1. К вопросу о выводах из релятивных суждений

Можно ли делать выводы из релятивных суждений на основании тех свойств, которыми обладают выражаемые ими отношения? Этот вопрос явился предметом дискуссии, ведущейся еще с прошлого века. Сторонникам традиционной, аристотелевской логики кажется, что логическим характером обладает только связь свойства с вещью. Более же общий случай отношений лишен каких-либо логических свойств. Противники такого взгляда приводят в качестве примера простейший вывод типа: Коля старше Миши, Миша старше Пети, следовательно, Коля старше Пети. Если анализировать это умозаключение как силлогизм, то обнаружим учетверение терминов. Однако в необходимом характере полученного вывода усомниться невозможно.

Анализ выводов из релятивных суждений сложился в особое направление в логике, получившее название логики отношений. Логика отношений часто рассматривается как идеалистическое направление^[1].

Выше уже говорилось о том, что отношение столь же объективно, как и свойство. Поэтому связывать идеализм с логическим анализом выводов из релятивных суждений по меньшей мере неправомерно. Мы не говорим о философских взглядах сторонников логики отношений. Они могут быть идеалистическими, так же как взгляды многих сторонников традиционной логики. Но это совершенно другой вопрос. Считать на этом основании логику отношений идеалистическим направлением в логике все равно, что считать теорию относительности, идеалистическим направлением в физике.

Развитие современной символической логики, особенно после работ Шредера и Рассела, идет в направлении логики отношений^[2]. Функциональное исчисление, или исчисление предикатов, являющееся наряду с исчислением высказываний основой современной символической логики, есть не что иное, как исчисление отношений.

Попытки отделить это исчисление от логики отношений и сблизить его с классической традицией членения суждения, на наш взгляд, неубедительны. Правда, в исчислении предикатов отношения записываются в форме P (a₁, . . ., а_n) и называются предикатами. Может показаться, что этот факт выражает обычное деление суждения на субъект и предикат. Действительно, отношение можно рассматривать как свойство, но столь же правомерно свойство рассматривать как отношение. Это не обычные, а особые, вырожденные частные случаи (см. часть первую настоящей работы). Поэтому нельзя говорить, что форма выражения отношений в символической логике совпадает с традиционной формой суждения. Напротив, понятие предиката символической логики противопоставляется предикату классической логики, именно как отношение противопоставляется свойству.

Так, П. С. Новиков пишет: «Понятие предикатов в классической логике Аристотеля соответствует в нашей терминологии предикату с одним переменным. Понятие предиката, введенное нами, имеет более широкий объем. Предикатами мы называем также и логические функции нескольких переменных. Такими предикатами можно выразить отношения между предметами… Мы увидим дальше, что введение в рассмотрение предикатов от нескольких переменных привносит существенно новое по сравнению с логикой предикатов от одного переменного»^[3].

Для выражения отношения между двумя объектами чаше используется форма aRb. Но отношения между многими предметами нельзя изобразить таким образом. Поэтому символ отношения помещается перед символами, обозначающими предметы. Можно было бы и не делать этого и записывать отношение, например, так: a₁Ra₂…Ra_n. В таком случае не было бы смешения с формой выражения суждений традиционной логики, но это была бы слишком громоздкая форма записи, приводящая к тому же к ряду других недоразумений.

Несмотря на успехи логики отношений, против нее приводятся аргументы не только общефилософского, но также и специального, логического характера.

Наиболее интересна в этом отношении статья Е. К. Войшвилло^[4]. Автор прежде всего стремится показать, что традиционное суждение «S есть Р» нельзя рассматривать как частный случай aRb.

Для того чтобы противопоставлять логическое отношение понятий, выражаемое связкой «есть», остальным отношениям, которые автор называет «отношениями типа R», он должен был бы показать, что к суждению типа «S есть Р» неприменима схема aRb. Однако связка «есть» выражает отношение между S и Р. R в схеме aRb выражает любое отношение, в том числе и отношение понятий по объему. В свою очередь, а и b это все, что угодно, — не только материальные вещи, но и понятия. Поэтому, обозначая S и Р как а и Ь, получим, что схема «S есть Р» является частным случаем схемы aRb.

Это означает, что нельзя противопоставлять схему «S есть Р» схеме aRb, как схемы одинакового уровня абстракции. Схеме «S есть Р» можно противопоставлять лишь другой частный случай aRb, например, «а больше Ь». Связка «есть» аналогична не общему выражению отношения (R), а другим частным случаям отношений. Смешение различных уровней абстракции особенно явно проявляется при рассмотрении конкретного примера. Е. К. Войшвилло сравнивает два умозаключения: 1) «Все металлы хорошие проводники электричества; медь есть металл; медь — хороший проводник электричества» и 2) «Величина а больше b; величина b больше с; величина а больше с».

Обобщая первое умозаключение, он получает его формулу в следующем виде: «Если все М суть Р и S есть М, то S есть Р». Эта формула представляет собой тождественно истинное выражение, истинность которого не зависит от конкретного значения S, М и Р.

Заметим, что в этом примере при переходе к абстрактному выражению вместо меди, металлов и хороших проводников появляются S, М и Р, а связка «есть» остается в прежнем виде. Совсем иначе построен второй пример. Здесь нет конкретных предметов, а сразу даны абстрактные выражения а, b и с. При переходе к абстрактному выражению исчезает га самая связка «больше», логическое значение которой должно быть исследовано. Естественно, что получаемая таким образом формула: «Если xRy и yRz, то xRz». отнюдь не является тождественно истинной.

Если сравнение проводить на одном уровне абстракции, то вместо абстрактного второго примера нужно было бы взять конкретный пример («Кинешма больше Шуи, Шуя больше Тейкова, Кинешма больше Тейкова»). Представляя связь суждений этого умозаключения в абстрактном виде, получим формулу: «Если а больше b, а b больше с, то а больше с». Эта формула является тождественно истинным выражением, поскольку его истинность не зависит от конкретного значения а, b и с.

Правда, Е. К. Войшвилло говорит, что при отвлечении от конкретных свойств предметов мы должны отвлекаться и от конкретности отношения, поскольку отношения тесно связаны с объектами (предполагают определенную область объектов). Но такую область («поле отношений») предполагают любые отношения, не только такие, как «больше» или «южнее», но и те, которые выражаются связкой «есть». Еще Гегель говорил о том, что бессмысленно спрашивать о том, кислый или не кислый дух. Значит между кислотой и духом не может существовать отношение «есть» или «не есть», так же как и отношение «больше» или «южнее». Но это обстоятельство не является препятствием для написания общих формул типа: «а есть b», так же как и «а больше b» или «а южнее b», где под а и b понимается все, могущее быть в отношении «есть» или соответственно в отношений «больше» или «южнее».

Е. К. Войшвилло делает примечание, где говорит о том, что связку «суть» нельзя относить к конкретному содержанию, так как отвлечение от нее означало бы отвлечение от самого суждения. Но это справедливо и для других связок, например, для «больше». Отвлекаясь от «больше», мы переходим к общей схеме суждений aRb.

Но к общей схеме мы переходим и отвлекаясь от «суть» в выражении S — Р, которое употребляется в тех случаях, когда характер связки безразличен. Вместо S — Р можно было бы использовать более общее выражение aRb.

Доказывая принципиальное различие «логических» отношений и «реальных», или «отношений типа R», как он их называет, Е. К. Войшвилло пишет о том, что если между реальными отношениями возможны логические, например, «если а больше b, то b меньше а», то обратное, по-видимому, невозможно. Одна дизъюнкция, например, не может быть меньше или больше другой, не может быть причиной другой и т. д.^[5]. Однако пример Войшвилло доказывает только то, что не всякие реальные отношения могут быть установлены между данными логическими. Но точно так же нельзя устанавливать любые логические отношения между данными реальными. Например, отношения «а больше b» и «а умнее b» не могут быть связаны отношением формальной импликации, так как одно не является логическим основанием для другого. Но здесь могут быть другие логические отношения — дизъюнкция, конъюнкция и т. д. Аналогично логические отношения могут не связываться одними реальными отношениями и связываться другими. Например, одно логическое отношение может быть сложнее другого, быть формой выражения другого и т. д.

Аргументацию Е. К. Войшвилло можно было бы усилить следующим образом. Существует множество различных конкретных отношений: «больше», «левее», «южнее», «брат» и т. д. Логическая неравноценность всех этих отношений и отношений, обычно называемых логическими, состоит в следующем. В то время как выражения реальных отношений можно свести к выражениям через «суть» и другие логические связки, где конкретное значение отношения будет входить в состав предиката, обратное, вообще говоря, неверно. Суждение «Москва южнее Ленинграда» эквивалентно суждению «Москва есть то, что южнее Ленинграда», но «Москва есть город» не эквивалентно суждению с реальным отношением, например, «южнее».

Однако если это и верно применительно к большинству реальных отношений, то во всяком случае не ко всем. В приведенном примере отношение «есть» можно заменить отношением «включается в число». «Москва — город» эквивалентно «Москва включается в число городов».

Представлением логических отношений через реальные широко пользуются в логике именно для того, чтобы показать убедительность вывода, следующего из данных посылок. Таков смысл употребления кругов Эйлера или схем Венна. Если один круг М входит в другой — Р, а круг S входит в М, то круг S входит в Р. При этом мы не ссылаемся на силлогизм в поисках убедительности. Наоборот, именно эта схема служит для того, чтобы, глядя на нее, мы убеждались в истинности аксиомы силлогизма.

Логические отношения выражаются с помощью реальных отношений в релейно-контактных схемах. Решение логических задач с помощью электронных цифровых машин также возможно лишь потому, что логические отношения удалось выразить через реальные.

Если к некоторым реальным отношениям можно сводить логические, то тем более можно сводить одни реальные отношения к другим. Например, отношения «южнее», «выше», «старше» и «сильнее» легко сводятся к отношению «больше-меньше». «Москва южнее Ленинграда» = «Москва расположена от южного полюса на меньшем расстоянии, чем Ленинград». «Петя старше Коли» = «Петя жил на свете больше, чем Коля» и т. д.

Таким образом, отличие логических отношений от так называемых реальных — это различие не по уровню, а лишь по степени общности. Принципиального различия между реальными и формально-логическими отношениями не существует. Формальное это особый частный случай реального. То, что выступает как реальное в одном плане, может рассматриваться как логическое в другом.

Разумеется, в рамках данной теории логические связи должны быть четко отделены от фактических. Но это не значит, что во всех теориях эти границы должны совпадать. Поэтому ссылка автора на высказывание Д. А. Бочвара о принципиальном различении двух элементов рассматриваемого формализма неосновательна, поскольку речь идет именно о данном, рассматриваемом формализме.

В качестве логических могут выступать любые отношения, поле которых шире области объектов, рассматриваемых в данной теории. Естественно поэтому, что в разных теориях разные отношения могут фигурировать как логические.

Сказанное не означает, что построение теории умозаключений как выводов из релятивных суждений не встречает трудностей. Логика не может строить теории каждого отношения в отдельности. Вывод «aR_kb, bR_kC, следовательно, aR_kC» основан на положении о транзитивности отношения R_k. Откуда же мы знаем, что отношение R_k транзитивно? Если это знание мы берем из конкретных наук, то получается, что логика растворяется в конкретных науках, ее предмет утрачивает свою самостоятельность. Если же положение о транзитивности любого отношения R_k это так же положение логики, как и утверждение о транзитивности родо-видовых отношений, то, поскольку число возможных отношений неограниченно велико, предмет логики чрезмерно расширяется, поглощая собой значительную часть других наук. Невозможно было бы написать сколь-нибудь полный обзор логики, так как всегда оставались бы нерассмотренные отношения. Эта трудность, указанная и в статье Е. К. Войшвилло, действительно существует.

Однако она не является непреодолимой. Прежде всего возникает сомнение в том, что положение о транзитивности конкретных отношений это обязательно положение конкретной науки, изучающей эти отношения^ Возьмем, например, отношение «южнее». С этим отношением постоянно имеют дело географы. Но является ли положение «если а южнее b и b южнее с, то а южнее с» положением географии? Ни в одном географическом трактате мы не найдем формулировки этого положения. С другой стороны, ни одно географическое открытие не сможет опровергнуть этого положения, если, конечно, мы, соблюдая закон тождества, не будем подменять понятие «южнее» каким-либо другим понятием.

Или возьмем отношение «бегать быстрее». Если спортсмен а бегает быстрее, чем спортсмен b, а спортсмен b бегает быстрее, чем с, то каждый сделает вывод о том, что а бегает быстрее с. Теоретик физкультуры был бы весьма удивлен, если бы к нему, как специалисту по быстрому бегу, обратились с вопросом о том, транзитивно ли отношение «бегать быстрее».

Единственная наука, где говорится о транзитивности некоторых отношений, — это математика. Например, Гильберт формулирует аксиому, из которой вытекает транзитивность отношения конгруентности (равенства) отрезков: «…если два отрезка конгруентны третьему, то они конгруентны также друг другу». Эта аксиома является частным случаем положения: «Если две величины порознь равны третьей, то они равны между собой». Энгельс пишет, что «как уже доказал Гегель, это положение представляет собой заключение, за правильность которого ручается логика…»^[6].

В качестве логического отношения здесь выступает отношение тождественности объектов, частным случаем которого является равенство величин. Логический характер отношения тождества не вызывает никакого сомнения, хотя теория этого отношения начинает разрабатываться лишь в последнее время. Это отношение является симметричным и транзитивным.

Транзитивность отношения тождества может выступать в качестве логического основания транзитивности целого класса отношений, и тем самым она является основанием для выводов из соответствующих суждений отношения. Например, пусть Иван брат Петра, Петр брат Сидора. Отсюда следует, что Иван — брат Сидора. Почему? Потому, что отношение «быть братом» означает «иметь тех же самых родителей». Отсюда на основании того, что, с одной стороны, у Петра и Ивана, а с другой, у Петра и Сидора — те же самые родители, делаем вывод о том, что те же самые родители у Ивана и Сидора, т. е. что Иван — брат Сидора.

Аналогичным образом обстоит дело и с другим классом отношений, к которому принадлежат приведенные выше отношения «южнее» и «бегать быстрее». Их можно свести к отношению «больше-меньше». Как уже отмечалось, «быть южнее» — значит «быть на меньшем расстоянии от южного полюса». Аналогично «бегать быстрее» означает, что расстояние, пробегаемое за единицу времени, больше.

Транзитивность же отношения «больше» известна. Причем, известна не из какой-либо конкретной науки и не из математики. Математика оперирует понятием «больше-меньше» применительно к величинам. Величина — то, что допускает измерение, — может быть математически (с помощью числа или иным способом) определена. Отношение же «больше-меньше» может быть не только между величинами. Например, мы говорим о большем уме, большей любви и т. д., хотя не имеем здесь дела с величинами. Поле этого отношения выходит за рамки математики. В силу своего универсального характера оно может рассматриваться как логическое.

Сведение одних отношений к другим в рассмотренных выше случаях соответствует сведению отношений в разных фигурах силлогизма к отношению подчинения понятий, к которому относится аксиома силлогизма.

Важно отметить, что для установления того, что то или иное отношение является отношением типа «большеменьше» и поэтому транзитивным, нет необходимости сводить его непосредственно к отношению «больше-меньше».

Существует формальный признак, по которому можно определить, что отношение относится именно к этому типу. Нужно выяснить, имеет ли место в данном случае сравнение интенсивностей отношения. Это можно сделать с помощью наречия «еще»: «южнее — еще южнее», «быстрее бегать — еще быстрее бегать». Наречие «еще» служит для выражения этого логического отношения. Использование «еще» в данном случае аналогично использованию местоимения «каждый» для определения того, употребляется ли данное понятие в разделительном смысле.

Применяя введенную выше терминологию, можно сказать, что рассмотренные отношения являются линейными.

Не все отношения можно свести к указанным двум типам. Вне их находятся прежде всего отношения, выражающие действия: «Петр читает книгу», «А любит Б» и т. д. Однако есть основания полагать, что число таких типов отношений конечно. Все они могут быть подвергнуты логическому анализу. Могут быть установлены правила соответствующих умозаключений — детально выяснены формальные признаки транзитивности отношений. Нет оснований считать неразрешимой проблемой и выяснение правил умозаключения, в посылках которого речь идет о разных отношениях. Существуют различные пути решения этих проблем.

Таким образом, несмотря на то, что существует бесконечно большое число различных конкретных отношений, логика может изучать их, сохраняя свой предмет, не растворяясь в конкретных науках и не поглощая их.

1. Войшвилло Е. К. Критика логики отношений как релятивистского направления в логике. «Философские записки», т. VI. М., 1953, стр. 114. ↑
2. Russel B. The Logic of Relations. «Logic and Knowledge». London, 1956. ↑
3. Новиков П. С. Элементы математической логики. М., 1959, стр. 128—129. ↑
4. Войшвилло Е. К. Об одной логической концепции. ВФ, 1957, № 6. ↑
5. Там же, стр. 113. ↑
6. Энгельс Ф. Анти-Дюринг. М., 1951, стр. 38. ↑