2. Релятивные суждения

Как уже отмечалось, некоторые логики полагают, что всякое суждение является атрибутивным, с субъектом и предикатом. Но таких логиков становится все меньше. Все более очевидной становится законность иных выражений логической формы суждения: аРb и Р (а₁, . . . , а_n). Здесь R означает отношение, существующее между двумя или, вообще говоря, многими предметами. Суждения, имеющие такую структуру, будем называть релятивными, поскольку обычный в нашей литературе термин «суждения с отношениями» является слишком громоздким. Законность релятивных суждений, на наш взгляд, является простым следствием существования отношений в окружающем нас мире и усиления роли изучения этих отношений в современной науке. Иначе мы должны были бы противопоставить структуру мышления структуре бытия.

Рассмотрим ряд логических проблем, связанных с релятивными суждениями.

А. Различные понимания смысла релятивных суждений о многих предметах

Релятивные суждения, относящиеся к двум объектам, изучены сравнительно хорошо. Этого нельзя сказать о релятивных суждениях о множестве предметов.

Выше уже говорилось о возможности выразить многоместное отношение через бинарные с помощью матрицы отношений. Однако сама по себе форма выражения отношений между многими предметами через матрицу отношений еще ничего не решает. Чтобы воспользоваться этой формой, необходимо прежде всего установить, разлагается ли вообще отношение на элементы матрицы, как найти эти элементы и какой вид имеет матрица для данного отношения.

Для этого необходимо выяснить, в каком смысле может пониматься отношение между многими объектами. В зависимости от этого смысла мы будем иметь разные способы выражения отношения через матрицу.

При одном понимании отношение R будет означать отношение каждого элемента в отдельности к каждому в отдельности. Например, формула = (а₁, . . . , а_n) выражает то, что каждый из рассматриваемых объектов находится в отношении равенства к любому объекту: а_k = a_l, где 1 ≤ k ≤ n и 1 ≤ l ≤ n. Формула: Братья (а₁, . . . , а_n) будет означать, что каждый из а относится как брат к любому другому а, например, а_k брат a_l и т. д. Так же понимает К. Маркс отношение обмена между товарами. Каждый товар может обмениваться на каждый. Формула полной, или развернутой, формы стоимости: «z товара А = u товара В, или = v товара С, или = w товара D, или = х товара Е, или и т. д.»^[1]. В этом же смысле понимается и отношение, выраженное формулами всеобщей и денежной форм стоимости^[2].

В случае такого понимания отношения оно легко может быть выражено с помощью матрицы. Каждый элемент матрицы ρ_lk при l ≠ k равен исходному отношению R. Но элементы матрицы, стоящие на главной диагонали ρ_lk при I = k и являющиеся отношениями каждого элемента к самому себе, могут быть и иными, чем R. Например, а = а, но а не может быть братом а, т. е. братом самого себя. Также каждый товар не обменивается сам на себя.

Во всяком случае, каждый элемент находится к самому себе в отношении тождества, которое мы будем обозначать единицей. Таким образом, матрица отношений в случае такого понимания отношения R имеет следующий вид:

Индекс I при R^I означает, что отношение R понимается в указанном смысле. Нетрудно заметить, что такое понимание отношения между многими предметами аналогично пониманию предикации многих элементов P^I, как она была определена выше.

При понимании отношения в смысле R^I порядок записи объектов, между которыми установлены отношения, не играет никакой роли. Также можно менять местами и объекты в тех парах, отношения в которых являются элементами матрицы.

В смысле R^I можно понимать сравнительно небольшой круг отношений. Например, отношение господства большинства над каждым в отдельности человеком, которое существует в демократическом обществе, нельзя понимать как сумму отношений пар, так как при этом ни один человек в отдельности не господствует над другим. Но его можно понять как отношение всех, кроме одного, объектов данного множества к каждому объекту в отдельности.

Такое понимание обозначим как R^II. Оно соответствует пониманию предикации в собирательном смысле P^II.

Матрица отношений в этом случае составляется так же просто, как и при R^I, поскольку каждый из элементов матрицы будет равен исходному отношению R. Но в качестве элементов матрицы будут выступать не отношения каждого из соотносящихся объектов последовательно к каждому другому, а отношения всех, кроме одного, к каждому. В результате этого матрица не будет квадратной и приобретет следующий вид:

Отношение, понимаемое в смысле R^II, не будет зависеть от порядка вещей, которые оно объединяет. Но каждый из элементов матрицы не является симметричным отношением. Нельзя менять местами каждый отдельный элемент и совокупность всех остальных элементов без изменения смысла отношения. Поэтому параллельно пониманию R^II необходимо ввести понимание R^III как отношения каждого объекта в отдельности ко всем остальным объектам, взятым вместе. Например, такое отношение существует между членами коллектива, когда каждый из его членов должен подчиняться воле всего остального коллектива.

В таком же смысле может пониматься отношение, выраженное уравнением типа

Здесь имеется в виду то, что каждый из объектов — величин x_k— находится в таком же отношении к совокупности (единица, деленная на их произведение) остальных, как и любой другой.

Понимание отношений в смысле R^III соответствует пониманию предикации в смысле Р^III.

Отношение R^III в общем случае нельзя разложить на сумму отношений между элементами, но зато его можно разложить на сумму отношений между отдельными элементами и суммами всех остальных элементов.

Матрица отношения, понимаемого в смысле R^III, выглядит так же, как и матрица отношения R^II. Отличаются друг от друга они лишь порядком индексов при элементах матрицы:

При этом порядок записи объектов, как и при R^I, R^II, не играет никакой роли. Большое значение при понимании отношения в смысле R^II и R^III имеет способ объединения объектов. Здесь может быть и простое их суммирование, например, при рассмотрении отношения веса всей системы к весу каждой ее части, и другие, более сложные формы объединения, как это было в приведенных примерах. Если способ объединения не вытекает из самой формулировки отношения, он должен быть уточнен. В зависимости от способа объединения объектов мы получим различные подразделения понимания отношений в смысле R^II и R^III.

Необходимо отметить, что все эти объединения не образуют какой-то самостоятельной подсистемы в системе первоначально заданных объектов. Ими пользуются лишь для того, чтобы выразить смысл отношения, которое образует данную систему объектов.

В рассмотренных типах понимания отношений между многими элементами последние фактически представляют собой одно и то же многократно повторенное отношение между отдельными частями данной системы. Поэтому построение матрицы отношений не требует специального анализа и выполняется легко и быстро. Такое понимание отношений можно назвать итеративным.

Подобным образом можно понимать далеко не все отношения между многими объектами. Например, отношение между величинами у, x₁, . . . , х_n, выраженное обобщенной математической формулой у = f (x₁, . . . , х_n), уже нельзя понимать таким способом. Эта формула не дает нам возможности определить, в каком отношении находятся друг к другу величины, взятые по-отдельности.. Также непосредственно не ясно, в каком отношении находится каждая из величин к совокупности всех остальных. Эти отношения — между частями системы — не выражаются в явной форме тем отношением, которое эту систему образует, в отличие от случаев R^I, R^II, R^III. Мало того, отношения между отдельными объектами или отдельными объектами и совокупностями остальных могут быть различными. Например, в отношении, выраженном уравнением x²z — у = 0, у выражается как x²z, a z равен у/x².

Понимание отношения в таком общем смысле, когда отношение, образующее систему из объектов a₁, . . . , a_n, не рассматривается как отношение между отдельными частями этой системы, мы будем обозначать как R^IV. Имеется довольно точная аналогия между пониманием отношения в смысле R^IV и пониманием предикации многих объектов в смысле P^IV.

При понимании отношения в смысле R^IV порядок объектов, между которыми установлено отношение, играет большую роль, и потому эти объекты нельзя менять местами.

Несмотря на то, что R^IV непосредственно не выражает в явном виде отношений между отдельными элементами, в ряде случаев удается на основе R^IV получить зависимости, относящиеся к отдельным элементам. Иногда удается даже разложить R^IV на совокупность отдельных отношений. Такая возможность определяется конкретными свойствами данного отношения. В некоторых случаях R^IV неразложимо. С неразложимостью R^IV связаны, по-видимому, например, трудности в решении так называемой «проблемы многих тел» в механике.

В тех случаях, когда R^IV разложимо, его можно, как правило, путем сложного конкретного анализа представить как эквивалент некоторой суммы, вообще говоря, совершенно различных отношений между парами элементов. Поскольку эти отношения являются в общем случае несимметричными, необходимо рассматривать отношения всех предыдущих элементов ко всем последующим и в то же время всех последующих ко всем предыдущим (здесь, как и везде выше, уже самой формой записи элементов системы a₁, . . . , a_n предполагается, что множество этих элементов является упорядоченным).

В этом случае матрица отношений имеет общую форму

В отличие от матрицы отношения, понимаемого в смысле R^I, здесь все элементы матрицы, исключая диагональные, различны. Например, геометрическое отношение между числами 2, 3, 6, 9 можно представить в виде следующей матрицы:

Иногда объекты комбинируются в группы и отношение R^IV представляется как сумма отношений между отдельными объектами и совокупностями остальных:

При ρ_1(2,…,n) = … = ρ_{n(1,…,n—1)} разложение R^IV по внешнему виду совпадает с разложением R^III. Может показаться, что понимание смысла отношения многих элементов R^IV совпадает в этом случае с пониманием R^III, т. е. что R^III является частным случаем R^IV. Однако это не так. R^III разлагается на сумму отношений пар довольно просто. Это разложение дано уже тем фактом, что отношение многих элементов рассматривается как R^III. В случае же R^IV такое разложение получено путем конкретного анализа. Необходимо специальное доказательство того, что такое разложение действительно существует.

По тем же самым причинам нельзя рассматривать R^I и R^II как частные случаи R^IV. Необходимо подчеркнуть, что различение R^I, R^II, R^III, R^IV представляет собой не различение типов отношений самих по себе, их связи с отношениями пар и т. д., а различение подходов к этим отношениям, различение способов рассмотрения их. R^I, R^II, R^III, R^lV так же не виды отношений, как предикаты, понимаемые в смысле Р^I, Р^II, Р^III, P^IV, не виды понятий, хотя в некоторых учебниках логики понятия до сих пор делятся соответственно на собирательные и разделительные. Не может быть собирательных и разделительных понятий потому, что одно и то же понятие может рассматриваться и в собирательном, и в разделительном смысле. Точно так же одно и то же отношение можно понимать в различных смыслах. Например, отношение одноцветности листьев можно понимать и в смысле R^I, и в смысле R^II, и в смысле R^III, так как одинаковый цвет имеет каждый лист и каждый другой, каждый лист и любая их совокупность.

Смешение различных пониманий отношений между многими объектами может привести к большим практическим затруднениям, так как одно и то же отношение в одном смысле может существовать между объектами, но отсутствовать или даже быть совершенно абсурдным применительно к данным объектам, если его понимать в ином смысле. Например, отношение подчинения существует в демократическом обществе, но только в смысле R^II, а не R^I. Отношения между числами 2, 1/3, 3, 1/2 и 1/2, 4/3, 3, 1/2, понимаемые в смысле R^III, при объединении их с помощью умножения обратных значений одинаковы:

Но понимаемые в смысле R^IV и разлагаемые далее на совокупность отношений между отдельными числами, они будут различны, так как будут иметь разные матрицы отношений. Поэтому для того, чтобы говорить об одинаковости или неодинаковости отношений, необходимо выяснить, в каком смысле они понимаются.

Необходимость выяснения смысла, в каком говорится об отношении, для определения того, существует ли оно между данными вещами, совершенно аналогично необходимости выяснения смысла, в каком употребляются понятия, для определения истинности суждений, в которых они являются субъектами. Например, суждение «все моря и океаны занимают 2/3 земной поверхности» истинно лишь тогда, когда субъект «все моря и океаны» понимается не в разделительном, а в собирательном смысле, т. е. когда имеет место предикация P^IV.

В частном случае, когда число объектов в системе равно двум, т. е. R (a₁, а₂), все 4 типа понимания отношений становятся эквивалентными. Предлагаемое различение разных смыслов понимания отношений не является единственно возможным. Можно ввести еще целый ряд уточнений; это, однако, выходит за пределы нашей задачи.

Б. Обоснование внутреннего характера релятивного суждения. Общий принцип размерности

Релятивное суждение одной и той же формы может иметь различное познавательное значение. В общем случае познавательное значение суждения зависит от типа того отношения, которое им выражается. Наиболее существенным в этой связи является деление отношений на внутренние и внешние. Суждение, выражающее внутренние отношения между предметами, естественно назвать внутренним релятивным суждением, а суждение, выражающее внешние отношения, соответственно — внешним релятивным суждением. Обоснование внутреннего характера релятивного суждения сведется, таким образом, к доказательству того, что отношение, им выражаемое, является внутренним.

Внутреннее отношение, будучи установлено по существенным для соотносящихся объектов свойствам, дает возможность судить об объекте в том случае, когда известно отношение его к другому объекту, и, наоборот, внутреннее отношение можно определить на основе анализа сущности соотносящихся объектов. Знание же внешних отношений, напротив, не имеет большого значения для характеристики соотносящихся объектов, так как эти отношения являются для них случайными, определяемыми теми или иными внешними факторами. При изменении этих внешних факторов внешние отношения, в противоположность внутренним, также изменяются, даже без изменения самих соотносящихся объектов.

Всякий закон, устанавливающий отношение между объектами, не должен зависеть от тех или иных случайных отношений. В противном случае он не будет общим законом. Таким образом, всякий общий закон должен выражаться внутренним релятивным суждением. Поэтому представляет большой практический и теоретический интерес проблема выяснения способов, при помощи которых можно определить внутренние отношения объектов.

1) Методы выделения внутренних отношений. Формулировка общего принципа размерности

Определение внутреннего характера отношения связано с рядом серьезных трудностей. Каково минимальное количество объектов, между которыми может существовать то или иное внутреннее отношение?

Естественный ответ — два объекта, которые можно обозначить как а и b, т. е. между двумя объектами а и b можно установить отношение R, что даст aRb. Однако те существенные свойства а и b, которые позволяют им вступить в отношение R, проявляются как таковые опять-таки в некоторых особых отношениях к другим объектам.

Соответствующее изменение отношений может вызвать различие в проявлениях свойств а и b, между которыми устанавливается R, поскольку один и тот же объект может выступать в разных отношениях по-разному. Для любых, сколько угодно «одинаковых» предметов, поскольку они не тождественны, можно найти такое отношение, в котором они будут различны. И, наоборот, то, что является различным в одних отношениях, оказывается одинаковым в некотором другом отношении.

Иными словами, указание любых свойств предполагает указание того, в отношениях к каким объектам существуют эти свойства, т. е. существование а и b предполагает существование некоторых А и В, в отношении к которым а и b проявляются как таковые. Таким образом, получается, что отношение R, существующее между двумя объектами а, b, зависит от некоторых других объектов А и В. Это отношение будет изменяться при отсутствии какого бы то ни было изменения в самих а и b единственно вследствие изменения в A и В, поскольку эти изменения меняют внешние проявления свойств а и b. Наоборот, оно может остаться неизменным при изменении в а или b в том случае, если эти изменения будут компенсированы соответствующими изменениями в А и В. Следовательно, отношение будет характеризовать не объекты а и b сами по себе, а эти объекты, взятые в отношении к некоторым определенным объектам А и В.

Таким образом, мы как будто бы приходим к выводу, что все отношения между вещами являются, строго говоря, внешними. Нельзя говорить о внутренних, имманентно присущих самим соотносящимся объектам отношениях, независимых от чего-либо внешнего.

Однако можно выявить сущность вещей и установить внутренние отношения в том случае, если в этой относительности найти абсолютные моменты и определить способы их выделения.

Прежде всего необходимо отметить, что роль А и В в отношении aRb отлична от роли а и b. В то время как а и b участвуют в отношении непосредственно, участие в нем А и В имеет опосредованный характер. Это обстоятельство и дает возможность во многих случаях абстрагироваться от А и В. Иначе пришлось бы учитывать не только А и В, но и объекты, в отношении к которым они проявляются как А и В, т. е. в конечном счете бесконечное количество объектов, что сделало бы невозможным установление какого бы то ни было соотношения.

Степень правомерности такой абстракции зависит от того, в какой мере это отношение обусловлено спецификой проявления свойств этих объектов в отношении к определенным объектам А и В. Если R, существующее между а и Ь, не зависит от специфики конкретных А и В, то есть основания утверждать присущность R самим объектам а и b с тем большей уверенностью, чем шире класс объектов А и В, при которых это отношение имеет место.

Сказанное об отношении между двумя объектами mutatis mutandis применимо и к отношению между многими объектами a₁, . . . , а_n.

В тех частных случаях, когда отношение имеет относительную независимость от специфики объектов А₁, . . . , А_n, можно, абстрагировавшись от них с достаточной для практических целей степенью точности, говорить о внутреннем характере отношения R. Тогда же, когда R в значительной мере зависит от специфики «систем референции» А₁, . . . , А_n, необходимо применить специальные методы определения абсолютных моментов в отношении.

Рассмотрим некоторые из этих методов.

Во-первых, можно включить систему референции А₁, . . . , А_n в само отношение, т. е. рассматривать отношение уже не между a₁, . . . , а_n, а между a₁, . . . , а_n и А₁, . . . , А_n (между 2n объектами). В таком случае отношение R будет внутренним для этих 2n объектов. Правда, R будет и здесь зависеть от того, в отношении к каким системам референции рассматриваются сами А₁, . . . , А_n, но это будет зависимость уже второго порядка, которой для практических целей можно пренебречь, так же как пренебрегают в дифференциальном исчислении бесконечномалыми величинами высших порядков.

Во-вторых, можно в качестве объектов, между которыми устанавливается отношение R, взять сами отношения a_i к А_i. Тогда рассматриваемое отношение будет имманентно присуще находящимся в нем объектам, но оно будет слишком узким, специальным. Впрочем, его можно несколько расширить, расширив класс объектов А при условии точного его определения.

Третий путь заключается в том, чтобы объекты А₁, . . . , А_n определялись как таковые с помощью тех объектов a₁, . . . , а_n, отношение между которыми непосредственно рассматривается. В этом случае отношение между объектами будет имманентно им присуще и можно абстрагироваться от отношений к внешним объектам, поскольку сами объекты А₁, . . . , А_n определяются в качестве таковых при помощи a₁, . . . , а_n, т. е. a₁, . . . , а_n и А₁, . . . , А_n соотносительны. Однако такой метод на практике осуществим лишь в исключительных случаях.

Чаще всего применяется метод, заключающийся в том, что все системы референции для соотносимых объектов берутся одинаковыми: А₁ = А₂ = … = А_n, т. е. все объекты a₁, . . . , а_n устанавливаются в одном и том же отношении. В таком случае отношение R не может иметь различных значений, так как иначе был бы нарушен закон противоречия. Однако при изменении этой единой системы референции в целом отношение R может, вообще говоря, изменяться даже при условии сохранения соотношения А₁ = А₂ = … = А_n. Поэтому при применении этого метода необходимо специальное доказательство того, что указанное изменение систем референции сохранит отношение R.

При наличии такого доказательства мы имеем полное право считать отношение R внутренним, поскольку его интенсивность будет определяться исключительно соотносящимися объектами, что возможно лишь тогда, когда свойства, по которым соотносятся объекты, являются внутренне им присущими.

Таким образом, отношение будет внутренним в том случае, если: 1) все соотносящиеся объекты определены в качестве таковых в одних и тех же системах референции, 2) изменение систем референции не влияет на отношение между объектами. Назовем это положение общим принципом размерности.

Рассмотрим примеры применения этого принципа сначала для случая отношений, определенных качественно. Так, в выражении «Витя лучше Пети» отношение «лучше» будет внутренним, если положительные качества Вити и Пети прежде всего будут определены в одном отношении и, кроме того, преимущества Вити будут иметь место во всех отношениях. В противном случае «лучше» будет иметь внешний характер. Отношение «вкуснее» в выражении «груша вкуснее яблока» не будет иметь внутреннего характера, поскольку второе условие принципа размерности не выполняется, хотя первое условие, может быть, здесь соблюдено. Отношение «севернее» в выражении «то, что находится на севере, севернее того, что находится на юге» будет внутренним в том случае, если север и юг будут рассматриваться относительно одного и того же объекта, причем последним могут быть как градусы широты, так и любая географическая область на поверхности Земли, например, Крым, Урал, Кавказ и т. д. Второе условие в этом случае будет выполняться неизбежно. Но нельзя брать различные отношения, например, один пункт относить к Украине, а другой к Крыму (Южная Украина севернее Северного Крыма).

Более подробно рассмотрим случай отношений, определенных количественно. Отношение между числовыми значениями интенсивностей a₁, . . . , а_n, вообще говоря, зависит не только от самих интенсивностей, но и от того, в отношении к каким системам референции А₁, . . . , А_n эти интенсивности установлены. Такое отношение может быть внешним, установленным по случайным для данных интенсивностей моментам. Тогда оно не будет характеризовать эти интенсивности и не может быть выражено в качестве общего закона.

Применительно к интенсивностям системы референции А₁, . . . , А_n обычно могут быть двоякого рода. С одной стороны, это системы координат. Из общего принципа размерности следует, что внутренние отношения могут быть определены в том случае, если они рассматриваются в одной и той же системе координат и не зависят от конкретного выбора этой системы. Это положение играет большую роль в современной физике, в частности, в теории относительности.

С другой стороны, системы референции представляют собой различные интервалы интенсивностей, выбранные в качестве единицы, и из общего принципа размерности следует, что внутренние отношения между интенсивностями будут установлены в том случае, если все соотносящиеся интенсивности будут определены по отношению к одинаковым единицам измерения, причем будет показано, что абсолютная величина этих единиц не оказывает влияния на данное соотношение. Назовем это положение частным принципом размерности.

Это положение состоит из двух независимых частей. Вторая часть, заключающаяся в требовании, чтобы количественные изменения разных единиц не оказывали влияния на соотношение интенсивностей, совпадает по своему содержанию с тем постулатом теории размерностей, который носит название «принципа абсолютного значения относительного количества». Необходимость выполнения этого требования непосредственно очевидна. Ясно, например, что отношение длин двух предметов не должно зависеть от того, какими единицами — метрами, сантиметрами или аршинами — мы измеряем эти длины. Однако выполнение требования принципа абсолютного значения относительного количества, являясь необходимым условием определения внутренних отношений между интенсивностями, не является еще достаточным условием этого. Например, если мы будем измерять длину одного из соотносящихся предметов в сантиметрах, а другого — в метрах и получим соотношение 7 > 2, то, несмотря на то, что это соотношение не зависит от абсолютной величины единиц измерения и сохраняет свое значение при всех изменениях единиц, сохраняющих прежнее отношение между ними, допустим, при уменьшении или увеличении их в 10 раз (70 > 20), это соотношение не будет являться внутренним для сравниваемых длин. Оно не будет определяться исключительно свойствами соотносимых объектов. Нельзя считать данное отношение характеристикой этих объектов. Такое отношение можно превратить во внутреннее, либо включив в него сами системы референции, т. е. единицы измерения — сантиметры и метры (тогда мы будем иметь отношение не между двумя объектами, а между четырьмя), либо выполнив первую часть требования общего принципа размерности, а именно требование равенства единиц.

2) Условия соблюдения общего принципа размерности

а) Условия соблюдения требования равенства единиц

Вопрос о количественном равенстве единиц измерения величин, имеющих различную физическую природу

Выполнение требования о равенстве единиц не встречает никаких затруднений в том случае, когда сравниваемые интенсивности являются интенсивностями одних и тех же свойств, т. е. когда они относятся к величинам одной и той же физической природы. Любые два отрезка времени, две массы, температуры и т. д. могут быть выражены одной мерой. Но как выразить одной мерой, например, массу и время? Выражение «антракт в 15 килограммов», употребленное комиком в цирке, воспринимается как нечто бессмысленное.

Казалось бы, нельзя установить общей единицы измерения для интенсивностей двух разнородных свойств. Выбор одних единиц не может влиять на выбор других единиц, и вследствие этого нет общего отношения, в котором бы существовали сравниваемые интенсивности — каждая из них существует в своем особом частном отношении.

Однако в таком случае между интенсивностями разнородных свойств невозможно было бы установление отношений, имеющих характер общих законов. Каждое такое отношение имело бы смысл только применительно к специальному выбору единиц измерения интенсивностей обоих соотносящихся свойств.

Существование общих законов, связывающих величины различной физической природы, независимо от той или иной конкретной системы единиц измерения, говорит о том, что можно измерять одинаковыми единицами интенсивности качественно различных свойств. Эта возможность обусловлена существованием всеобщей взаимосвязи между явлениями природы и общества.

Поэтому даже самые различные по своей физической природе величины представляют собой функции одних и тех же величин. Допустим, что изменение интенсивностей свойств х и у зависит от изменения интенсивности некоторого свойства u. Единицу интенсивности и определим произвольно, а отношение к этой единице и будет тем отношением, которое должно быть одинаковым для интенсивностей х и у. Можно определить единицу х₀, как такое значение интенсивности x, которое существует при u = 1, а единицу у₀ как соответствующее значение у при u = 1. Единица u₀ называется в этом случае основной, независимой единицей измерения, а x₀, у₀ — производными единицами.

Единицы, определяющиеся одинаковым образом основной единицей, будем считать одинаковыми. Могут сказать, что все же они не являются одинаковыми единицами, поскольку относятся к качественно различным величинам. Такое возражение было бы основательным в том случае, если бы единицы измерения относились к качественной стороне изучаемых явлений. Однако единица измерения определяет лишь количественную их сторону. Количественные же характеристики могут быть одинаковыми у самых различных качеств, если у этих качеств есть общее отношение, число, что имеет место для всех физических величин. Это фактически признается всеми, кто количественно приравнивает разные качества. Примеры такого приравнивания можно найти почти в любой работе по физике. Без него было бы невозможно сформулировать основной закон физики — закон сохранения энергии, немыслимо было бы само понятие энергии.

В самом деле, в физике утверждается, что «существуют качественно различные виды энергии, выражающие собой движение качественно различных объектов природы… В процессе взаимопревращения качественно различных форм движения материи численное значение энергии в замкнутой системе сохраняется»^[3].

Таким образом, предполагается количественное равенство различных качеств. Было бы противоречием отрицание количественного равенства также и единиц, которыми измеряются интенсивности этих качеств.

К этому можно добавить еще одно соображение. Сравниваемые качества рассматриваются как объекты. В таком случае их отношения к третьему объекту можно считать им присущим свойством. Одинаковость отношения будет означать одинаковость свойства. Отсюда следует, что различные качества будут обладать общим свойством и общая единица, которой измеряются их количества, будет представлять собой единицу интенсивности именно этого свойства. Таким свойством в случае качественно различных видов энергии является их способность выполнять одну и ту же работу; в случае качественно различных потребительных стоимостей — затрата на их производство одного и того же количества труда, т. е. одинаковая стоимость.

«Возьмем… два товара, — пишет К. Маркс, — например, пшеницу и железо. Каково бы ни было их меновое отношение, его всегда можно выразить уравнением, в котором данное количество пшеницы приравнивается известному количеству железа, например: 1 квартер пшеницы = а центнерам железа. Что говорит нам это уравнение? Что в двух различных вещах — в 1 квартере пшеницы и в а центнерах железа — существует нечто общее равной величины. Следовательно, обе эти вещи равны чему-то третьему, которое само по себе не есть ни первая, ни вторая из них. Таким образом, каждая из них, поскольку она есть меновая стоимость, должна быть сводима к этому третьему»^[4].

Итак, требование принципа равенства единиц можно выполнить не только в том случае, когда сравниваются интенсивности одного и того же свойства, но и тогда, когда устанавливаются отношения между интенсивностями качественно различных свойств. Применимость же другой части принципа размерности к этому случаю, по-видимому, не вызывает сомнений.

Может вызвать недоумение предполагаемая выше возможность установить связь между всеми величинами при помощи некоторой одной основной величины u, по единице которой определяются все остальные единицы. Несмотря на всеобщую взаимосвязь явлений, все же может случиться так, что не найдется такой величины, изменение которой было бы связано с изменением всех остальных величин. На практике в физике устанавливаются производные единицы при помощи трех основных единиц, образующих различные системы измерения. Наиболее употребительна система, где в качестве основных выбраны единицы массы m, времени t и длины I. Некоторые считают, что невозможны системы, состоящие из другого количества единиц измерения. Например, известный революционер Н. А. Морозов писал: «Из заколдованного… круга трех основных факторов мы никогда не будем в состоянии выбраться»^[5]. Однако это утверждение ничем не обосновывается.

М. Э. Омельяновский в своей докторской диссертации «Философские основы теории измерения», признавая, что «в механике, впрочем, допускают иногда существование четырех и более основных единиц или же сводят количество основных единиц к двум или даже одной»^[6], считает такое ограничение числа основных единиц «метафизической односторонне количественной точкой зрения»^[7] на том основании, что из выражения единицы массы через единицы длины и времени нельзя извлечь правила измерения этой единицы. Кроме того, против сведения единицы массы к единицам длины и времени приводится «ядовитое замечание» Поля, что в случае такого сведения «физик должен, покупая, спрашивать не 1,5 кг латуни, а 10^—4 см³ · сек^—2 латуни»^[8].

Однако «яд» замечания Поля направлен столько же против вообще определения единиц одной величины при помощи единиц других величин, качественно от них отличных, сколько и против установления единиц массы с помощью единиц t₀ и l₀. Физик, определив единицу энергии с помощью m₀, l₀, t₀, т. е. m₀l₀²t₀^—2, не смущается этим и не говорит, например, что тело обладает 2 г · см² · сек^—2 энергии. Далеко не во всех случаях можно извлечь правило непосредственного определения единицы производной величины путем указания на ее зависимость от основных единиц. Что же касается «односторонности», то она вполне оправдана там, где речь идет именно об одной, количественной стороне явлений.

Для нас важен тот факт, что практика, во всяком случае, допускает принципиальную возможность выбрать в качестве основной единицы измерения лишь одну физическую величину^[9].

Однако и в противном случае, т. е. при отсутствии такой возможности, трудности возникали бы лишь при установлении единиц нескольких основных величин. Для установления остальных единиц это не имело бы существенного значения.

Другое возражение может быть основано на предположении, что приведенное определение равенства единиц различных величин не устраняет его произвольности, поскольку в качестве основных могут быть взяты различные величины и единицы, равные в отношении одной величины, могут, вообще говоря, не быть равными в отношении другой. В качестве опровержения такого предположения докажем, что произвольные единицы х₀, у₀, равные в отношении к одной основной единице u₀ некоторой величины u, будут равны и в отношении к единице η₀ любой другой величины η.

В самом деле, поскольку оказывается возможным связать величины x и у с η, то η и u должны также быть связаны вследствие транзитивности и симметричности отношения связи. Следовательно, имеем u = φ (η), или для единиц можем определить u₀ = φ (η₀). Но по условию х₀ = φ (u₀); y₀ = φ (u₀). Подставляя вместо u₀ его значение, получим:

x₀ = φ [φ (η₀)]; y₀ = φ [φ (η₀)].

При замене обозначения функций получим:

x₀ = χ (η₀); y₀ = χ (η₀).

Таким образом, обе единицы х₀ и у₀ будут представлять собой одинаковые функции от одной и той же единицы, т. е., по определению, будут равными.

Способы определения равенства единиц

Большое практическое значение имеет вопрос о способах определения равенства единиц соотносимых друг с другом величин.

Рассмотрим два случая. Пусть величины х₁, . . . , х_n представляют собой различные свойства, характеризующие с разных сторон один и тот же объект. Между ними существует отношение, выражаемое уравнением:

F (х₁, . . . , х_n) = 0.

В том случае, если соблюдается принцип равенства единиц, т. е. все величины х₁, . . . , х_n выражены в количественно одних и тех же единицах, превращение в единицу одной из этих величин х_k влечет за собой превращение в единицы всех остальных величин.

В самом деле, если x_k = 1,то это означает, что данному состоянию объекта, характеризуемому величинами х₁, . . . , х_n, соответствует значение основной величины, равное единице: u₀ = 1. Но по условию единицы всех остальных величин одинаковы, т. е. они соответствуют одному и тому же значению u, а именно u₀. Поэтому, когда и принимает значение u₀ = 1, все они также должны принимать это значение. В противном случае одному и тому же значению u₀ соответствовали бы различные значения х₁, . . . , х_n, в то время как одно из значений хк равно единице, что противоречит исходному допущению о выполнении принципа равенства единиц.

Следовательно, необходимым условием выполнения этого принципа является одновременность превращения в единицу всех величин, характеризующих один и тот же объект.

Это условие является также достаточным, поскольку одновременность превращения всех величин в единицы свидетельствует о том, что все единицы соответствуют одному и тому же значению u = u₀. Это, согласно определению, означает количественное равенство единиц измерения соотносящихся величин.

Вышеприведенные соображения основывались на том допущении, что, поскольку все соотносимые свойства относятся к одному и тому же объекту, этот объект сам по себе не оказывает влияния на соотношение.

Это допущение вызывает серьезные сомнения. В самом деле, один объект может характеризоваться одним соотношением величин φ (х₁, . . . , х_n), а другой объект — другим соотношением тех же самых единиц ψ (х₁, . . . , х_n). Тогда в одном объекте значению u = 1 будет соответствовать одно значение какой-либо величины х_k, по определению x_k0 = 1, а в другом объекте — другое значение, которое, также по определению, для другого объекта должно быть признано равным единице.

Таким образом, получается, что интенсивности одного и того же свойства в разных объектах измеряются различными по своей величине единицами. Например, в одном объекте — кубе имеет место одно соотношение между его объемом и площадью основания (V = S^3/2), а в другом объекте — тетраэдре — другое отношение между теми же величинами (7 = 0,448 S^3/2).

Основной величиной в обоих случаях служит длина. l · S = 1 означает, что S (площадь) соответствует длине, равной единице l₀. Но тогда и V будет равно 1, поскольку, по определению, единицей объема является объем куба с ребром длиною в l₀. Таким образом, величины S и V превращаются в единицы одновременно, что свидетельствует о выполнении необходимого и достаточного условия принципа равенства единиц.

В этом можно убедиться, подставив значения, равные единице, непосредственно в формулу зависимости объема куба от площади основания:

в случае S = 1

V = S^3/2 = 1;

в случае V = 1

S = V^3/2 = 1.

Иные результаты получим для тетраэдра:

при S = 1

V = 0,448 S^3/2 = 0,448 · 1 = 0,448;

при V = 1

Такие результаты обусловлены тем, что в качестве единицы объема и площади для тетраэдра используются не самостоятельно определенные единицы, а единицы, применяемые при измерении объема куба. Одновременность превращения в единицы имела бы место, если бы единица объема определялась как объем тетраэдра, соответствующий ребру длиной в l₀. Тогда при S = S₀ объем равнялся бы V₀ и наоборот, однако единицы V₀ и S₀ для тетраэдра и куба имели бы различную величину. Это различие можно установить, соотнеся их какой-нибудь третьей величине, принятой за основную, например, массе однородного вещества, заполняющего куб и тетраэдр. Единицы объема куба и тетраэдра в этом случае соответствовали бы различным массам вещества.

Аналогичную картину мы имеем и в других случаях. Например, одной и той же величине электродвижущей силы Е соответствуют различные величины силы тока I, в зависимости от свойства того или иного конкретного объекта — проводника. Одинаковым значениям силы будут соответствовать различные значения ускорения, в зависимости от специфических свойств тела, на которое действует сила.

Из сказанного, по-видимому, следует, что приведенный выше метод определения равенства единиц, будучи основан на ложной предпосылке, является неправильным, и, таким образом, вопрос о применении принципа равенства единиц и тем самым общего принципа размерности остается открытым.

Однако этот метод может быть сохранен, если на уравнения, выражающие соотношения между рассматриваемыми величинами, наложить дополнительное ограничение. Для того чтобы соотношение не зависело от специфических свойств объектов и сохраняло свою форму для всех объектов любой природы, которые характеризуются данными величинами, необходимо включить эти специфические свойства в качестве самостоятельно входящей величины в данное соотношение. Иными словами, необходимо, чтобы в уравнение входили все те величины, характеризующие объекты, от которых зависит рассматриваемое соотношение, т. е. чтобы уравнение было полным. Это требование в большинстве случаев выполняется. Например, соотношение между силой и ускорением записывается в виде F = m · а, где m (масса) характеризует специфические свойства объекта, влияющие на соотношение F и а. Аналогично Е = R · I, где R — все свойства, объединяемые в понятии «сопротивление». F = m · а и Е = R · I имеют место для любых объектов, безотносительно к их специфическим свойствам.

Так же обстоит дело и в случае соотношения между объемом и площадью куба и тетраэдра. Специфические свойства куба и тетраэдра, влияющие на это соотношение, необходимо выразить самостоятельной величиной q и включить последнюю в соотношение. Получим V = qS.

Куб и тетраэдр отличаются друг от друга различными значениями q, подобно тому как два тела различаются по массе, но соотношение между V, q, S в обоих случаях одно и то же. Поэтому исходное допущение о независимости соотношения величин от конкретных свойств предметов в случае полных уравнений оправдывается.

Однако многие уравнения, содержащие безразмерные коэффициенты, исключают возможность одновременного равенства всех величин, входящих в их состав, единицам. Это означает, что не выполняется общий принцип размерности, и поэтому отношение, выражаемое таким уравнением, не является отношением между «сущностями» величин, не является их внутренним отношением, а представляет собой внешнее отношение, обусловленное случайными системами референции.

В физике, начиная с XIX в. (Гаусс), существует тенденция к нахождению «абсолютных» систем единиц измерения, при помощи которых можно было бы уничтожить численные коэффициенты в уравнениях. Эта тенденция выражает проникновение в сущность изучаемых явлений, переход от внешних отношений к более глубоким, внутренним отношениям. Она заключается в стремлении измерять величины одинаковыми единицами.

В более общем виде допущение, на котором основывалось определение необходимых и достаточных условий выполнения принципа равенства единиц, заключается в том, что все величины x₁, . . . , х_n вчитаются функцией только одной, основной величины u. Однако на самом деле каждая из величин х_k является функцией не только и, но и других величин, входящих в уравнение. В зависимости от различных значений этих величин x_k будет также иметь различные значения при одной и той же u. Поэтому необходимо каким-либо способом получить возможность абстрагироваться от этих зависимостей, выделив лишь зависимость от u, т. е. определив x_k как φ (u). В математике для изучения зависимости х, являющейся функцией многих переменных, от одной из этих переменных пользуются методом, заключающимся в приравнивании всех остальных аргументов константам, т. е. полагают их постоянными. С геометрической точки зрения это будет означать сечения плоскостями, параллельными координатным. Зависимость х от u будет иметь, конечно, различный вид при разных значениях всех остальных величин. Следовательно, эти значения нельзя выбирать произвольно. Каждая из величин x₁, . . . , х_n сама по себе представляет функцию от u и, если не учитывать влияние других величин, при u₀ принимает значение, равное единице. Поэтому естественно придать всем остальным величинам, кроме х_k, значение, равное единице. Тогда, при таких фиксированных значениях остальных величин, х_k будет выступать лишь как функция u и должна будет принять значение, равное единице. Это проверяется по уравнению. Таким образом, несмотря на то, что в принципе достаточно превращения в единицу одной величины для того, чтобы все остальные величины стали равными единицам, на практике в результате того, что величины влияют друг на друга и каждая из величин, следовательно, является функцией многих переменных, можно лишь проверять, превращается или нет в единицу каждая из соотносящихся величин при одновременном превращении в единицу всех остальных величин.

Нетрудно видеть, что этому условию удовлетворяют все уравнения, правая и левая части которых представляют собой степенные функции. При обращении в единицу всех величин, кроме одной, превращается в единицу не только оставшаяся величина, но и любые комбинации величин, в том числе те, которые образуют правую и левую части уравнения. Теоретически это вполне понятно, поскольку эти комбинации также образуют величины и они соответствуют одному и тому же значению u₀, т. е. при условии соблюдения общего принципа размерности также должны быть равны единице.

Вместе с тем ясно, что этому принципу не удовлетворяет ни одно из уравнений, состоящих из многих членов, соединенных друг с другом знаками плюс или минус. Эти уравнения выражают, по-видимому, отношения между величинами, характеризующими не один и тот же объект, а разные объекты или, по крайней мере, различные части одного и того же объекта.

К этому случаю метод определения выполнения принципа равенства единиц при помощи одновременности превращения в единицы всех величин неприменим. Однако это не вызывает затруднений. Различные величины можно соотносить друг с другом только в том случае, если они характеризуют лишь один предмет, и обратно, разные предметы можно сопоставлять одновременно лишь в одном отношении, т. е. по одному свойству — одной величине. Поэтому в многочленных уравнениях соединяются знаками плюс и минус не разнородные, а однородные величины, т. е. различные интенсивности одного и того же физического свойства. Определить же равенство единиц в этом случае можно непосредственно, не прибегая к сложным окольным приемам.

б) Условия соблюдения требования о независимости соотношения единиц от их абсолютной величины

Перейдем к рассмотрению другой части общего принципа размерности, связанной с вопросом о независимости соотношения между величинами от выбора основной единицы и тем самым от абсолютного значения единиц соотносящихся величин (принцип абсолютного значения относительного количества). Это. положение говорит о том, что отношение между единицами не должно меняться при изменениях абсолютной величины этих единиц. В частности, равные друг другу единицы должны остаться равными и после таких преобразований.

Встает вопрос о необходимых и достаточных условиях соблюдения этого принципа. В теории размерностей показывается, что «каждое вторичное количество, удовлетворяющее условию абсолютного значения относительной величины, должно выражаться как некоторая переменная, умноженная на первичные величины в некоторых степенях»^[10]. Эти степенные показатели и представляют собой размерности вторичных величин в отношении к первичным.

Принцип абсолютного значения относительной величины будет соблюдаться в том случае, если на эти размерности наложить некоторое ограничение, а именно размерности величин в обеих частях уравнения должны совпадать друг с другом. Иногда это положение формулируется так: «Размерности правой и левой частей всякого уравнения, имеющего физический смысл, должны быть одинаковы»^[11]. Однако здесь говорится слишком сильно. В случае нарушения теоремы о равенстве размерностей уравнение перестанет выражать внутренние отношения некоторых величин, но может сохранить физический смысл, выражая либо их внешнее отношение, либо внутреннее отношение других величин. Иными словами, как справедливо отмечает М. Э. Омельяновский^[12], уравнение может иметь физический смысл и будучи «неполным».

Теорема равенства размерностей (иначе ее часто называют «принципом размерной однородности») в конечном счете говорит о том, каким образом должны изменяться единицы вторичных величин при изменении первичных, чтобы их равенство осталось неизменным. Ее выполнение является, таким образом, достаточным и вместе с тем необходимым условием соблюдения принципа абсолютного значения относительного количества.

Необходимо отметить, что последний является не единственным обоснованием этой теоремы. Так, например, Эренфест-Афанасьева, приводя указанное выше обоснование, вместе с тем показала, что «обоснованием уравнения размерности можно считать требование, чтобы подстановки, которые соответствуют масштабным преобразованиям, образовывали группу»^[13]. Теорема равенства размерностей имеет одно важное следствие, относящееся к размерностям величин, входящих в состав суммы, — теорему Фурье. Эта теорема говорит о том, что в случае многочленных уравнений все члены, соединенные друг с другом знаком плюс или минус, должны иметь одинаковую размерность. Размерность суммы должна быть равна размерности каждого из ее слагаемых, т. е. при u = х + у + z [u] = [у] = [x] = [z] (квадратные скобки означают размерность).

Теорема Фурье вытекает из следующих соображений. Согласно теореме о равенстве размерностей размерности правой и левой частей уравнения должны быть одинаковыми. Но каждая из переменных х, у, z может иметь любые значения, в том числе у = z = 0. Тогда u = х и [u] = [x]. При х = у = 0 [u] = [z]. Соответственно х = z = 0 дает u = у и [u] = [у].

Но очевидно, что то или иное численное значение других величин не влияет на размерность данной величины. Поэтому значения размерностей [x] = [у] = [z] = [u] можно принять за вообще присущие этим величинам в данном уравнении размерности.

Физический смысл теоремы Фурье вполне очевиден. Эта теорема говорит о том, что суммы и разности выражают отношения величин, характеризующих различные объекты. Разные же объекты могут соотноситься лишь по одному свойству. Поэтому с учетом приведенных выше соображений можно усилить теорему Фурье.

В состав сумм и разностей должны входить не только одноименные, т. е. имеющие одинаковые размерности, величины, как это следует из формальных соображений, но больше того — разные значения одной и той же величины. Например, складывать друг с другом электростатическую емкость одного предмета с длиной другого не менее бессмысленно, чем заниматься сложением скорости с температурой, несмотря на то, что размерности емкости и длины одинаковы.

Иная картина имеет место, когда величины, входящие в уравнение, характеризуют один и тот же объект. Тогда они соединяются друг с другом не плюсом или минусом, а знаками других математических действий. Все они должны быть измерены количественно одной и той же единицей, но при этом они могут быть качественно совершенно различны. Каковы же должны быть в таком случае размерности отдельных физических величин, входящих в уравнение? Означает ли требование равенства единиц величин также требование равенства их размерностей? О. Д. Хвольсон пишет: «Все члены равенства, т. е. все величины, которые связаны знаками сложения, вычитания и равенства, должны быть одного размера. Действительно, только однородные величины могут быть сравниваемы между собою, а таковые, понятно, должны быть одинакового размера»^[14].

Первая часть этого утверждения заключает в себе теорему равенства размерностей вместе с теоремой Фурье, а вторая — их обоснование. С последним согласиться никак нельзя. Сравниваться друг с другом могут не только однородные величины. Наоборот, в тех случаях, когда эти величины характеризуют один и тот же предмет, они, как правило, являются неоднородными. Это видно на примере многих физических уравнений. Например, уравнение F = ma выражает отношение явно неоднородных величин. Все они должны быть измерены одинаковыми единицами, однако они не могут иметь одинаковой размерности. Это противоречило бы принципу размерной однородности.

В самом деле, этот принцип требует равенства размерностей обеих частей уравнения, а это равенство в большинстве случаев было бы невозможно, если бы каждая из входящих в него величин имела бы одинаковую размерность.

Таким образом, требование сохранения единиц различных величин связано в большинстве случаев с требованием, чтобы эти величины имели каждая в отдельности различную размерность. Причиной этого является тот факт, что эти величины неоднородны, представляют собой различные функции от основной величины; поэтому для того, чтобы сохранилось равенство единиц, они должны изменяться различным образом, на что и указывает различие размерностей.

В частности, при увеличении размеров одной из единиц другие не обязательно должны увеличиваться. Напротив, в случае обратной пропорциональности величин увеличение единицы одной из них при сохранении равенства единиц влечет за собой соответствующее уменьшение единицы другой величины. Это кажущееся парадоксальным положение является необходимым следствием из определения равенства единиц.

1. Маркс К. Капитал, т. I. М., 1952, стр. 69. ↑
2. Там же, стр. 71—76. ↑
3. Овчинников Н. Ф. Масса и энергия. «Природа», 1951, № 11, стр. 10. ↑
4. Маркс К. Капитал, т. I, стр. 43. ↑
5. Морозов Н. А. Основы качественного физико-математического анализа. М., 1908, стр. 22. ↑
6. Омельяновский М. Э. Философские основы теории измерения. Бийск, 1943 [док. диссерт.], стр. 158. ↑
7. Там же, стр. 162. ↑
8. Там же, стр. 167. ↑
9. Сена Л. А. Единицы измерения физических величин. М.—Л., 1951, стр. 15. ↑
10. Бриджмен П. В. Анализ размерностей. М., 1934, стр. 28. ↑
11. Папалекси Н. Д. Курс физики, т. 1. М., 1948, стр. 16. ↑
12. Омельяновский М. Э. Философские основы теории измерения, стр. 155. ↑
13. Ehrenfest-Afanassjewa T. Der Dimensionbergiff und der analytische BauphysikalischenGleichungen. «Math. Ann », 1916, Bd. LXXVII, h. 2, P. 262. ↑
14. Хвольсон О. Д. Курс физики. Берлин, 1923, стр. 121. ↑