2. Достоверность умозаключения по аналогии и принцип двойственности

Выводы из релятивных суждений, проблема которых была рассмотрена выше, относятся к умозаключениям дедуктивного типа. Соображения, связанные с понятиями вещей, свойств и отношений, можно применить также к анализу умозаключений по аналогии. Одна из основных проблем, стоящих перед логической теорией этих умозаключений, заключается в определении условий, при которых сосуществование свойств или отношений в одном объекте — модели — является достаточным основанием сосуществования их в другом объекте — образце. При выполнении этих условий вывод, сделанный с помощью умозаключения по аналогии, приобретает достоверный характер.

Ниже речь будет идти об умозаключениях по аналогии, посылками в которых являются релятивные суждения.

Проблема правомерности таких умозаключений будет рассмотрена на основе анализа некоторых свойств отношений.

Возьмем совокупность отношений R₁, R₂ в вещах Q₁, Q₂. Пусть этим отношениям присуще некоторое свойство α. Здесь возможны два случая. В одном из них α определяется исключительно самими отношениями R_1­, R₂ и не зависит от конкретных особенностей тех вещей Q₁, Q₂, метру которыми эти отношения установлены. Назовем такое α внутренним свойством отношений R₁, R₂.

В другом случае α будет зависеть не только от самих отношений R₁, R₂, но и от специфики вещей, в которых они существуют. Такие свойства назовем внешними по отношению к R₁, R₂.

Если будет показано, что свойство α является внутренним для R₁, R₂, то его можно приписывать этим отношениям во всех случаях, где они будут обнаружены.

С внешними свойствами так поступать нельзя. Их нельзя будет приписать отношениям R₁, R₂ в объектах S₁, S₂, отличных от Q₁, Q₂, так как отношения R₁, R₂, обладающие внешним свойством α в Q₁, Q₂, могут не обладать им в S₁, S₂.

Например, свойство транзитивности является внутренним свойством отношений типа равенства. Где бы мы ни встречали эти отношения, они всегда будут обладать свойством транзитивности, будь то равноценность товаров или параллельность линий, равенство углов или равномощность множеств. Другим примером внутренних свойств является свойство сосуществования отношений отцовства и старшинства. Если А отец В, то А старше В, независимо от любых конкретных особенностей А и В.

В то же время такое свойство, как свойство симметричности отношения «любит», будет внешним для этого отношения, так как оно зависит от конкретных особенностей объектов, находящихся в этом отношении. Сосуществование отношений отцовства и любви также будет внешним свойством данных отношений. У одних людей тот факт, что А отец В, будет означать также, что А любит В, а у других такая связь может отсутствовать.

Различение внутренних и внешних свойств отношений имеет большое значение при определении условий правомерности умозаключений по аналогии. Каким же образом можно определить, является ли то или иное свойство отношений внутренним для них? Рассмотрим этот вопрос сначала в теоретическом плане.

Отношения существуют только в вещах. Свойства вещей проявляются в отношениях между ними. Отношения зависят от соотносящихся вещей. Поэтому кажется, что все свойства отношений, строго говоря, будут внешними. Однако отношение обладает известной самостоятельностью. Его, как было показано выше, можно рассматривать как особую вещь. Поэтому существуют такие свойства, которые присущи именно ему, в отличие от всех остальных вещей. Их можно выделить различными способами. Прежде всего, когда отношение имеет достаточно общий характер, специфика вещей, в которых оно устанавливается, становится несущественной для самого отношения. Например, отношение равенства является чрезвычайно абстрактным. Это отношение может существовать между вещами любой или почти любой области окружающего нас мира. Поэтому мало оснований опасаться, что обнаруженное нами свойство этого отношения будет связано с конкретными особенностями объектов, между которыми оно в данном случае существует. Практически эта возможность не принимается во внимание. Найдя, что отношение равенства транзитивно в известных вещах, это свойство смело переносят на то же отношение и в любой неисследованной области явлений.

Таким образом, в тех случаях, когда отношение настолько абстрактно, что может иметь место во всех или почти во всех вещах, вопрос о внутреннем характере свойства может быть легко решен с достаточной для практических целей точностью. Иначе обстоит дело тогда, когда отношение, являясь частным, тем не менее слишком специфично, чтобы его можно было находить в любых предметах. Такие отношения присущи узкому кругу вещей. Здесь, в отличие от случая, рассмотренного выше, трудно четко отделить свойства самого отношения от свойств соотносящихся вещей и от свойств отношения в данных вещах. Поэтому необходимо применить специальные методы для определения внутренних свойств. Отметим некоторые из них.

Один из таких методов может заключаться в том, чтобы в понятие о свойстве отношения включить свойства соотносящихся вещей, т. е. рассматривать не свойство отношения самого по себе, а свойства отношения в данных вещах. В таком случае свойство α будет внутренним для понимаемого таким образом отношения.

Правда, и здесь можно ставить вопрос о зависимости свойства от неучтенных свойств соотносящихся объектов, но это будет зависимость уже второго порядка.

Этот метод применяется тогда, когда, например, в понятие отношения отцовства включается свойство соотносящихся вещей: предполагается, что находящиеся в этом отношении объекты должны быть обязательно людьми. С общей точки зрения это же отношение может быть и между животными. Но по отношению к широко понимаемому отношению такое, например, свойство, как связь с отношением моральных обязанностей, является внешним, а при его конкретизации со включением свойств соотносящихся объектов — внутренним.

Другая возможность определения внутреннего характера свойства связана с тем случаем, когда вещи Q₁, Q₂ определяются как таковые с помощью тех самых отношений R₁, R₂, свойства которых выясняются. Например, понятие натурального числа определяется с помощью отношения равномощности. Поэтому любое свойство отношения равномощности, например, его симметричность, будет внутренним для этого отношения. Оно не может зависеть от специфики соотносящихся вещей, в данном случае натуральных чисел, поскольку эта специфика определяется спецификой самого отношения. Такой способ применим довольно редко — чаще всего в математических дисциплинах.

Наибольшее применение может найти следующий метод. Пусть α свойство отношений R₁, R₂, существующих в Q₁, Q₂. Например, α — свойство сосуществования отношений обучения (R₁) и обладания большими знаниями (R₂).

Для выяснения внутреннего характера свойства α необходимо прежде всего установить, связаны ли отношения R₁, R₂ со свойствами одной и той же вещи. Отношение обучения Петром Павла может сосуществовать с тем, что Иван обладает большими знаниями, чем Сидор, но ясно, что это не свидетельствует о внутреннем для этих отношений характере свойства сосуществования. Однако и отнесение обоих отношений к одним и тем же Петру и Павлу еще не означает, что оба отношения определены между одними и теми же вещами. Петр может обучать Павла и вместе с тем обладать большими знаниями, но эти знания, возможно, относятся к области рыбной ловли, охоты и т. д. Если Петр обучает Павла как учитель математики, а знает больше его как рыболов, охотник и т. д., то это не будет означать, что оба отношения установлены между одними и тем же вещами. Эти вещи необходимо понимать не в пространственном, а в качественном смысле, т. е. понимать Петра и Павла не как пространственно выделенные предметы, с бесконечным количеством не относящихся к данному вопросу свойств, а Петра как учителя математики, причем фактического, а не только формального, и Павла как ученика Петра по математике.

Однако установление того, что оба отношения определены в одних и тех же вещах, еще не означает, что сосуществование будет внутренним свойством этих отношений. Возможно, что в других вещах эти отношения не будут сосуществовать друг с другом. Для доказательства внутреннего характера свойства α необходимо показать, что αсохраняется при любых заменах одних вещей другими. Заменив Q₁, Q₂ другими объектами Q₃, Q₄, в данном примере другим учителем математики и другим учеником, обнаружим, что сосуществование интересующих нас отношений сохранилось при такой замене. Но нельзя перебрать всех учителей математики. Это и не нужно. Дело в том, что когда мы анализируем конкретного учителя математики А и ученика В, то не рассматриваем А и В во всем многообразии их свойств. Важны не их особенности в тот или иной момент в прошлом или настоящем, а то общее, что присуще им всегда как учителю и ученику по математике. Таким образом, А и В оказываются не конкретными, а, в известной степени, абстрактными учителем математики и его учеником.

Установить полное отношение между совершенно конкретными вещами практически невозможно, так как мы никогда не можем знать всех свойств этих вещей. Установление же отношения между абстрактными вещами Q₁, Q₂ дает возможность распространить его на все вещи, содержащие в себе эти абстракции.

Таким образом, поскольку мы установили отношение между учителем математики вообще Q₁ его учеником Q₂, нет необходимости рассматривать всех конкретных учителей математики и учеников. Обучать можно не только математике. Это отношение может существовать также между учителем истории, географии и т. д. и их учениками. Здесь также можно перейти к более абстрактным вещам: «учитель» вообще и «ученик» вообще. Процедура такого перехода аналогична только что рассмотренной.

До каких же пор необходимо продолжать этот процесс? До тех пор, пока не перейдем к таким вещам, вне которых отношения R₁, R₂, свойство которых определяется, немыслимы. В нашем примере такими вещами будут «передающий знания» и «воспринимающий знания». Воспринимать можно только такие знания, которых нет. Передавать можно только тогда, когда есть, что передавать. Отсюда видно, что в этих вещах отношения R₁ и R₂ сосуществуют, обладают свойством α. Поэтому они будут сосуществовать и в любых более конкретных вещах, включающих в себя свойства передающих и воспринимающих знания. Значит, а инвариантно по отношению к любым заменам вещей, в которых существуют отношения R₁, R₂. Это дает основание считать α внутренним свойством R₁ и R₂.

Таким образом, α будет внутренним свойством отношений в том случае, если: 1) все отношения R₁, R₂ определены в качестве таковых по свойствам одних и тех же вещей; 2) изменение последних, замена одних вещей другими не влияет на свойство отношений.

Выше рассматривался пример определения внутреннего характера свойства двух отношений. Такие же рассуждения mutatis mutandis могут быть применимы и тогда, когда речь идет о свойстве одного отношения. В этом случае первое условие выполняется автоматически, так как отношение не может существовать в иных объектах, нежели тех, в которых оно существует. Но требуется доказательство выполнения второго условия.

Читатель, вероятно, уже заметил, что приведенные здесь рассуждения очень похожи на те соображения, которые были приведены раньше при анализе общего принципа размерности. Там шла речь об определении внутренних отношений между свойствами. Здесь — о нахождении внутренних свойств отношений. Не только формулировка, но и методы решения этих проблем получаются одна из другой путем замены термина «свойство» термином «отношение» и термина «отношение» термином «свойство».

Аналогичная закономерность была обнаружена в начале прошлого века французским математиком Понселе в области проективной геометрии. Точка и прямая — совершенно разные вещи. Но в теоремах проективной геометрии можно заменять точку прямой и прямую — точкой. Если в истинном положении произвести такую замену, то будет получено новое истинное положение. Например, пусть доказано, что «во всякой коллинеации, Имеющей неизменную прямую (ось), существует одна и только одна неизменная точка (центр), в которой пересекаются все собственно-двойные прямые». Заменяя слова «точка» и «прямая» друг другом, автоматически получаем, что «во всякой коллинеации, имеющей неизменную точку (центр), существует одна и только одна неизменная прямая (ось), на которой лежат все сообственно-двойные точки».

С взаимозаменой точки прямой связана возможность взаимозамены вершины угла многоугольника его стороной и точки, лежащей на кривой, касательной к этой кривой. Это дает возможность делать более сложные выводы. Например, с помощью такой замены из теоремы Паскаля —«во всяком шестиугольнике, вписанном в линию второго порядка, точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой»— получаем теорему Брианшона —«во всяком шестистороннике, описанном около линии второго порядка, прямые, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке». Соответственно, наоборот, из теоремы Брианшона вытекает теорема Паскаля.

Изложенное положение, относящееся к соотношениям на плоскости, носит название малого принципа двойственности. В пространстве ему соответствует большой принцип двойственности, согласно которому двойственными, т. е. взаимозаменимыми понятиями, являются понятия точки и плоскости. При замене их друг другом понятие линии остается без изменения. Например, согласно большому принципу двойственности, из теоремы о том, что «если точка и прямая не инцидентны (т. е. точка не лежит на прямой), то существует одна и только одна плоскость, инцидентная с ними», следует теорема «если плоскость и прямая не инцидентны, то существует одна и только одна точка, инцидентная с ними», и обратно.

Следует отметить, что из большого принципа двойственности может быть получен в качестве следствия малый принцип двойственности.

Принцип двойственности существует и в другой области геометрии — в топологии.

Аналогичные соотношения имеют место в теории множеств. Здесь двойственными понятиями являются операции суммы и пересечения. При этом, если встретится понятие пустого множества, его нужно заменить универсальным множеством, и наоборот. Такими же взаимозаменяемыми понятиями являются понятия дополнения суммы — пересечения дополнений и дополнения пересечения— суммы дополнений. При этом предполагается^ что теорема, подвергаемая двойственному преобразованию, выражена в форме равенства, обе части которого представляют собой либо множества, либо результаты действий Сложения, пересечения и дополнения. Например, если нам дано (A ∪ В) ∩ С = (А ∩ С) ∪ (В ∩ С), где ∪ —знак суммы, a ∩ —знак пересечения, то с помощью принципа двойственности получаем (Л ∩ В) ∪ С = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).

С принципом двойственности теории множеств связан принцип двойственности математической логики. В исчислении высказываний он формулируется так: «…Из всегда-истинной формулы U ~ B, обе стороны которой образованы из основных высказываний и их отрицаний путем использования конъюнктивной и дизъюнктивной связей, получаем снова истинное уравнение, меняя местами значений & и ∨»^[1]. Например, из выражения X ∨ (Y & Z) ~ (X ∨ Y) & (X ∨ Z) с помощью принципа двойственности автоматически получаем выражение X & (Y ∨ Z) ~ (X & Y) V (X & Z). Принцип двойственности существует также и в исчислении предикатов. Вне математики можно указать на физику, где наблюдаются двойственные соотношения между пространственными и временными характеристиками объектов.

Из сказанного видно, что возможность двойственной замены понятий имеет место в самых различных областях науки. Очевидно, что здесь проявляется какая-то общая логическая закономерность. Однако она до сих пор не изучена.

Поэтому в каждом отдельном случае принцип двойственности обосновывается самостоятельно. При этом, конечно, можно пользоваться аналогией с теми двойственными соотношениями, которые лучше изучены. Каким же образом выясняется правомерность принципа двойственности в той или иной области? Очевидно, что для обоснования общего положения о двойственности тех или иных понятий теории недостаточно показать эту двойственность на одном или нескольких примерах. В этом случае, вообще говоря, может иметь место чисто случайное совпадение, хотя это и маловероятно.

Для обоснования принципа двойственности в данной, конкретной науке часто стремятся сослаться на другое положение той же науки. Так, например, поступают Гильберт и Аккерман в своих «Основах теоретической логики». У них принцип двойственности исчисления высказываний получается как случайное следствие правил де Моргана, согласно которым выражение X’ &’ Y’ можно заменить выражением X’ ∨ Y’, а выражение X’ ∨ Y’ — через Х’ &’ Y’^[2].

В таком же плане принцип двойственности рассматривается польским логиком А. Мостовским, который обосновывает его формулами де Моргана наряду с правилом двойного отрицания^[3].

Однако Л. Кутюра в свое время решительно возражал против того, чтобы формулы де Моргана считались основанием принципа двойственности. По его мнению, они — лишь средство отыскания двойственных выражений. Подлинное же основание принципа двойственности Л. Кутюра видит в самих определениях конъюнкции и дизъюнкции, формулы которых двойственно коррелятивны^[4]. С этим нельзя не согласиться, так как, во-первых, двойственность существует независимо от введения понятия отрицания и, во-вторых, формулы де Моргана сами основаны на определениях конъюнкции и дизъюнкции.

Таким образом, двойственность теории обосновывается здесь двойственным характером определения соответствующих понятий. Конечно, это не может нам объяснить явление двойственности, так как остается неясным, почему возможно дать двойственно-коррелятивные определения понятий, различных по своему содержанию. Однако такое обоснование выясняет общий, в рамках данной теории, характер принципа двойственности и дает возможность применять его ко всем тем положениям, которые выводятся из двойственных определений.

Так же обосновывается принцип двойственности и в проективной геометрии. Здесь определения основных понятий «точки» и «плоскости», «точки» и «линии» выражаются в виде совокупности аксиом. Эти аксиомы являются двойственными относительно понятий «точка» и «плоскость» в пространстве и относительно понятий «точка» и «линия» на плоскости. Отсюда делается вывод о двойственности всей теории, опирающейся на эти аксиомы. «Таким образом, — пишет, например, Н. Ф. Четверухин, — основные предложения (аксиомы) принадлежности проективного пространства носят двойственный характер. Естественно ожидать, что тем же двойственным характером или той же симметричностью относительно понятий «точка» и «плоскость» будут обладать и все теоремы, выведенные из основных предложений путем логических умозаключений»^[5].

Далее показывается, что двойственность понятий «точка» и «прямая» на плоскости, т. е. так называемый «малый принцип двойственности» является следствием двойственности понятия «точка» и «плоскость» в пространстве, т. е. «большого принципа двойственности».

Аналогичным образом можно обосновать и наш принцип двойственности. Обратимся к определениям основных понятий, с которыми мы оперируем, т. е. понятий вещи, свойства и отношения.

Вещь была определена как система качеств или, иными словами, система свойств. Но что такое система? Это совокупность отношений или, для простоты, одно сложное отношение. Таким образом, мы приходим к тому, что вещь можно определить как отношение свойств.

С другой стороны, свойство можно понять как соотношение, т. е. как отношение вещей. Отношение же представляет собой свойство, характеризующее две или более вещи, т. е. это — свойство вещей. В обоих случаях множественное число слов «вещи» означает, что имеется в виду совокупность двух или более вещей, но не каждая из них в отдельности.

Сопоставим друг с другом все три определения:

1. Вещь — отношение свойств.

2. Свойство — отношение вещей.

3. Отношение — свойство вещей.

В этих определениях нетрудно заметить две пары двойственных понятий. Одна пара — это «свойство»— «отношение». Совершая двойственное преобразование относительно этой пары, мы из второго определения получаем третье, и наоборот. Понятие вещи при этом остается без изменения. Другую пару образуют «свойство»—«вещь». Заменяя понятие «вещь» понятием «свойство» и наоборот, мы преобразуем первое определение во второе и второе в первое. Понятие отношения при этом не подвергается изменению.

Однако первое и третье определения не двойственны. Замена понятия «вещь» понятием «отношение» и наоборот не приводит к преобразованию одного определения в другое. Такая ситуация аналогична положению в проективной геометрии. Там три основных понятия: «точка», «линия» и «плоскость» образуют также две двойственные пары: «точка»—«плоскость», «точка»—«линия». Пара же «линия»—«плоскость» не является двойственной.

Таким образом, мы выяснили двойственность основных определений, используемых нами. Поэтому «естественно ожидать», что эта двойственность сохранится и во всех положениях, опирающихся на эти определения.

Правда, обосновывая эти положения, мы применяем не только понятия вещи, свойства и отношения. Мы употребляем также такие термины, как «внутренний», «совокупность», «зависит» и т. д.

Однако содержание понятий, связанных с этими терминами, раскрывается через исходные категории вещи, свойства и отношение. В проективной геометрии также говорится не только о точках, линиях и плоскостях, но и о вершинах, ребрах, гранях и т. д. Но эти понятия раскрываются с помощью основных понятий точки, линии и плоскости.

Для правильного применения принципа двойственности необходимо четко формулировать то отношение, которое сохраняется при двойственной замене. В связи с этим возникает вопрос о том, сколько объектов участвует в этом отношении. На первый взгляд, в каждом из приведенных выше определений вещи, свойства и отношения имеется в виду отношение между тремя объектами. Однако на самом деле при двойственном преобразовании выявляются два двойственных друг другу понятия. Сохраняющееся при преобразовании отношение рассматривается как бинарное. В каждом из приведенных выше предложений, выражающих определения вещи, свойства и отношения, по три слова. Однако это не означает, что они определяют отношения трех понятий. Каждое из понятий может выражаться словосочетанием. Кроме того, некоторые слова могут означать отношения. Поэтому следует предостеречь против чисто словесного перехода к принципу двойственности. Например, заменяя слово «отношение» словом «свойство» и наоборот в первом предложении, получим бессмысленную фразу «вещь — свойство отношений». Аналогично из третьего предложения можно сделать вывод о том, что «отношения есть вещь свойства».

Таким же образом, применяя принцип двойственности, можно получить не менее странные выводы и в проективной геометрии. Возьмем, например, фразу: «Точки пересечения всех пар соответственных прямых образуют кривую, которую мы будем называть рядом точек второго порядка, или кривой второго порядка»^[6]. Заменяя слово «точка» словом «прямая» и наоборот, получим: «Прямые пересечения всех пар соответственных точек образуют кривую, которую мы будем называть рядом прямых второго порядка, или кривой второго порядка». Положение бессмысленное.

Это говорит о том, что применению принципа двойственности во избежание нелепых результатов должен предшествовать семантический анализ. В нашем случае этот анализ облегчается самой структурой записи определений. Одно из соотносящихся понятий выражено отдельным словом, стоящим слева от тире. Другое понятие выражено в словосочетании. Но само по себе слово сочетание, например, «отношение свойств», «свойство вещей», еще не выражает отношения между понятиями.

В таком словосочетании предполагается некоторое отношение и даже указано его направление, но каково конкретно это отношение — неизвестно^[7]. Здесь нет той законченности, которая требуется для выражения отношения. Такой законченностью обладает не словосочетание, а предложение в целом. Поэтому приводящие к бессмыслице двойственные преобразования внутри словосочетаний нельзя рассматривать как следствие принципа двойственности.

1. Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М.» 1947, стр. 35. ↑
2. Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. ↑
3. Mostowski A. Logika matematiczna. Warszawa—Wrocław, 1948, стр. 38. ↑
4. Кутюра Л. Алгебра логики. Одесса, 1909, стр. 21. ↑
5. Четверухин Н. Ф. Проективная геометрия. М., 1953, стр. 87. ↑
6. Юнг Д. В. Проективная геометрия. М., 1949, стр. 64. ↑
7. Уемов А., Уемова Е. Логические функции падежных конструкций. В сб.: «Логико-грамматические очерки». М., 1961, стр. 142. ↑