2. К отношениям

Выделение отношений является более сложной задачей, чем выделение отдельных свойств. Эта задача решается в том случае, когда определение отношений становится настоятельной необходимостью. Такая необходимость возникла в процессе создания науки логики. Другие науки могли ограничиваться исследованием предметов и их свойств, не уделяя при этом специального внимания отношениям. Для логики с самого начала это было исключено. Она не могла бы выполнить свою задачу, не изучив отношений между мыслями. Творец наиболее известной системы логики — Аристотель использовал для вычленения отношений прием, получивший название формализации.

Сущность этого приема видна из определения Аристотелем первой фигуры силлогизма. «Итак, если три термина так относятся между собой, что последний целиком содержится в среднем, а средний целиком содержится или не содержится в первом, то необходимо, чтобы <для двух> крайних <терминов> образовался совершенный силлогизм… В самом деле, если А приписывается всем Б, а Б — всем В, то А необходимо приписывается всем В»^[1].

Вначале речь шла о трех вещах — терминах, находящихся друг к другу в некотором отношении, которое мы обозначили как R. В первой фразе R еще не выделено, ибо неясно, существует ли оно только между этими тремя предметами или же обладает некоторой самостоятельностью, независимостью от них. Далее предметы обозначаются буквами А, Б, В. Что означают эти буквы? Это не имена собственные, каждое из которых применимо только к одному объекту. Это символы, не обозначающие никакого конкретного предмета. А, Б, В означают все что угодно, способное находиться в отношении «приписывания». Иными словами, это уже не предметы, а элементы отношения.

Р. Карнап заменяет буквенные символы пропусками; в результате становится более наглядным тот факт, что речь идет об элементах отношения^[2]. Аристотелевское выражение в таком случае принимает вид:

«Если… приписывается всем — — —, а — — — всем —.—.— , то… необходимо приписывается всем —.—.— ».

Приходится употреблять разные типы пропусков, но это потому, что речь идет об элементах, занимающих разное положение в выделенном отношении.

Тот факт, что рассматривается само отношение, независимо от каких-либо находящихся в данном отношении вещей, можно выразить и по-иному. В современной символической логике для этой цели употребляется так называемый оператор абстракции. Часто он обозначается в виде крышечки, стоящей над символами предметов, от которых отвлекаются. Например, х’, у’, z’, R (х, у, z) будет обозначать отношение R^[3]. Другими авторами для обозначения этого оператора используется символ λ^[4].

В связи с тем, что изучение отношений приобрело в современной науке чрезвычайно большое значение, возросла роль формализации как способа выделения этих отношений, особенно в физико-математических науках. В символической логике подробно рассматривается проблема построения формализованных теорий^[5].

Обозначим формализацию символом ƒ. В таком случае переход от вещей к отношению выразится в виде формулы

ƒ [R (A₁, …, A_n)] → R.

Аристотель. Первая аналитика. Аналитики. М., 1952, стр. 14—15. ↑
Карнап Р. Значение и необходимость. М., 1959; Carnap R. Foundations of Logic and Mathematics. «International Encyclopedia of Unified Science», v. I, № 3. ↑
MostowskiA. Logika matematiczna. Warszawa—Wrocław, 1948. ↑
Карнап Р. Значение и необходимость, стр. 31. ↑
Клини С. К. Введение в метаматематику. М., 1957. ↑

Оглавление