие кибернетических приемов моделирования различных явлений во все более и более широких сферах позволяет говорить о тенденции кибернетизации современной науки как следующем, более высоком этаце формализации знания.

Дальнейшее внедрение и развитие кибернетического моделирования на базе усиления тенденции к синтезу знаний — это важное направление современного научного прогресса.

Однако, отмечая всеобщность и широту кибернетического подхода, (конечно, нельзя упускать из виду его ограниченности. Кибернетический подход как один из специальных методов современного научного познания необходимо рассматривать в свете принципов материалистической диалектики, т. е. не абсолютизировать его, учитывать его относительность.

Что же касается гносеологических функций современных форм моделирования, то необходимо в первую очередь отметить их многообразие. По-видимому, наиболее значимы следующие функции моделирования в процессе познания: демонстрационная заместительно-эвристическая, экстраполяционно-прогностическая, трансляционная (перенос информации из одной области знания в другую) и аппроксимационная^[8].

Особенно важно отметить, что в поступательном движении знания модель играет роль как бы «предтеории», т. е. такой гносеологической формы, которая несколько упрощенно объясняет реальное явление еще до создания его последовательной теории и часто служит зародышем, из которого такая теория вырастает.

Учитывая ведущую роль аппроксимации во всей системе гносеологических функций моделирования, а также недостаточную изученность этой функции, целесообразно остановиться на ней подробнее.

2. Моделирование и аппроксимация

Тенденция универсализации метода моделирования в современном научном познании связана с универсальностью его объекта — сложных динамических систем. Это понятие исключительно плодотворно при формализованном описании самых различных объектов, способных к устойчивому поведению в меняющейся среде.

Высокая степень внутренней организованности и динамизм их поведения в среде делают неприменимым к этим системам традиционные методы непосредственного анализа, разложения на отдельные элементы^[9]. В отношении этих систем глубоко справедлив тезис У- Эшби: «Когда системы становятся сложными, то их теория практически заключается в том, чтобы найти пути их упрощения»^[10]. В силу этого «исследователи должны заниматься упрощенными формами, ибо всеобъемлющие исследования бывают зачастую совершенно невозможны. Что нам необходимо в настоящее время, так это строгая логика упрощения как часть логики механизма»^[11].

Вполне очевидно, что само разграничение простого и сложного относительно и включает в себе субъективный момент — одно и то же явление на разных этапах может нам казаться то простым, то сложным. Как иногда говорят, если явление кажется нам простым, то, значит, мы находимся на стадии, характеризуемой нечеткой степенью его понимания. Но, конечно, в проблеме упрощения сложного присутствует более важный объективный момент, связанный с развитием процесса познания.

Поскольку законченную причинную теорию поведения сложных динамических систем сразу построить не удается, поскольку целесообразно для этих систем первоначально сформулировать гипотетическую, аппроксимированную функциональную модель, с тем чтобы в дальнейшем запрограммировать в кодированной форме эту модель, ввести ее в электронно-вычислительную машину и, проверив ее (модельно-кибернетический эксперимент как «проигрывание» алгоритма, а не самой модели), привести в движение механизм наращивания информации о данной сложной системе. Как писал Ленин, «чтобы понять, нужно эмпирически начать понимание»^[12].

Моделирование — это обогащение всей традиции научного познания, надежный инструмент аппроксимации сложных динамических систем, для которых еще не удается построить последовательную теорию.

Модель — исключительно удобное средство, не только когда мы упрощаем явление в целом, но и тогда, когда мы строим как бы информационный слепок какой-то одной стороны сложной системы, абстрагируясь от всех других ее сторон. «Односторонность» такой модели может оказаться условием получения важной информации.

При таком подходе моделирование оказывается процессом последовательного накопления в серии «односторонних частных моделей информации о всей моделируемой системе, процессом неуклонного продвижения от бедных информацией моделей малого числа измерений ко все более информационно емким моделям. Данная постановка вопроса приводит к обобщению всего метода моделирования под углом зрения информационных процессов.

На базе идей кибернетики все большую значимость приобретает обобщенный информационный подход к моделированию, при котором в качестве модели некоторого объекта рассматриваются сведения о нем, закодированные и введенные в форме некоторого алгоритма в электронную вычислительную машину. Такая постановка вопроса содержится в работе В. М. Глушкова «Гносеологическая природа информационного моделирования»^[13].

Для дальнейшего развития информационного подхода к моделированию может представлять интерес трактовка модели в качестве сигнала, несущего информацию об объекте-оригинале. В свою очередь, взаимоотношение этого модельного сигнала и оригинала может рассматриваться на основе разрабатываемой А. Н. Колмогоровым и его учениками теории эпсилон-энтропии^[14].

Если мы о значениях одной случайной величины ξ судим по значениям другой случайной величины ξ’ (т. е. моделируем ξ с помощью ξ’ — например, по распределению яркостей телевизионного экрана судим о распределении яркостей самих объектов, составляющих предмет изображения на экране), то наше суждение, естественно, будет тем более верным, чем больше информации об ξ содержится в ξ’. Если по условиям задачи ξ’ должно воспроизводить, моделировать ξ с допустимой верностью ε (т. е. мера различия ξ и ξ’ не превосходит ε; | ξ — ξ’| ≤ е), то для осуществления этого условия необходимо, чтобы в ξ’ содержалось некоторое минимальное количество информации об ξ. В случае если количество информации об ε в ξ’, т. е. l(ξ, ξ’), имеет меньшее значение, чем некоторое минимальное значение, мы, конечно, не получим потребной верности воспроизведения ξ в ξ’.

Эпсилон-энтропия — это и есть минимальное количество информации-в одной случайной величине относительно другой случайной величины при условии, что мера различия этих величин не превышает ε. Минимум l(ξ, ξ’) количества информации в ξ’ относительно ξ при условии, что мера различия ξ и ξ’ не превосходит ε (т. е. верность воспроизведения, моделирования ξ в ξ’ не хуже ε) —это эпсилон-энтропия величины ξ.

При этом существенно, что дискретная случайная величина может быть воспроизведена, смоделирована точно, так что ε = 0 и эпсилон-энтропия будет равна энтропии этой величины ξ, т. е. мере неопределенности ее значений х₁, х₂, …, х_c, … Непрерывная случайная величина может быть воспроизведена только приближенно. Отсюда ясна роль всякого рода прерывных моделей непрерывных процессов — «квантования непрерывного». В этой связи для современного информационного подхода характерна теорема Котельникова о квантовании непрерывного сигнала.

В последнее время все большую роль приобретает аппроксимированное моделирование случайного непрерывного процесса в виде последовательности дискретных случайных величин. При этом практически крайне важно сократить, минимизировать среднее число двоичных цифр, возникающих в результате построения квантовой модели непрерывного процесса. Это проблема оптимальной дискретизации (или проблема построения минимальной ε-сети). Хотя в общей форме теория информации показывает, что, вообще говоря, при построении квантованной модели непрерывного процесса, воспроизводящей последний с верностью е, может хватить Н’_ε двоичных цифр, конкретно проблему оптимальной дискретизации пока удалось решить лишь для немногих частных случаев^[15].

В общем можно сказать, что теоретико-информационный аппарат в целом, представления об эпсилон-энтропии в особенности, по-видимому, способны дать базу для разработки более строгой теории аппроксимированного воспроизведения, моделирования одного объекта с помощью другого.

Мы видим, что на основе идеи теории информации приобретают более строгий вид две кардинальные проблемы современного моделирования — вопрос относительно меры соответствия модели-оригиналу и вопрос о степени верности аппроксимированной квантовой модели непрерывного процесса.

В этом обстоятельстве можно усмотреть весьма перспективную методологическую основу для решения, может быть, важнейшей теоретической задачи современного научного познания — задачи конструирования относительно строгой логики упрощения сложного.

Вполне понятно, что этот момент формализованной строгости в процедуре упрощения не следует абсолютизировать. Процесс аппроксимации включает в себя элементы ситуации, догадки, фантазии.

Известно из истории науки, как гениально Ньютон «упростил» для себя задачу характеристики тяготения, отказавшись от рассуждений о субстрате тяготения и построив его математическую модель. Известно, что и в наши дни среди физиков распространено мнение, что наибольшего успеха в теории элементарных частиц добьется тот, кто догадается, от чего в картине мира на данном этапе целесообразно отказаться (от учета слабых взаимодействий, от понятий пространства — времени в микромире и т. п.) для упрощения ситуации.

Если бы мы стали ждать в чистом виде абсолютно строгих приемов построения аппроксимированных формализованных моделей сложных систем и их поведения, то мы бы рисковали обречь себя на пассивное ожидание и в исследовании сложных систем, и в формулировании строгих законов их упрощения.

В данном случае вполне справедлив тезис: «Если бы мы захотели ждать, пока материал будет готов в чистом виде для закона, то это значило бы приостановить… мыслящее исследование, и уже по одному этому мы никогда не получили бы закона»^[16].

Именно в силу несовершенства слишком строгих примеров формализованного моделирования поведения сложных систем в последние годы получают распространение «полустрогие» и «полуформализованные» модели, связанные с новым научным направлением — эвристикой. Идеи эвристического программирования развиваются в исходной работе А. Ньюэлла и др. о программе шахматной игры и проблеме сложности (1958 г.)^[17].

Эвристические модели информационного процесса дают его не аналитически математическое, полностью формализованное описание, а характеризуют его как систему элементарных информационных актов, объединенных по определенным правилам. Эвристическое моделирование — это сфера, где «неточные» психологические приемы оказываются эффективнее, чем точные методы современной математики. Конечно, эвристика не альтернативна математическим методам, напротив, развиваясь, эвристические и аналитические приемы исследования будут все более сближаться. Однако в современных условиях эвристическое моделирование дает возможность оптимизировать в известных пределах пути решения сложных задач с плохой структурой, с недостаточной исходной информацией, не поддающихся имеющимся сегодня методам аналитического математического исследования. Эвристика — это рациональный путь дальнейшего развития кибернетического моделирования психических процессов и перенесения полученной информации на работу машин.

Информационные аппроксимированные модели помогают описывать свойства сложных процессов, непосредственное изучение которых еще недостаточно развито.

Так, идеи функционального кибернетического моделирования получают практическое преломление в исследованиях, например, такого сложного явления, как память, психофизиологическое исследование которой пока еще неспособно раскрыть многие ее важные механизмы. Запас сведений, которые хранятся в человеческом мозгу, оценивается от 1,5✕10⁶ до 10²³ битов. Последняя величина превосходит информационную емкость всех фондов библиотеки им. В. И. Ленина^[18].

И хотя единодушия в оценке информационной емкости мозга нет, все исследователи сходятся на том, что объем памяти человека значительно превосходит объем оперативной памяти современных электронных машин. Если опираться на метод прямого перебора сведений, содержащихся в памяти, то информационная емкость будет находиться в непреодолимом противоречии с временем поиска нужных данных. Для преодоления этого противоречия создают специальные «системы обращения к памяти», позволяющие находить искомую информацию по признаку, по адресу и т. п., а не простым перебором. Для усовершенствования таких устройств существенное значение имеет моделирование свойств памяти.

Так, в отделе биокибернетики Института кибернетики АН УССР удалось осуществить моделирование некоторых сторон ассоциаций, являющихся основой упорядочения хранения в памяти информации. Например, ассоциативные отношения между словами выражают в виде таблиц, в которых 0 обозначает отсутствие -прямой ассоциации между словами, а 1 — наличие ее.

В ассоциативных экспериментах, проводимых в Институте кибернетики АН УССР, было показано, что ассоциации может быть присуще свойство однонаправленности. Так, из 20 испытуемых на слово-раздражитель «стакан» 16 дали ответ «вода», а на слово «вода» ни один не дал ответ «стакан». Следовательно, ассоциация шла от слова «стакан» к слову «вода» и не шла в обратном направлении. Это в общем случае записывается: А→Б ≠ В→А. А в табличной модели это свойство учитывалось благодаря тому, что строки таблицы принимались за вход, а столбцы за выход. Сотрудники института кибернетики АН УССР Э. Т. Головань, А. Н. Лук, В. С. Старинен, оценивая возможности этой модели, справедливо отмечают, что «на первом этапе работы нельзя, разумеется, рассчитывать, что модель с исчерпывающей полнотой отразит все свойства памяти человека»^[19]. Однако совершенно несомненно, что, не раскрывая сразу внутренние нейрофизиологические механизмы памяти, а давая ее функциональное описание, такие модели не только позволят усовершенствовать блок памяти электронных машин, в особенности устройство обращения к памяти, но и будут содействовать развитию собственно нейрофизиологических и психологических исследований.

При этом, конечно, необходимо учитывать, что само моделирование — не некоторый разовый познавательный акт, а представляет собой развивающуюся многоэтажную гносеологическую структуру. Генезис этой структуры предполагает постоянно возобновляющиеся на более высокой базе следующие основные этапы: построение модели; ее верификация, предполагающая ее программирование и «проигрывание» на электронно-вычислительной машине; перенос полученной на модели информации на объект-оригинал; обогащение и оптимизация модели на базе новой информации об оригинале; построение более насыщенной информацией модели и т. д.

Познание в свете такого подхода выступает как движение от модели n измерений (т. е. модели, охватывающей свойства оригинала) к модели n+1 измерения и т. д. Причем это движение есть единство прерывного (данной модели) и непрерывного (моделирования как процесса). Само моделирование при этом модифицируется — оно оказывается не способом сопоставления объектов А и Б, а приемом замещения некоторой сложной системы А ее аппроксимированным срезом — а‘, соответственно срез а выступает в качестве удовлетворительной для заданных условий практики модели системы А. Изменение условий задачи потребует более глубокой модели. И в этом процессе обогащения моделей информацией реализуется единство модельно-генетического (улавливающего тенденцию генезиса системы) и модельно-структурного (улавливающего данный срез структуры системы) подходов.

Вполне очевидно, что ранние стадии моделирования включают в себя существенный элемент гипотетичности. Так, например, моделирование обратной стороны Луны по аналогии с ее видимой стороной было раньше вполне оправданным, но прямое фотографирование обратной стороны Луны показало всю неточность такой модели. Более того, даже достаточно полная функциональная модель, прошедшая экспериментальную проверку, включает в себя момент неопределенности.

Действительно, поскольку сходные функции могут реализоваться различными внутренними структурами и механизмами, необходимо в аппроксимированном функциональном моделировании считаться, по выражению В. М. Глушкова, с «принципом неопределенности».

Однако отсюда было бы, конечно, неверно делать вывод о фатальном разрыве функциональной модели и характеристики внутренней структуры системы. Напротив, диалектика развития модельного знания такова, что информация о функциях сложной системы, ее поведения имеет тенденцию перерастать в информацию о самой ее внутренней структуре.

Информационное и функциональное по своей природе кибернетическое моделирование — плодотворный метод характеризации внутренней структуры объекта через посредство описания его внешних функциональных зависимостей. Поскольку в сфере поведения сложной системы в меняющейся среде проецируется и ее внутренняя структура, постольку относительно исчерпывающая модель ее внешних функций будет служить и моделью ее внутренней сущности; внешнее и внутреннее имеют тенденцию сближаться в процессе нарастания информационной емкости моделей явления.

Более того, в перспективе развития функциональное исследование не только сращивается со структурным, но и само приобретает характер структурного, перерастает в него при рассмотрении определенного среза действительности. В силу этого нам и представляется целесообразным называть кибернетические модели не феноменологическими (такой термин несет в себе пережиток феноменологистского разрыва сущности и явления — ноумена и феномена), а функциональными, поскольку такой термин более четко выражает диалектику функции и структуры, их развивающееся противоречивое единство в процессе моделирования.

В плане развиваемого нами подхода процесс познания сложных динамических систем выступает как процесс все большего обогащения информацией аппроксимированных в соответствии с данными задачами практики модельных срезов этих систем, как процесс движения от одного квантованного среза к другому, более насыщенному информацией.

Учитывая это обстоятельство, целесообразно ввести разграничение понятия моделирования в широком смысле и понятия моделирования в узком смысле.

В плане универсального подхода к методу моделей сложных систем мы можем определить моделирование в широком смысле как весь процесс их исследования, взятый под углом зрения механизма аппроксимации. Моделирование же в узком смысле имеет своей логико-методической базой такую форму умозаключения, как аналогия.

3. Гносеологическая характеристика

В процессе научного исследования, как. известно, большую роль играют выводы по аналогии. Так, распространение звука еще в древности изучалось по аналогии с распространением волн на поверхности воды, в исследовании тепловых явлений большую роль сыграла аналогия с движением жидкостей, исследование атома проводилось с помощью аналогии с планетной системой. Принцип относительности Эйнштейна в определенном смысле аналогичен принципу относительности Галилея, квантовая механика во многом аналогична классической механике.

Д. Дидро в свое время писал: «В физике все наши знания основываются только на — аналогии: если бы сходство следствий не дало нам права заключить о тождестве их причин, что сталось бы с этой наукой?»^[20]. Конечно, Дидро здесь преувеличивает. Но большое значение аналогии в развитии физики, как и других естественных наук, несомненно. Сами естествоиспытатели неоднократно обращали внимание на ту роль, которую играла аналогия в их исследованиях, и подвергали ее специальному изучению. В этой связи следует отметить работы Дж. К. Максвелла, который на ряде блестящих примеров показал, что «признание нормальной аналогии между двумя системами идей приводит к более глубокому знанию обеих, чем познание, которое можно было получить, изучая каждую систему в отдельности»^[21].

Из современных физиков особое внимание на аналогию обратил Роберт Оппенгеймер, показавший плодотворность ее применения главным образом в теории элементарных частиц^[22]. Советские физики и философы посвятили использованию аналогии и моделей в физике целый ряд работ^[23].

Что же такое аналогия и в каком отношении она находится к методу моделирования? В учебниках традиционной логики распространены определения аналогии как умозаключения, основанного на сходстве двух предметов, скажем а и b, в ряде свойств Р₁…,Р_n. Вывод по аналогии в этом случае заключается в переносе некоторого нового свойства P_n+1, обнаруженного в предмете а, на предмет b. В качестве примера обычно приводится вывод об обитаемости Марса на том основании, что Марс имеет с Землей ряд общих свойств. Такие выводы имеют известную область применения, в том числе и в естественных науках. Зная, что электрон и позитрон обладают одинаковой массой и рядом других одинаковых свойств, мы можем распространить на позитрон новое свойство, обнаруженное у электрона. Однако такой вывод имеет лишь незначительную вероятность и не представляет большой ценности в познавательном отношении. Если бы все выводы по аналогии сводились к рассмотренному выше типу, то огромная роль этих выводов в развитии науки была бы совершенно непонятна.

Анализ тех рассуждений, которые под названием аналогии применяют естествоиспытатели, в частности физики, в процессе научного исследования, показывает, что это выводы обычно совершенно иных типов. Общее для всех выводов, называемых выводами по аналогии, заключается в том, что во всех случаях непосредственному исследованию подвергается один предмет, а вывод делается о другом предмете. Иначе говоря, вывод по аналогии в самом общем смысле этого слова можно определить как перенос информации с одного предмета на другой.

Тот предмет, который непосредственно исследуется, называется моделью, а тот предмет, на который переносится информация, полученная при исследовании модели, называется прототипом. Наряду с термином «прототип» употребляются также термины «образец», «оригинал» и т. д. Модель в процессе познания выступает как некоторый заменитель своего прототипа, по той или иной причине недоступного непосредственному исследованию. В приведенных выше примерах в качестве прототипов выступали Марс и, соответственно, позитрон. Моделью же служила Земля и электрон.

Мы привели наиболее широкое определение модели. В литературе встречаются различные более узкие понимания этого термина. Иногда выдвигают требование, чтобы модель ни прямо, ни косвенно не взаимодействовала с прототипом^[24]. Такое ограничение понятия модели излишне, поскольку факт взаимодействия, например, между Землей и Марсом, никак не сказывается на функциях Земли в качестве модели.

Модель может быть создана человеком. Таковы в большинстве случаев модели, используемые в технике. Но неправильно было бы ограничивать понятие модели тем, что создано человеком. Даже в области техники широко используются модели, найденные в природе^[25]. На наш взгляд, неправомерно также включать в определение понятия модели указание на определенный способ ее построения, как это сделано в «Философской энциклопедии» Ю. Гастевым, где понятие модели определяется с помощью гомоморфного отображения (т. е. такого отображения, когда каждый элемент первой системы соответствует только одному элементу другой) сравниваемых систем А и В на некоторые другие системы А‘ и В‘, изоморфные (т. е. гомоморфные в обе стороны) между собой^[26]. Согласно этому определению, любые две вещи могут рассматриваться как модели друг друга, так как любое множество можно гомоморфно отобразить хотя бы на множество, состоящее из одного элемента. Однако мы можем использовать тот или иной объект в качестве модели без всякой ссылки на гомоморфизм, исходя из иных соображений, например из одинаковости ряда свойств сравниваемых объектов.

Разумеется тот факт, что мы не ссылаемся на гомоморфизм, не означает, что он от этого исчезает. Он остается, но не потому, что модель действительно является моделью, а потому, что возможность гомоморфного отображения любого множества на любое множество, состоящее из меньшего числа элементов, является объективным фактом, который вообще не может исчезнуть. Но не все вещи рассматриваются как модели друг друга. Следовательно, выбор объекта в качестве модели может быть обусловлен основаниями иными, чем гомоморфное отображение на изоморфные системы.

Может показаться, что мы также сужаем понятие модели, поскольку связываем его с выводами по аналогии. Если понимать вывод по аналогии в том смысле, в котором он понимается в учебниках традиционной логики, то жесткая связь понятия модели с выводами по аналогии действительно суживала бы понятие «модель».

Однако, как уже отмечалось, необходимо учитывать, что в естественных науках и, в частности, в физике термин «аналогия» обобщается, употребляется на современном этапе в значительно более широком смысле. Поэтому мы не сужаем понятия «модель», а приводим обобщенное понятие аналогии в соответствии с обобщенным понятием модели. При таком подходе аналогия — это отношение между любой моделью и ее прототипом. Например, ту или иную мысленную конструкцию можно рассматривать как модель и тем самым аналог действительности. Вывод по аналогии — это вывод от модели к прототипу.

Метод моделирования, таким образом, существует не наряду с выводами по аналогии. Моделирование — более широкое понятие, включающее в себя выводы по аналогии как свою неотъемлемую часть. Когда говорят об аналогии, то имеют в виду соотношение между уже данной тем или иным способом моделью и прототипом. В выводе по аналогии результат исследования модели предполагается известным. В понятие метода моделирования включается также сам процесс построения модели или нахождения ее в природе. Затем, в качестве важного этапа применения метода моделирования выступает исследование построенной модели, получение с ее помощью необходимой информации и, наконец, практическое использование объектов в функциях модели и прототипа.

В этом плане является существенным то, что, вообще говоря, безразлично с точки зрения формальной структуры вывода по аналогии. Например, для построения модели и ее исследования крайне важно, является ли она мысленной или материальной, знаковой или вещественно-агрегатной. То же можно сказать о практическом использовании этих моделей. Структурные же особенности, с которыми связана правомерность вывода по аналогии, во всех этих случаях могут быть одинаковыми.

Выводы от модели к прототипу являются важнейшей стадией применения метода моделирования. В известной мере она определяет все остальные стадии. Так, сама модель должна подбираться таким образом, чтобы на основе ее исследования можно было делать вывод по аналогии, т. е. чтобы соответствующий вывод по аналогии был правомерным. Правомерность же вывода по аналогии зависит от ее структуры.

Поэтому, раскрывая сущность метода моделирования, необходимо более детально выяснить структуру различных типов выводов по аналогии.

В выводе по аналогии посылка описывает модель, заключение — прототип. Многообразие форм выводов по аналогии будет определяться прежде всего характером той информации, которая переносится с модели на прототип. В одних случаях с модели на прототип переносится информация, представляющая собой приписывание предмету свойства. В других случаях речь идет о переносе отношений. Соответственно этому различается аналогия свойств и аналогия отношений.

Обозначим информацию о присущности свойства символом Р, стоящим справа от скобки с обозначением предмета, которому приписывается свойство. Отношение обозначим символом R слева от скобки с обозначением той системы, в которой оно существует. Пусть F обозначает некоторое основание вывода по аналогии, отношение которого к самому выводу выразим символом ⊢. Тогда схема аналогий свойств будет иметь вид

F ⊢ ((a)P)/((b)P).

Здесь (а) — символ модели; (b) — символ прототипа; Р — свойство, переносимое с модели на прототип; (а)Р — посылка; (b)Р — заключение, отделяемое от посылки чертой.

Аналогию отношений можно выразить как

F ⊢ (R(a))/(R(b)).

Здесь R — отношение, символ которого, в отличие от символа свойства, мы записываем слева от символа предмета, в котором это отношение существует. Выражение отдельных элементов, из которых состоит модель и прототип, в общей схеме вывода не обязательно.

Приведенные формулы недостаточно точны, поскольку не ясно, идет ли речь о переносе одного определенного, фиксированного свойства или отношения или же допускается перенос любого свойства и отношения, обнаруженного в модели, на прототип.

Первый тип вывода можно назвать аналогией констант, второй — переменных. Для того чтобы отличить константу от переменной, сверху символа, обозначающего свойство или отношение, будем ставить точку. Тогда получим следующие разновидности аналогии свойств и отношений:

F ⊢ ((a)Ṗ)/((b)Ṗ); F ⊢ (Ṙ (a))/(Ṙ (b)).

В аналогии отношений существенно различие двух случаев. В одном из них переносимое отношение не предполагает общности в модели и прототипе каких-либо элементов, между которыми устанавливается это отношение («чистая» аналогия отношений). В другом случае такая общность предполагается («смешанная» аналогия). Одинаковые элементы, входящие в число коррелятов отношения, переносимого с модели на прототип, могут иметь различный характер. В одном случае это элементы, общие модели и прототипу. Во втором — посылку и заключение объединяют те объекты, которые, будучи вне сравниваемых систем, привлекаются тем не менее для того, чтобы характеризовать эти сравниваемые системы.

Особую группу выводов по аналогии представляет такой случай, когда на прототип переносится некоторая модификация свойств и отношений, обнаруженных в модели.

Классифицируя выводы по аналогии, следует учитывать не только характер информации, переносимый с модели на прототип, но также и характер тех оснований, которые делают такой перенос возможный.

В подавляющем большинстве случаев основаниями вывода по аналогии являются некоторые отношения. Отношения, в свою очередь, могут быть между вещами, их свойствами или отношениями. В соответствии с этим будем иметь три типа выводов по аналогии, которые, таким образом, условно можно назвать реальными, атрибутивными и релятивными.

Реальные аналогии можно разбить на два класса, в зависимости от соотношения объемов понятий: «вещи, между которыми устанавливается отношение, являющееся основанием вывода», и «элементы сравниваемых систем». Если корреляты отношения, являющегося основанием вывода («фундаментальное отношение»), не выходят за рамки элементов сравниваемых систем, то аналогию такого типа назовем внутренней. В противном случае, когда фундаментальное отношение устанавливается не только между элементами сравниваемых систем, но выходит за их рамки, будем иметь внешнюю аналогию.

Далее, фундаментальное отношение может быть однозначно определенным, т. е. символ, представляющий его, будет константой, и, с другой стороны, можно допустить существование некоторого множества фундаментальных отношений, когда символ, их представляющий, будет переменной. В свою очередь константа может иметь чисто логический или же фактический содержательный характер.

Логическая константа чаще всего выражает отношение тождества, но это может быть также отношение включения или импликации.

Тогда, когда фундаментальное отношение является отношением тождества, существует различие между двумя случаями. В одном из них отождествляются отношения, каждое из которых охватывает только одну из сравниваемых систем — или модель, или прототип.

В другом случае отождествляются отношения, каждое из которых соединяет элементы модели и прототипа.

Первый из рассматриваемых случаев естественно подразделяется на два подкласса. В одном из них отождествляемые отношения определены только на элементах сравниваемых систем (внутренняя реляционная аналогия). Во втором подклассе в число коррелятов отождествляемых отношений входят не только элементы сравниваемых систем (внешняя реляционная аналогия).

Рассмотренные характеристики в различных комбинациях друг с другом дают возможность определить богатое многообразие выводов по аналогии. То, чем школьная логика исчерпывала по сути дела выводы по аналогии, оказывается особым случаем аналогии свойств. Его можно выразить следующей схемой:

Это аналогия переменных, поскольку P_n+1 обозначает здесь любое свойство, обнаруженное на модели сверх свойств Р₁, . . ., Р_n, одинаковость которых в модели и прототипе является основанием вывода. «Фундаментальным отношением» является, таким образом, отношение тождества. Выражение (а, b)Р₁, . . ., Р_n означает, что свойства Р₁, . . ., Р_n присущи как предмету а, так и b. Поскольку основанием вывода является тождество свойств, такая аналогия будет атрибутивной.

Выводы такого типа впервые были исследованы Аристотелем, который называл их парадейгмой — выводами через пример^[27]. Термин «аналогия» Аристотель, Платон и другие античные мыслители применяли к иному типу выводов. «Ибо аналогия есть равенство отношений»^[28], «а под аналогией я разумею [тот случай], когда второе относится к первому так же, как четвертое к третьему»^[29]. Конкретный пример из биологии поясняет суть такого вывода: «Я разумею под аналогом следующее: одним присуще легкое, другим оно не присуще; но то, что для имеющих его представляет собою легкое, то для других нечто иное, взамен него»^[30].

Схематически это можно выразить следующим образом:

Предполагаемым основанием вывода здесь служит наличие отношения взаимооднозначного соответствия между элементами модели «прототипа: легкие — жабры, воздух — вода. Вывод по аналогии рассматриваемого типа в целом будет иметь вид:

В части схемы слева от знака ⊢ выражено тождество отношений между соответствующими друг другу элементами модели и прототипа. Крышечки над обозначениями этих элементов — символы абстракции — означают, что речь идет о тождестве не предметов, а отношений между ними.

Античные мыслители в модели и прототипе рассматривали обычно лишь бинарные отношения. Современная наука имеет дело, как правило, с многоместными отношениями. В таком случае мы получаем аналогию через изоморфизм. Ее схема будет иметь вид:

С точки зрения изложенной выше классификации такое умозаключение можно охарактеризовать следующим образом. Прежде всего это аналогия отношений, поскольку речь идет о переносе отношения из модели на прототип. Так как переносится не кахое-либо одно заранее определенное отношение, а различные отношения, обнаруженные в модели, то это аналогия переменных. Корреляты отношения R в модели и прототипе, вообще говоря, не имеют никаких общих элементов. Поэтому мы имеем здесь дело с чистой аналогией отношений. Фундаментальное отношение, являющееся основанием вывода по аналогии, представляет собой отношение между отношениями, т. е. это релятивная аналогия. «Фундаментальное отношение однозначно определено, являясь не чем иным, как отношением тождества. При этом отождествляются отношения, каждое из которых соединяет элементы модели и прототипа.

Аналогии через изоморфизм находят широчайшее применение в самых различных областях современной науки и техники. Исследование изоморфизмов, позволяющих отождествлять отношения в различных алгебраических системах — группах, кольцах, полях и т. д., является одной из важнейших задач высшей алгебры. Понятию отношения в логике соответствует в алгебре понятие операции. Операция как вид функции определяет отношение между элементами, к которым она применяется, и результатом операции. Поэтому определение изоморфизма в алгебре имеет следующий вид: «под изоморфизмом между двумя алгебрами, допускающими одни и те же операции (например, между двумя группами или двумя кольцами), мы понимаем взаимно однозначное соответствие элементов, которое сохраняет все операции^[31].

Поскольку целью алгебры является изучение отношений, а не конкретных свойств элементов, между которыми устанавливаются эти отношения, имеет место отождествление «с точностью до изоморфизма» различных систем, если исследуемые отношения в них одинаковы. «Изоморфные множества с операциями отличаются друг от друга природой своих элементов и, быть может, названием операции и символикой, употребляемой для ее обозначения. Они неразличимы, однако, с точки зрения свойств операции, — все, что может быть доказано для некоторого множества с операцией на основании свойств этой операции, но без использования индивидуальных свойств элементов множества, автоматически переносится на все множества, изоморфные с данным»^[32].

«Автоматический перенос» в данном случае есть перенос по аналогии на основании изоморфного соответствия модели и прототипа. Следует отметить, что некоторые математические дисциплины, например аналитическая геометрия, целиком основаны на аналогиях через изоморфизм.

В технике, когда речь идет о переносе результатов исследования модели на прототип, который не только по размерам, но чаще всего и по физической природе описывающих его величин отличается от модели, аналогия через изоморфизм является распространенной формой вывода по аналогии. Сам термин «аналогия» в технике часто определяется как аналогия через изоморфизм. Например: «Две системы являются аналогичными, если имеется однозначное соответствие между каждым элементом этих систем, а также между функциями возмущения и реакциями этик элементов и всей системы в целом. Аналогией подобного типа обладает масштабная модель, в которой воспроизводится каждый элемент прототипа, но в измененных размерах…

Более тонким типом аналогии является аналогия между системами, принадлежащими к двум совершенно различным физическим категориям. Аналогия между такими системами часто выражается как подобие между уравнениями, характеризующими эти системы»^[33].

«Функции возмущения» и «реакции» в логическом плане также можно рассматривать как элементы сравниваемых систем.

Недостаток места не позволяет нам привести многочисленные примеры применения аналогий через изоморфизм из области кибернетики, физики и многих других наук.

В связи с аналогией через изоморфизм естественно возникает вопрос о способах установления одинаковости корреляторов ρ₁, …, ρ_n, т. е. отношений, сопоставляющих элементы модели и прототипа друг с другом. Часто это можно сделать в том случае, если известно, что в модели и прототипе имеет место одно и то же отношение Q, т. е. на основе вывода, обратного аналогии через изоморфизм. Соединяя обратный и прямой вывод через изоморфизм друг с другом и исключая промежуточный результат о взаимно-однозначном соответствии, получим схему вывода по аналогии следующего типа:

Здесь наличие в модели и образце одного и того же отношения Q является основанием для переноса на прототип другого отношения R, обнаруженного в модели.

Поскольку такой тип вывода чаще всего применяется в эмпирических исследованиях, его условно можно назвать эмпирико-реляционной аналогией.

Согласно приведенной выше классификации, это будет аналогия отношений. Далее, это аналогия переменных, поскольку в качестве R могут выступать различные отношения. Так же как и в аналогии через изоморфизм, корреляты отношения R, вообще говоря, не имеют общих элементов, фундаментальное отношение есть отношение тождества между отношениями. Однако, в отличие от аналогии через изоморфизм, в основании отождествляются отношения, каждое из которых имеет место не между элементами модели и прототипа, а внутри сравниваемых систем.

Эмпирико-реляционная аналогия находит широкое применение в техническом моделировании и в таких науках, как кибернетика^[34].

Приведем в качестве примера еще одну форму выводов по аналогии. Общеизвестна та роль, которую играют в современной физике вариационные принципы, в частности принцип Гамильтона. Первоначально сформулированные в рамках механики, они находят применение в разных разделах физики. Логической основой, позволяющей применять эти принципы в новых областях, является вывод по аналогии. Л. С. Полак пишет о принципе Гамильтона: «Таким образом, принцип, оставаясь механическим по своему происхождению, охватывает другие области физики. Первостепенную роль в этом, расширении сферы принципа играет аналогия (курсив наш. — И. Н., А. У.), ибо хотя по содержанию обобщенные координаты могут существенно отличаться от координат механики х, у, z, но формы связи их между собой и скоростями их изменений совпадают с соответствующими формами механики»^[35]. Эта же мысль применительно ко всем вариационным принципам приводится Ю. Ф. Сафоновым^[36].

В том типе выводов по аналогии, с помощью которого вариационные принципы находят применение в различных областях физики, речь также идет о переносе некоторого отношения с модели на прототип. Т. е. это — аналогии отношений (переменных). Моделью будет система механических, прототипом — физических величин. Некоторые элементы (например, время), назовем их С₁, …, С_m, будут одинаковыми в модели и прототипе, что означает, что аналогию можно охарактеризовать как смешанную. Основанием будет наличие общего формального соотношения (выраженного переменной) между некоторыми величинами, содержательными интерпретациями которого будет как модель, так и прототип. Поэтому такую форму вывода по аналогии можно назвать интерпретационной аналогией. Ее схема будет иметь вид:

Здесь Х₁, . . ., Х_n — переменные с широкой областью значений, которая, во всяком случае, охватывает всю физику; a₁, . . ., а_n и b₁, . . ., b_n — переменные с более узкими областями значений, так что их области по отношению к Х₁, . . ., Х_n выступают как единичные объекты. Переменные a₁, . . ., а_n, b₁, . . ., b_n — это те переменные, как, например, масса, скорость, объем и т. д., с которыми обычно имеет дело физик. Фундаментальное отношение устанавливается не между отношениями, а между вещами, что означает, что аналогия будет, согласно принятой выше терминологии, реальной.

Рассмотрение других форм выводов по аналогии выходит за пределы настоящей работы.

Остановимся на проблеме правомерности выводов по аналогии. Традиционная в логике точка зрения связана с очень низкой оценкой доказательной силы аналогии. Такая оценка основана на отождествлении различных форм выводов по аналогии с одной формой — аналогией типа парадейгмы. Как мы видели, в современной науке применяются главным образом другие формы аналогий. Применение этих форм в общем и целом обеспечивает более достоверные выводы, чем использование выводов типа парадейгмы.

Однако правомерность вывода по аналогии не определяется однозначно теми структурами, о которых шла речь выше. Так, аналогии через изоморфизм, эмпирико-реляционные или интерпретационные аналогии могут быть или правомерными, или нет, так же как аналогии типа парадейгмы или силлогизмы той или иной фигуры. Это зависит от выполнения некоторых дополнительных условий — правил, которые будут различными для разных форм выводов по аналогии, так же как различны специальные правила разных фигур силлогизма.

Применительно к парадейгме можно сформулировать ряд правил, выполнение которых может сделать результат вывода если не достоверным, то близким к достоверности. Эти правила таковы:

1) число общих свойств Р₁, …, Р должно быть возможно большим;

2) эти свойства должны быть любыми свойствами сравниваемых предметов, т. е. подбираться «без предубеждения» против свойств какого-либо типа;

3) они должны быть возможно более разнородными;

4) они должны быть возможно более характерными для сравниваемых предметов, т. е. выражать их сущность;

5) свойство P_n+1 должно быть того же типа, что и свойство Р₁, …, Р_n;

6) свойства Р₁, …, Р должны быть возможно более специфичными для сравниваемых предметов, т. е. принадлежать возможно меньшему кругу предметов;

7) свойство P_n+1, наоборот, должно быть наименее специфичным, т. е. принадлежать возможно большему кругу предметов.

Все эти правила могут быть обоснованы с помощью соответствующих правил индукции, вырожденным случаем которой является аналогия рассматриваемого типа^[37]. В отдельных, правда довольно специальных, случаях вывод по аналогии типа парадейгмы может быть вполне достоверным^[38].

Правила выводов по аналогии через изоморфизм носят иной характер. Можно сформулировать различные группы правил, каждая из которых обеспечивает достоверность вывода. Рассмотрим тот случай, когда отношение R в модели и прототипе можно разбить на совокупность отношений α_i (в модели) β_i и (в прототипе) (l ≤ i ≤ n) каждого предшествующего элемента a_i (в прототипе соответственно b_i) к последующему a_i+1 (в прототипе b_i+1).

Введем ряд понятий, относящихся к свойствам отношений и к отношениям между ними. Два отношения R и Q будут однородными, если их существование между одними и теми же предметами логически невозможно. Например, будут однородными отношения «старше» и «моложе», «севернее» и «южнее». Отношение R функционально, если может существовать лишь один предмет b, находящийся в отношении к данному предмету а. Например, будет функционально отношение «быть матерью», поскольку у каждого человека лишь одна мать. Два функциональных отношения Q и R коммутативны, если их последовательное применение к данному предмету а определяет один и тот же предмет b независимо от того, в (каком порядке берутся эти отношения. Так, будут коммутативными отношения «отец» и «дедушка по мужской линии», поскольку отец дедушки должен быть тем же самым человеком, что и дедушка отца.

Для того чтобы вывод по аналогии через изоморфизм был правомерен, достаточно, чтобы:

1) соответствующие друг другу отношения между соответствующими элементами сравниваемых систем α_i и β_i были однородными;

2) эти отношения были функциональными, по крайней мере в одну сторону (но оба отношения — в одну и ту же);

3) корреляторы ρ_i были коммутативными с отношениями α_i, β_i.

При этой если отношения α_i и β_i функциональны от предыдущего элемента к последующему, то достаточно соотношения ρ_iβ_i = β_iρ_i; в противном случае можно ограничиться требованием ρ_iα_i = α_i ρ_i^[39].

В качестве примера применения этих правил можно привести две плоские геометрические Фигуры, получающиеся друг из друга в результате однородной деформации, при которой любой размер изменяется в одно и то же число раз. В этом случае соблюдаются все приведенные выше правила и соотношения между линейными элементами сравниваемых фигур будут одинаковыми. Если одна из них выступает в качестве модели другой, это означает правомерность соответствующего вывода то аналогии.

Исследование правил эмпирико-реляционной аналогии для того случая, когда сравниваемые системы описываются уравнениями, является предметом особой дисциплины— теории подобия. Изложение этих правил, так же как и попытка их обобщения, требует введения многих специальных терминов и выходит за рамки настоящей работы^[40]. Отметим лишь, что эти правила обеспечивают достоверность вывода по аналогии, так же как и правила дедуктивного вывода.

Правила интерпретационной аналогии связаны с определением условий, при которых специфика модели и прототипа не меняет формальной структуры отношения, выраженного в основании вывода. Выяснение этих условий требует специальных исследований. Ждут своей разработки и правила многих других форм выводов по аналогии.

* * *

В 3-м томе «Философской энциклопедии», в статье о моделировании, Л. Баженов, Б. Бирюков и В. Штофф высказывают одно интересное замечание. Они обращают внимание на то, что если в отношении термина «модель» предпринимаются попытки дать строгое и даже формальное определение, то понятие моделирования носит исключительно содержательный характер, так как оно «является гносеологической категорией, характеризующей один из важнейших путей (приемов, способов, методов) познания»^[41].

Это обстоятельство, на наш взгляд, объясняется тем, что моделирование — это глубоко синтетическая познавательная форма. Действительно, моделирование связано буквально со всеми познавательными формами. Моделирование универсализируется и в определенном смысле становится синонимом познания, выражающим те характерные черты современного его этапа, которые связаны с единством строгих и нестрогих (формализованных и неформализованных) приемов, с единством прерывности и непрерывности процесса получения новой информации. Именно, так сказать, «полустрогость» моделирования делает его столь распространенным на современном этапе научного исследования, когда традиционные приемы неформализованного знания недостаточны и в то же время формализованные приемы еще несовершенны при анализе сложных динамических систем, когда еще нет последовательной теории этих систем и приходится пока оперировать приближенными моделями.

И если справедливо замечание А. Салама, что «история науки — это история поисков универсальных представлений»^[42], то важнейшим инструментом этих поисков является моделирование.

И. Б. Новик, А. И. Уемов

1. См., например: «Synthese», v. XII, № 2/3, 1960; В. A. Штофф. О роли моделей в познании. Л., 1962; В. Глинский, Б. Грязнов, Б. Д ы н и н, Е. Никитин. Моделирование как метод научного исследования. М., 1965; И. Новик. О моделировании сложных систем. М., 1965; В. А. Штофф. Моделирование и философия. М.—Л., 1966; Ю. Гастев. Модель (статья в III т. Филос. энц.); Л. Баженов, Б. Бирюков, В. Штофф. Моделирование (статья в III т. филос. энц.); статьи в журнале «Вопросы философии»: В. А. Штофф. Гносеологические функции модели (1961, № 12); А. А. Зиновьев, И. И. Ревзин. Логическая модель как средство научного исследования (1960, № 1); И. Т. Фролов. Гносеологические проблемы моделирования биологических систем (1961, № 2); А. И. Уемов. Аналогия и модель (1962, № 3). ↑
2. Подробнее см. об этом: И. Б. Новик. Моделирование сложных систем. М., 1965, ч. 1. ↑
3. См. В. А. Веников. Некоторые методологические вопросы моделирования. «Вопросы философии», 1964, № 11. ↑
4. См. М. Э. Омельяновский. Проблема наглядности в физике. «Вопросы философии», 1961, № 11, а также «Syntheses, v. XII, № 2/3, 1960. ↑
5. «Synthese», v. XI I, N 2/3,1960, p. 302. ↑
6. Д. К. Максвелл. Избранные сочинения по теории электромагнитного ноля. М., 1954, стр. 12 (курсив наш. — И. Н., А. У.). ↑
7. О философских вопросах кибернетического моделирования см.: У. Эшби. Введение в кибернетику. М, 1958; В. М. Глушков. Гносеологическая природа информационного моделирования. «Вопросы философии», 1963, № 10; И. Б. Новик. Гносеологическая характеристика кибернетических моделей. «Вопросы философии», 1963, № 8; Н. М. Амосов. Моделирование мышления и психики. Киев, 1965. ↑
8. Подробнее см.: И. Новик. О моделировании сложных систем. М., 1965, гл. 1, § 3. ↑
9. См. И. Б. Новик. Сложные динамические системы. — В кн. «Структура и формы материи». М., 1966. ↑
10. У. Эшби. Системы информации. «Вопросы философии», 1964, № 3, стр. 78. ↑
11. Там же, стр. 83—84. ↑
12. В. И. Ленин. Полное собрание сочинений, т. 29, стр. 187. ↑
13. «Вопросы философии», 1963, № 10. ↑
14. А. Н. Колмогоров. Теория передачи информации. М., 1956. ↑
15. См. «Энциклопедия автоматизации производства и промышленной электроники», т. 4. М.., 1965, стр. 438. ↑
16. К. Маркс и Ф. Энгельс. Сочинения, т. 20, стр. 555. ↑
17. См. также: В. Н. Пушкин. Эвристика и кибернетика. М., 1965 ↑
18. «Природа», 1965, ‘№ 9, стр. 45. ↑
19. «Природа», 1965, № 9, стр. 50. ↑
20. Д. Дидро. Собрание сочинений, т. VII. М.—Л., 1939, стр. 192. ↑
21. Д. К. Максвелл. О соотношении между физикой и математикой. «Статьи и речи». М.—Л., 1940, стр. 14. ↑
22. R. Oppenheimer. Analogy in science. «The American Psychologist», v. 11, N 3,1956. ↑
23. См., например: Э. И. Розенберг. К вопросу о роли аналогии в современном естествознании. «Груды Новосибирского инженерно-строительного института ни. В. Куйбышева». Новосибирск, 1959; Ц. С. Сарангов, Б. И. Спасский. О методе моделей и аналогий в развитии физики. «Вестник МГУ, серия III», 1963, № 5; А. Уемов. Основные формы и правила выводов по аналогии. «Проблемы логики научного познания». М., 1964; Ц. С. Сарангов. Роль моделей и аналогий в развитии физической науки. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук, М., 1965. ↑
24. Apostel. Towards the formal study of models in the nonformal sciences. «Synthese», v. XII, N 2/3, 1960, p. 160. ↑
25. См., например: Л. Б. Розовский. Опыт применения теории физического подобия в инженерной геологии. «Геология и разведка», 1964, № 4. ↑
26. См. «Философская энциклопедия», т. 3. М., 1964, статья «Модель». ↑
27. Аристотель. Аналитики, 68b, 38—69а. М., 1952, стр. 169— 170. ↑
28. Аристотель. Никомахова этика, Е 6. ↑
29. Аристотель. Поэтика, 1457b, 9. М., 1957, стр. 109—110. ↑
30. Аристотель. О частях животных, 645а—646а. М., 1937, стр. 51. ↑
31. Г. Биркгоф. Теория структур. М., 1952, стр. 7. Термин «алгебра» здесь обозначает не науку, а систему объектов с определенными свойствами, изучаемыми в алгебре. ↑
32. А. Г. Курош. Теория групп. М-, 1953, стр. 18. ↑
33. У. Карплюс. Моделирующие устройства для решения задач теории поля. И., 1962, стр. 31—32. ↑
34. А. Уемов. Реальный смысл проблем кибернетики и их извращение в буржуазной науке. «Ученые записки ИГПИ», т. 8. Иваново, 1955, стр. 177—190. ↑
35. Л. С. Полак. Вариационные принципы механики. — В об. «Вариационные принципы механики». М., 1959, стр. 871. ↑
36. Ю. Ф. Сафонов. Физический смысл и методологическая -роль вариационных принципов. — В сб. «Философия и естествознание». Воронеж, 1965, стр. 77. ↑
37. А. Уемов. Основные формы и правила выводов по аналогии. «Проблемы логики научного познания». М., 1964, стр. 260—264. ↑
38. Там же, стр. 265. ↑
39. Доказательство см. там же, стр. 283—285. ↑
40. См. об этом: А. Уемов. О достоверности выводов по аналогии. «Философские вопросы современной формальной логики». М., 1962. ↑
41. «Философская энциклопедия», т. 3. М., 1964, стр. 478—479 ↑
42. «УФН», т. 74, вып. 1, 1961, стр. 141. ↑