2. Классификация отношений
Способы обозначения отношений
Для достижения большей ясности при исследовании проблемы классификации и других проблем, касающихся отношений, необходимо остановиться на способах их выражения.
Не рассматривая этого вопроса во всей его полноте, разберем несколько наиболее важных для нас случаев. Прежде всего необходимо отметить, что в математике существуют специальные символы для обозначения важнейших отношений. Например, символ «≡» обозначает тождество, символ «=» — равенство, «≠» — неравенство, «<» — меньше, «>» — больше и т. д.
Не всегда отношения выражаются знаками. Но всегда мысль об отношении, как и вообще всякая мысль, может быть выражена языковыми средствами. Например, те же отношения, которые только что были выражены на языке символов, допускают и выражения словами — «тождество», «равенство» и т. д. Разумеется, как в случае специальных знаков, так и в случае слов нужно следить за тем, чтобы имело место взаимнооднозначное соответствие между обозначаемым и обозначающим.
Необходимо следить также, чтобы анализируемое выражение относилось именно к отношению, а не к тем конкретным объектам, между которыми это отношение существует. В тех случаях, когда последние невозможно исключить, их нужно выражать настолько в общем виде, чтобы он относился к объектам обеих сравниваемых систем. Тогда одинаковость отношения будет выступать наиболее ярко. Например, вместо «Карпаты западнее Киева» и «Горький западнее Казани» можно говорить «пункт А западнее пункта В». Конечно, в таких простых случаях это не так важно, но в более, сложных случаях такое выражение значительно упрощает определение одинаковости отношений.
Выше уже говорилось о том, что существует множество способов качественного выражения интенсивностей свойств при помощи обыкновенного разговорного языка. Аналогичным образом можно выражать и отношения. Например, «А рядом с В», «А почти рядом с В», «А очень близко к В», «А близко к В» и т. д. Язык имеет в своем распоряжении массу слов (по преимуществу наречий), которые дают качественную характеристику отношений.
Качественно могут быть охарактеризованы отношения между интенсивностями линейных свойств, определенных как качественно, так и количественно. Примером первого может служить выражение «ураган значительно сильнее шторма». Здесь качественно определено как отношение — «значительно сильнее», так и интенсивности соотнесенных друг с другом сил ветра — «шторм» и «ураган». Второй случай получается из первого при замене качественных характеристик силы ветра количественными: «Ветер со скоростью свыше 29 м/сек значительно сильнее ветра, дующего со скоростью 18,3—21,5 м/сек».
Однако отношения количеств в естественных науках обычно стремятся выражать при помощи количеств. В этом случае функции слов разговорного языка, таких, как наречия «немного», «больше», «незначительно больше», выполняют числа, с той только разницей, что эти функции выполняются ими с большей точностью. Так, вместо выражения «ветер свыше 29 м/сек значительно сильнее ветра в 18,3—21,5 м/сек» получим выражение «ветер свыше 29 м/сек более чем на 7,5 м/сек сильнее ветра в 18,3—21,5 м/сек». Число 7,5 заменило слово «значительно». Заметим, что число в этом выражении не полностью вытеснило качественное определение отношения. Последнее осталось в слове «сильнее». Можно видоизменить выражение и так: «Разность между ветром в 29 м/сек и ветром в 18,3—21,5 м/сек будет составлять свыше 7,5 м/сек». В этом выражении качественное определение оттеснено еще дальше, но оно все же осталось в слове «разность», поскольку полное его исключение невозможно.
Однако число выступает как существенная характеристика отношения. Поэтому об одинаковости отношений в разных системах можно судить по одинаковости как их качественного, так и числового выражения. Одних чисел все же, как было показано, недостаточно. Кроме количественной, всегда имеется и качественная характеристика отношения, выраженная в словах «больше», «меньше», «разность» и т. д. Комбинация количественных и качественных символов для выражения отношения представляет собой формулу. Формула полностью выражает, таким образом, отношение. Одинаковость формул свидетельствует об одинаковости соответствующих отношений.
Но каждое отдельное действие, входящее в эту формулу, например, сложение, вычитание, деление, умножение, извлечение корня и т. д., непосредственно еще не выражает отношения. Зная только то, что две величины складываются, умножаются, делятся друг на друга и т. д., мы еще ничего не знаем об их взаимоотношении. Каждое отдельное действие указывает лишь на то, какие изменения происходят с исходными количествами. Но как только будет известен результат и этих изменений, например, то, что а + b = с, так действие будет выражать отношение, несмотря на то, что отдельно взятое выражение a + b отношения не выражает.
Приведенный пример можно рассматривать как отношение между тремя объектами: а, b и с. Отношения между тремя объектами и больше, т. е. трехместные и, вообще говоря, многоместные отношения, встречаются очень часто. Однако в современной логике подробно разработана лишь теория двухместных (бинарных) отношений. Когда говорится о многоместных отношениях, то чаще всего имеются в виду отношения особого, функционального типа, изучение которых имеет большое значение в математике. Общий же случай многоместных отношений остается’ малоизученным.
На наш взгляд, одной из причин этого является обычная для исчисления предикатов слитная, нерасчлененная форма выражения отношений. Логика отношений позволяет глубже проникнуть в сущность суждения в значительной мере потому, что она расчленяет предикат, представляя суждение в форме aRb, где R — отношение, а а, b — предметы, между которыми оно существует. Исчисление предикатов развертывает высказывание А, которое рассматривается как целостное, неделимое образование в исчислении высказываний, в сложный комплекс Р (a1, а2, …, аn), где Р — предикат, являющийся при n ≥ 2 отношением, a a1, а2, …, аn — члены отношения, т. е. вещи, между которыми оно имеет место.
В общих случаях отношение (как R, так и Р) рассматривается слитно, нерасчлененно. В выражении aRb вообще не предусматривается возможность отношений между многими объектами, а в выражении Р (a1, a2, …, an)» хотя и предполагается, что объектов может быть много, но не установлено никакой связи между отношением, существующим между всеми вещами, и отношениями отдельных пар вещей.
Для того чтобы установить эту связь и расчленить с ее помощью отношение между многими вещами, будем выражать его с помощью матрицы отношений:

Здесь R — отношение, существущее между всеми вещами a1, a2, …, аn, а ρlk — отношения отдельных вещей (элементов матрицы).
Так как числа являются частным случаем отношений, то понятие матрицы отношений можно рассматривать как обобщение понятия обычной, числовой матрицы.
Но матрицу отношений не следует смешивать с другими, похожими на нее с внешней стороны схемами. Например, следует отличать ее от таблицы умножения (таблица Кэли)[1]. Элементами таблицы Кэли являются не отношения, а результаты действий, произведенных над элементами множеств. С помощью таблиц, подобных таблице Кэли, определяется не само отношение, а его объем. Выше уже говорилось о неправомерности отождествления этих понятий.
Традиционная классификация отношений и пути ее обобщения
Со времени выхода в свет фундаментального труда Рассела и Уайтхеда «Principia mathematica» стало традиционным деление отношений по признакам рефлексивности, симметричности и транзитивности. Если отношение таково, что любой предмет находится в этом отношении к самому себе, то такое отношение называется рефлексивным. В случае невыполнения условия рефлексивности, хотя бы для одного предмета, отношение нерефлексивно. Если же ни один предмет не может находиться в данном отношении к самому себе, то это отношение антирефлексивно.
Отношение будет симметричным, если оно существует как между а и b, так и между b и а. При несоблюдении этого условия отношение несимметрично. Если отношение между а и b не может существовать между b и a оно антисимметрично.
Отношение такого типа, что из существования его между парами а, b, с одной стороны, и b, с, с другой, следует существование его между а и с, называется транзитивным. Невыполнение этого условия дает нетранзитивное, невозможность выполнения — антитранзитивное отношение. Нетрудно заметить, что, например, отношение равенства будет одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным. Отношение «больше» антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Отношение «любит» нерефлексивно, несимметрично и нетранзитивно.
Для деления отношений используются также признаки функциональности, связности и однородности[2].
Из них мы рассмотрим признак функциональности. Функциональными будут называться такие отношения, которые дают возможность однозначно определить один из членов отношения через другой. Например, отношения «отец» и «мать» будут функциональными. Если известно, что х мать b, то, поскольку у каждого человека только одна мать, можно с помощью этого отношения однозначно определить х. Если отношение функционально в обе стороны, оно будет называться взаимно функциональным, например: «а в два раза больше b».
Если обозначить символом R отношение, полученное в результате изменения порядка предметов, между которыми установлено отношение, то свойство симметричности можно выразить с помощью формулы R → Ř, где «→» символ импликации.
Если отношение R существует между предметами а и b, а отношение S — между b и с, иными словами, если последний элемент первого отношения совпадает с первым элементом второго отношения, то можно определить относительное произведение, или композицию, отношений R и S как отношение Т, существующее между а и с. Это соотношение запишем в виде равенства R ∙ S = T. С помощью понятия относительного произведения Свойство транзитивности можно выразить как R ∙ R → R
В современной математике большую роль играют понятия полугруппы и группы. «Полугруппой называется непустое множество U, в котором для любой пары взятых в определенном порядке элементов х, у ∊ U определен новый элемент, называемый их произведением u = ху ∊ U, причем для любых х, у, z ∊ U всегда выполнено (х y) z = x (y z)»[3]. Здесь ∊ — символ, обозначающий включение в множество. Равенство (х y) z = x (y z) является хорошо знакомым из элементарной алгебры свойством ассоциативности умножения.
Группа отличается от полугруппы выполнимостью в ней обратной операции. Например, для умножения чисел такой обратной операцией является деление. В общем случае можно сказать, что обратная операция существует, если каждое из уравнений Ах = В и уА = В, где А и В — произвольные элементы множества, имеет единственное решение[4].
С помощью понятия обратной операции можно доказать существование в группе единичного элемента, единицы, которая обладает тем свойством, что для всякого А из множества U верно A ∙ 1 = 1 ∙ A = A.
Применение обратной операции к единице и данному элементу А дает обратный элемент А—1. Произведение прямого и обратного элементов равно единице: А ∙ А—1 = 1.
Рассмотрим совокупность всех бинарных отношений на каком-либо множестве U. Будет ли любая пара этих отношений R, S однозначно определять свое произведение? Вообще говоря, может случиться так, что отношения будут существовать между совершенно различными элементами множества U. Но тогда можно считать, что их произведением является пустое отношение, т. е. отношение, не имеющее места в рассматриваемом множестве. Введя понятие пустого отношения, мы можем рассматривать множество всех отношений в данном множестве U как полугруппу, поскольку нетрудно доказать, что определенное нами произведение отношений обладает свойством ассоциативности[5].
Можно сделать попытку ввести понятие единичного отношения и обратной операции. В таком случае множество отношений составило бы группу. В качестве такого единичного отношения, по-видимому, можно рассматривать отношение тождества Re. В самом деле, пусть это отношение существует между а и b. Между b и с пусть будет отношение S. Тогда можно сказать, что отношение S будет иметь место между а и с, поскольку а тождественно b. Иными словами, Re ∙ S = S. То же самое будет иметь место, если Rе окажется справа от S: S ∙ Re = S. Это означает, что Re удовлетворяет определению единицы.
Соответственно этому, по крайней мере для взаимно функциональных отношений, можно ввести понятие обратного отношения. Например, пусть S — отношение «быть больше в два раза». Тогда обратным отношением будет «быть меньше в два раза». Если а больше в два раза, чем b, а b меньше в два раза, чем с, то это значит, что а такое же, как с.
Для отношения «муж» обратным будет отношение «жена». Очевидно, что быть мужем своей жены означает быть самим собой, т. е. и здесь налицо единичное отношение.
Для каждых двух отношений А и В рассматриваемых типов можно отыскать такие х и у, что уравнения Ах = В и уА = В будут удовлетворяться, причем единственным образом. Например, пусть А — «больше в 10 раз», В — «больше в 5 раз». Тогда х = у будет «меньше в два раза».
Таким образом, мы видим, что определенные типы отношений на некоторых множествах составляют группы. Этот факт можно использовать для дополнения традиционной классификации отношений.
Прежде всего необходимо отметить, что выведенное выше обратное отношение не совпадает по своему содержанию с обратным отношением традиционной классификации Ř. Ř получается в результате простого изменения направления отношения. R—1 может быть введено не во всех случаях. Например, если R — «южнее», то Ř — «севернее», но «севернее» нельзя считать в качестве R—1 до тех пор, пока точно не определено, насколько именно южнее и насколько севернее.
Поэтому соотношение R → R—1 представляет собой более специальный тип симметрии, чем тот, который выражен соотношением R → Ř. Формула R → R—1 определяет единичное отношение, которое, таким образом, выделяется как особый тип отношений. В связи с групповой операцией — умножением отношений можно составить целый ряд формул, каждая из которых будет определять то или иное свойство отношения. Вот некоторые из них:

Большинство этих формул кажутся парадоксальными. Некоторые из них определяют пустые или единичные отношения. Их следует отбросить, поскольку они малоинтересны. Но часть формул выражает свойства различного типа отношений. Например, импликации R ∙ R → R—1 удовлетворяет отношение «быть на 120° восточнее», имеющее место на поверхности земного шара: а на 120° восточнее b; b на 120° восточнее с; следовательно, а на 120° западнее с.
Формула R ∙ R → описывает такие свойства, которые имеют, например, отношения знаменитого любовного треугольника: а любит b; b любит с; отсюда следует, что а не любит с. Также R ∙ R = 1 значит, например: а противоположно b; b противоположно с; следовательно, а и с тождественны.
Частичные и полные отношения
Разобранная выше классификация отношений рассматривает отношения сами по себе, как самостоятельные предметы, независимо от тех вещей, между которыми они существуют. Такой способ рассмотрения имеет свои преимущества.
Однако в ряде случаев в качестве основания деления необходимо брать разные формы связи отношений с вещами и их свойствами. Ниже будет рассмотрено деление отношений именно по такому основанию.
Подобно тому как указание предмета, которому присуще то или иное свойство, не определяет однозначно, какое это будет свойство, указание вещей, между которыми существует отношение, в общем случае не определяет однозначно это отношение. Одна и та же вещь, например, луна, может быть и круглой, и светить отраженным светом, и твердой, и т. д. Число 5 является и простым, и нечетным, и т. д. Точно так же между двумя вещами могут существовать одновременно самые различные отношения. Луна и меньше Земли, и легче Земли, и не имеет атмосферы в отличие от Земли, и имеет такой же возраст (или не такой же), как Земля, и т. д. Ваня и брат Коли, и старше Коли, и умнее Коли, и катается на коньках хуже, чем Коля. Между числами 24 и 8 существует отношение, выражаемое числом 16 (поскольку 24—8 = 16), и в то же время отношение, выражаемое числом 3 (поскольку 24 : 8 = 3).
У вещи много свойств, каждое из которых раскрывает ее неполностью, лишь с какой-то одной стороны. Если же мы будем понимать свойство как всестороннюю характеристику вещи, позволяющую выделить ее из всех остальных вещей, иными словами, если мы отождествим свойство с самой вещью и назовем это качеством, то каждая вещь будет обладать лишь одним качеством. Это качество, будучи специфичным именно для данной вещи, не может быть присуще никакой иной вещи.
Аналогично обстоит дело и в случае отношений. Между двумя вещами существует множество отношений, потому что в каждом из них соотносящиеся вещи участвуют не целиком, а только отдельными своими частями, отдельными свойствами. Например, когда мы говорим, что Луна меньше Земли, то оставляем совершенно в стороне такие свойства Земли и Луны, как их химический состав, наличие жизни на Земле, лунные кратеры и т. д. Фактически в этом отношении участвуют лишь объемные характеристики Земли и Луны. То, что Ваня старше Коли, относится лишь к их возрастным характеристикам. Когда мы говорим, что отношение между 24 и 8 равно 16, то имеем в виду арифметическое отношение чисел, установленное по их аддитивным свойствам. 24 : 8 = 3 означает, что трем равно геометрическое отношение, установленное по мультипликативным свойствам чисел 24 и 8.
Таким образом, задавая то или иное отношение, необходимо указывать не только те вещи, между которыми оно существует, но и те свойства этих вещей, по которым оно установлено. Если отношение обозначить буквой R, вещи, между которыми оно существует, — А1, . . . , Аn, а свойства, по которым оно установлено, — α1, . . . , αn, то, применяя форму записи отношений в одну строчку, получим следующее выражение для отношений:

У каждой из вещей A1, . . . , Аn могут быть самые различные свойства, по которым устанавливаются отношения. Это имеет своим следствием то, что между одними и теми же вещами существуют самые различные отношения.
Поскольку каждое из свойств α1, . . . , αn присуще не одной вещи, а множеству вещей, они могут встретиться не только у одной совокупности вещей, но и у какой-то иной совокупности B1, . . . , Вn. Так как остальные свойства совокупности A1, . . . , Аn несущественны для данного отношения, то же самое отношение R может существовать и между вещами В1, . . . , Вn, т. е. будет иметь место . Например, отношение «больше» существует как между Землей и Луной, так и между футбольным мячом и биллиардным шаром.
Возникает вопрос о том, не являются ли тождественными выражения и R (α1, . . . , αn), т. е., иными словами, не является ли отношение вещей по свойствам тем же самым, что и отношение этих свойств? Отношение
является тем, что объединяет в одну систему, в одну вещь множество вещей A1, . . . , Аn, a R (α1, . . . , αn) объединяет в одну вещь множество свойств α1, . . . , αn. Эти вещи различны. Только в том случае, если бы элементы этих вещей были одинаковыми, отношения, их связывающие, должны были бы быть обязательно различными, так как иначе одни и те же отношения одних и тех же элементов образовали бы одну и ту же вещь. Но элементы, между которыми устанавливаются отношения, в обоих случаях разные. Поэтому различие вещей, образуемых этими отношениями, не является достаточным основанием для того, чтобы говорить о различии этих отношений.
Таким образом, отношения R в выражениях и R (α1, . . . , αn) в принципе могут быть одинаковыми. Однако сами эти выражения, во всяком случае, не тождественны, так как обозначают не только отношения R, но и то, между чем они существуют. Эти выражения могут быть лишь эквивалентными друг к другу.
Среди свойств α1, . . . , αn, по которым устанавливается отношение, могут быть такие, которые участвуют в отношении непосредственно, и такие, которые участвуют в нем опосредованно. Например, в отношении «выше» между Петей и Колей непосредственно участвуют пространственные свойства обоих мальчиков, но косвенно— их временные свойства, деятельность щитовидных желез и т. д.
В тех случаях, когда различие между свойствами, непосредственно и опосредованно участвующими в отношении, несущественно, они не будут дифференцироваться. В противном случае свойства, по которым устанавливается отношение, будут разбиваться на две группы и полная запись отношения примет следующий вид:
.
Если увеличивать количество свойств вещей, участвующих в данном отношении R, то круг вещей, между которыми возможно данное отношение, будет сужаться, так как меньший круг вещей будет обладать всеми теми свойствами, по которым установлено отношение. В пределе, когда свойства, по которым установлено данное отношение, будут охватывать полностью все системы свойств, образующих соотносящиеся вещи, это отношение станет специфическим именно для данных вещей. Оно будет возможно между какими-либо другими лишь в том случае, если они содержат данные вещи в качестве своих частей и именно по этим частям в них устанавливается соотношение.
Отношения такого типа мы будем называть полными отношениями, в отличие от отношений, установленных лишь по части свойств соотносящихся вещей, которые мы назовем частичными.
Если частичные отношения аналогичны качествам, которые могут быть присущи многим вещам, то полные отношения аналогичны качествам, определяющим специфику вещи. Поэтому полные отношения мы называем не при помощи специальных слов, таких, как «равенство», «брат», «быстрее», «больше», «полнее» и т. д., а через соотносящиеся вещи, например: «отношение Волги к Каспийскому морю», «отношение Луны к Земле».
Точечные, линейные и многомерные отношения
Будем рассматривать отношение как свойство. В качестве свойства оно может иметь определенную интенсивность. Но не каждое отношение, так же как и не каждое свойство, имеет интенсивность. Есть отношения, не имеющие интенсивности, например, отношение отца и сына. Такое отношение может либо существовать, либо отсутствовать, но не может меняться количественно. Естественно такие отношения отнести к точечным.
Поскольку интенсивность отношения фактически является интенсивностью свойства, выражающего отношение, то можно применить для классификации отношений приведенную выше классификацию свойств, т. е. разделить отношения по типам свойств, их выражающих, на точечные, линейные и многомерные.
Чем. же определяется интенсивность отношения? Частичное отношение между объектами существует не по всем свойствам этих объектов, а лишь по некоторым из этих свойств, в частном случае — по одному. Совокупность свойств можно объединить в одно более сложное свойство. У различных соотносящихся вещей A1, . . . , Аn это будут свойства α1, . . . , αn.
Интенсивность отношения R определяется интенсивностью свойств α1, . . . , αn. В самом деле; если допустить противное, то окажется, что R может изменяться независимо от изменения α1, . . . , αn. Но изменение отношения всегда обусловлено какими-то реальными процессами, происходящими с реальными предметами и их свойствами. Отношение не может изменяться само по себе, вне этих процессов. Такое изменение противоречило бы принципу причинности. Следовательно, изменение отношения связано с изменением каких-то свойств β1, . . . , βn, отличных от α1, . . . , αn, и поэтому то или иное состояние отношения R характеризуется состоянием этих свойств.
Однако это противоречит нашему исходному положению о том, что R является отношением именно по α1, . . . , αn, а не по β1, . . . , βn. Таким образом, интенсивность R определяется интенсивностью α1, . . . , αn.
Точечные отношения обычно выражают отношения точечных свойств. В таких случаях любое изменение интенсивности этих свойств ведет к их уничтожению, а следовательно, и к уничтожению самого отношения. В тех же случаях, когда эти свойства не обладают интенсивностью, отношение между ними также не будет иметь интенсивности. Однако точечные отношения могут иметь место между предметами не только по точечным свойствам. Они могут быть также и по линейным и вообще по n-мерным свойствам. Например, точечное отношение равенства существует и тогда, когда те свойства, по которым оно устанавливается, являются линейными или многомерными.
Внутренние и внешние отношения
В системе свойств вещи есть такие свойства, которые являются существенными для этой системы, без которых вещь существовать не может. Они были названы выше, в отличие от остальных свойств, качествами. Отношения между вещами могут быть установлены как по качествам, так и по несущественным для них свойствам. Первые из них назовем внутренними, вторые — внешними.
Характерной особенностью внутренних отношений является то, что их интенсивность не может меняться без изменения соотносящихся объектов, поскольку изменение качеств объектов, по которым устанавливается внутреннее отношение, означает изменение самих объектов. Примером такого отношения может служить отношение пройденного пути к отрезку времени, за который проходится этот путь. Интенсивность данного отношения рассматривается в качестве свойства, называемого скоростью, а количественная характеристика скорости зависит от количественных характеристик свойств, находящихся в этом отношении, т. е. от величины пути и отрезка времени.
В частном случае соотносимые свойства предметов могут быть одинаковыми, например, отношение «длиннее» представляет собой отношение двух предметов по одному и тому же свойству — длине. Такие отношения существенны для самих соотносящихся объектов. Это находит выражение в их названиях, в которых отражается связь отношения с объектом. Высота выше другой высоты, сила сильнее другой силы и т. д.
В случае внешних отношений свойства α1, . . . , αn, по которым установлено отношение, не будут существенны для соотносящихся объектов A1, . . . , Аn. Эти свойства могут изменяться без изменения A1, . . . , Аn. Поэтому изменение отношения R также не будет определяться изменением соотносящихся объектов. Таким образом, в этом случае интенсивность отношения не зависит от интенсивности качеств тех объектов, которые находятся в этом отношении. Например, высказывание «большой кусок лежит левее маленького» будет выражать чисто внешнее отношение. Ясно, что интенсивность «быть левее» совершенно не зависит от интенсивности свойств «большой» и «маленький».
Определенноместные и неопределенноместные отношения
Обычно в символической логике принято считать, что отношения могут быть двухместными, трехместными и т. д. Двухместные (двухчленные, или бинарные) отношения существуют между двумя предметами, трехместные — между тремя и т. д.[6] На первый взгляд кажется очевидным, что такое деление отношений является соразмерным, т. е. что любое отношение принадлежит к одному из предполагающихся видов — существует между определенным числом вещей.
Однако эта очевидность лишь кажущаяся. Она возникла на основе экстенциального понимания отношения, т. е. отождествления отношения с его объемом, с теми вещами, между которыми оно существует. Если же рассматривать отношение как самостоятельную сущность, т. е. как вещь, возможность чего была уже обоснована в первой части нашей работы, вопрос выглядит совсем по-другому.
Когда мы идем от предметов к отношению, число мест отношения точно фиксировано уже самим определением этого отношения. Если же мы исходим из самостоятельно определенного отношения, то в таком случае число вещей, между которыми может существовать данное отношение, может оказаться неопределенным. Возьмем в качестве примера отношение, выраженное словом «братья». Одноместным этот предикат быть не может. Нельзя сказать, что Иван сам по себе братья. Но можно сказать, что Иван и Петр братья. Отношение останется тем же самым в и том случае, если братьев будет на двое, а трое: Иван, Петр и Сидор — братья. Точно так же данное отношение может быть четырехчленным, пятичленным и т. д.
Короче говоря, число вещей, между которыми существует данное отношение, т. е. «членность» («местность») этого отношения, является неопределенным.
Иной характер носит отношение, выражаемое словом «муж». Число членов такого отношения в нашем обществе точно определено и равно двум.
Поэтому все отношения можно разделить на две большие группы: определенноместные — с точно фиксированным числом предметов, между которыми они существуют, и неопределенноместные, для которых это число может быть различным. Определенноместные в свою очередь делятся на двухместные, трехместные и т. д., вплоть до бесконечноместных. Соответственно дальнейшее деление допускает и понятие неопределенноместных отношений. Основанием деления служит наличие границ членности.
Например, отношение «братья» имеет верхнюю границу: может быть десять, двадцать, сто братьев, но не миллион. Можно сказать, что все люди — братья, но это уже братья в переносном смысле.
Отношение же «единомышленник» не имеет верхней границы. Оно может охватить всю область предметов, в которой существует это отношение, т. е. все человечество.
Неопределенноместные отношения с верхней границей можно разбить на два подвида: 1) когда эта граница, несмотря на то что она существует, является неопределенной, как в случае «братья», и 2) с точно определенной верхней границей, например, отношение различия применительно к дням недели.
Аналогичные подразделения можно провести и с помощью нижней границы. В некоторых играх может принимать участие различное число игроков, но не меньше определенного числа (существует нижняя граница членности отношения между игроками). В свою очередь нижняя граница может быть точно фиксированной или неопределенной.
Комбинируя деление отношений по верхней границе с делением их по нижней, получим большое количество различных видов неопределенноместных отношений.
- Ляпин Е. С. Полугруппы. М., 1960, стр. 11. ↑
- Горский Д. П. Отношения, их логические свойства и их значение в логике. «Ученые записки МГУ», вып. 169. М., 1954. ↑
- Ляпин Е. С. Полугруппы, стр. 28. ↑
- Курош А. Г. Теория групп. М., 1953, стр. 17. ↑
- Ляпин Е. С. Полугруппы, стр. 53. ↑
- Клини С. К. Введение в метаматематику. М., 1957. ↑
Оглавление
- Предисловие
- Часть первая. Онтологические проблемы
- Глава I. Вещи
- 1. Вещь, предмет, объект, тело
- 2. Отдельность и индивидуальность
- 3. Традиционное понимание вещи. Вещь как тело
- 4. Противоречия традиционного понимания вещи
- 5. Традиционное понимание вещи и современная физика
- 6. Качественное понимание вещи
- 7. Преимущества качественного понимания вещи
- Глава II. Свойства
- 1. Свойство и качество
- 2. Объективность свойств
- Глава III. Отношения
- 1. Объективность отношения
- 2. Определение отношения
- Глава IV. Взаимоотношение вещей, свойств и отношений
- 1. Взаимопереход категорий вещи, свойства и отношения
- 2. Взаимосвязь вещей, свойств и отношений
- 3. Гипостазирование
- Часть вторая. Логические проблемы
- Глава I. Проблема вычленения
- 1. К свойствам
- 2. К отношениям
- 3. К вещам
- Глава II. Проблема классификации
- 1. Классификация свойств
- 2. Классификация отношений
- Глава III. Проблема суждений
- 1. Атрибутивные суждения
- 2. Релятивные суждения
- Глава IV. Проблема умозаключений
- 1. К вопросу о выводах из релятивных суждений
- 2. Достоверность умозаключения по аналогии и принцип двойственности
- Выводы
- Литература